第二章平面体系的机动分析复习题

第二章平面体系的机动分析

题2-2.试对图示平面体系进行机动分析。

•片口

(b)

解析:如图2—2(a)所示,去掉二元体为(b),根据两刚片法则,原体系为几何不变

体系,且无多余约束。

题2・3.试对图示平面体系进行机动分析。

解析:图2—3(a)去除地基和二元体后,如图2—3(b)所示,刚片I、II用ー实较。3；

I、III用ー无穷远虚较。连接;II、III用ー无穷远虚校。连接;三校不共线,根

据三刚片法则,原体系为几何不变体系,且无多余约束。

题2-4.试对图示平面体系进行机动分析。

解析:刚片I、II、III用ー实较。和两虚钱。、03连接,根据三刚片法则,体系为几何

12

不变体系,且无多余约束。

済

ゝ^\1__ヽ"ノレ/ノ

一・一~~-しX'丨1I1II

图2—4图2—5

题2-5.试对图示平面体系进行机动分析。

解析:刚片I、II、III通过钱。、。、。连接,根据三刚片法则,体系为几何不变体系,

123

且无多余约束。

题2・7.试对图示平面体系进行机动分析。

〇ッ

A-

/\

1\

1\

」广

夕

0~~~0

〈〉等

(a)

⑹、、

图2—7

解析：刚片I、II用ー无穷远虚较。连接,刚片I、III用ー无穷远虚校。连接,

12

刚片n、ill通过一平行连杆和一竖向链杆形成的虚较。连接,根据三刚片法则,

体系为几何不变体系,且无多余约束。

题2-8.试对图示平面体系进行机动分析

解析:去除二元体如图（b）所示,j=12,b=20所以,卬=2/—6—3=2x12—20—3=1,

所以原体系为常变体系。

去二元体

图2—8

题2-9.试对图示平面体系进行机动分析

去地基、

I>

图2—9

解析:去除地基如图（b）所示,刚片I、II用实较。连接,刚片I、III用虚较。连接,

刚片n、in用虚锐。§连接,根据三刚片法则,体系为几何不变体系,且无多余约

束。

题2-10.试对图示平面体系进行机动分析

解析：AB,CD,EF为三刚片两两用虚钱相连（平行链杆）,且

三钱都在无穷远处。所以为瞬变体系（每对链杆各自

等长,但由于每对链杆从异侧连接,故系统为瞬变,

而非不变）。

图2—10

题2—11.试对图示平面体系进行机动分析

图2—11

解析:先考虑如图（b）所示的体系,将地基看作一个无限大刚片ni,与刚片I用实钱。

连接,与刚片n用实较。连接,而刚片I、n用实较。连接,根据三刚片法则,

图（b）体系为几何不变体系,且无多余约束。然后在图（b）体系上添加5个二

元体恢复成原体系图（a）。因此,原体系为几何不变体系,且无多余约束。

题2-12.试对图示平面体系进行机动分析

解析:如图（b）所示,将地基看作刚片HI,与刚片I用虚较セ连接,与刚片II用虚较

4连接,而刚片I、II用实较［连接,根据三刚片法则,原体系为几何不变体系,

且无多余约束。

题2ノ3.试对图示平面体系进行机动分析

(b)

图2-13

解析:将原体系（图（a））中的二元体去除,新体系如图（b）所示,其中刚片I、II

分别与基础之间用ー个钱和一个链杆连接,根据两刚片法则,原体系为几何不变

体系

2-14.试对图示平面体系进行机动分析

解析:刚片I、II用实较连接,而刚片I和III、II和III分别通过两平行连杆在无穷远处

形成的虚锐相连接,且四根连杆相互平行,因此三校共线,原体系为瞬变体系。

图2—14

题2T5.试对图示平面体系进行机动分析

解析：去除原体系中的地基,如图（b）所示,三个刚片分别通过长度相等的平行连杆

在无穷远处形成的虚絞相连,故为常变体系。

去除地

图2-15

题2T6.试对图示平面体系进行机动分析

解析:将支座和大地看成一个整体,因此可以先不考虑支座,仅考虑结构体,从ー边,

譬如从右边开始向左依次应用二元体法则分析结构体,最后多余ー根,因此原体

系是有一个多余约束的几何不变体系。

图2—16

题2T7.试对图示平面体系进行机动分析。

解析:通过去除多余连杆和二元体,得到的图（c）为几何不变体系,因此,原体系是

有8个多余约束的几何不变体系。

题2-18.添加最少数目的链杆和支承链杆,使体系成为几何不变,且无多余联系。

图2-18

解析:如图（a）,原体系的自由度w=3加一2わー「=3x4-2x3-2=4,因此至少需要添

加4个约束,才能成为几何不变体系。如图（b）所示,在原体系上添加了4跟

连杆后,把地基视为ー个刚片,则由三刚片法则得知,变形后的体系为几何不变

且无多余约束体系。

题219.添加最少数目的链杆和支承链杆,使体系成为几何不变,且无多余联系。

(b)

图2-19

解析:如图(a),原体系的自由度卬=2ノーS+r)=2x6-(8+1)=3,因此需要添加3个

约束,才能成为几何不变且无多余约束体系,如图(b)所示。

第三章静定梁与静定刚架

题3-2.试作图示单跨梁的M图和Q图

解析:

LO.kW/N.................厂、40kN.m20甲

"小」・口:ロjvI宜打vimルQ乙M-0

广ロノA

ズ「.’もむ"首れ20x1—80x4—40—20x10+W=0

IJuB

:.V=67.5KN

QSv=0

.-.lOxlO+20-V-V=0

AB

:.V=525KN

M=52.5x4—60x3=30KN即

D左

M=30+40=70^9??

。右

题3~4.试作图示单跨梁的M图

解析:

範ピ

M怪I(KN.ni)

QEv=O

.-.V-)=0

B2

QEM=o

A

l-=0

B24人

3

M=—ql2

ん8

题3-8.试做多跨静定梁的M、Q图。

15kN/m

(a)

当

及5

し

IL

22m.2m

nl

47.5M图(KN.m)

解析:

QM=o

EF

・・.15x4x2+(15+17.5)x6-7x4=0

D

.・・V=63/75KN

QSM=0

G

6V+63.75x2-15x42=0

V=18.75KN

QEM=o

A

6V-18.75x8-30x4-30x2=0

.-.V=55KN

QV+55-30-30-18.75=0

A

：.V=23.75KNI

A

题3-10.试不计算反カ而绘出梁的弯矩图。

(a)畑Ig-0,-----------二---\

IIaヤIa丨2aチI己丨Ia-1a丄Ia」

题3-11.试不计算反カ而绘出梁的弯矩图。

2kN/m

-WO.

Ki

M图(KN.m)

题3-14.试做出图示刚架的M、Q、N图。

M图

解析

QとM=0Ev=0

B

：.q[L—V1=4

2A

V-V=0

・•.V=支V=支

A2B2

取右半部分作为研究对象

Q图QとM=0とH=0

C

：.Lv-H/=0

2BB

ql-H=0

B一”A

H=迎H=生

A4B4

應

题3-16.试做出图示刚架的M图。

解析:

QZM=0

G

/.ixH+50+20x2-40x2=0

・・.H=-lOKN

QH=0乙V=0

・・・H+H=0

10x4+20-V=0

c

M图(KN.m)

题3-18.试做出图示刚架的M图。

析

解z

Q=o

A

66

s8X65X.-5+X5X.-54Vo

-2-.56.-2B-

V=1.96KN

QXレ=0

V+V=0

AB

・・.V=1.96KN

QSM=0

c

：.9ムー0.5x6.5x12.5+とI—1.96x7=0

H=3.6KN

QZ”=0

/.0.8x6.5+0.5x6.5ー〃-H=0

BA

・・・H=4.85KN

A

题3-24.试做出图示刚架的M图。

解析:

取左半部分为研究对象,如图（a）所示

QEM=04V-10x4x2=0

：.レ=20KN

取右半部分为研究对象,如图（b）所示

Q=04V-20x4x2=0

HF

：.V=40KN

以整体为研究对象

Q=0

A

こ8V+12V-20x4x10-20-10x4x2-20x4=0

.・.V=625KN

B

QEv=oZ"=0

V=42.5KN：.H=40KN

A

3-26.已知结构的弯矩图,试绘出其荷载。

(a)8kX.m

AC

2

2kN

B

(b)

M图(KN.m)荷载图

第五章静定平面桁架

题5-7.试用较简便的方法求图示桁架中指定杆件的内力。

解析:

1）以整体为研究对象

由乙M=O,SM=0得

VV=ー尸（T）

A=B2

2）取1-1截面的左半部分为研究对象,如图

Q2dF+ーF・4d—6dド=0

N12

F=-4ド（压）

3）取口ーU截面的左半部分为研究对象,如图（b）所示

QZMo.=o

:.一F*2d+2dF+帀dF-Fd=0

2^iN2

：.F=后（拉）

QZレ=0

...1F-2F-^F+也F=0

22N22N3

F=一比F（压）

N32

4）以结点C为研究对象,如图（c）所示

QZ%=0

-FーeF=0

N42N2

・・.F=ード（压）

N3

题5d2.试用较简便的方法求图示桁架中指定杆件的内力。

解析:

如图（a）所示,首先去〇杆,可知F=0；

^a

选取I-1截面和U-U截面求F、F、F

1）以整体为研究对象

由エ/=〇,ヨレ=〇,求得支座反力

A

V=15KN（J）,V=5KN（J）

2）以结点B为研究对象,如图（b）所示

由ZV=0得ド=5KN（拉）

DNd

3）取u-u截面的左半部分为研究对象,如图（c）所示

QEM=o

10X6-3F=0,:.F=20（拉）

NbNb

4）取I-1截面的下半部分为研究对象,如图（d）所示

QEM=o

(d)〇口

15x3+5x3-3ドー小Fx3=0

Nd2Nc

：.F=15<yiKN=21.2KN(拉)

VA=15KNWVB=5KN

5-18.试求图示组合结构中各链杆的轴カ并做受弯杆件的内力图。

解析:

取结构的右半部分进行分析,如图（a）所示

（）

QEM=OEx=0a25KN50KN

11X-25x6-50x3=0

c

X-X=0

cH

：.X=27.3KNX=27.3KN

CB

如图（c）所示,取结构的右上部分为研究对象

QEM=o

3F+27.3x3-25x6-50x3=0

F=72.7KN（拉）

Q乙M=0

.-.3F+25x3=0

.-.F=-25KN（压）

QSx=oEr=o

cc

.­.27.3+F+巫F=025+也F=0

N62^52N5

.-.F=-25虚KN（压）F=-2.3KN（压）

又QF+"F=0F+ボF-F=0

.-.F=25KN（拉）F=-7W2KN（压）

75

218.4

今

FN(KN)

第六章影响线及其应用

题6-4.试作图示结构中下列量值的影响线:5、M、Q、N.P1在AE部分移

BCDDD

动。

解析:

题6-9.作主梁R、M、。、。、。的影响线。

B0。C左C右

题あ10.试做图示结构中指定量值的影响线。

1"K

严|1Me

,11111Qc左

3

Q<r右

题6-22.试求图示简支梁在所给移动荷载作用下截面C的最大弯矩。

解析:

如图(a)所示为“C的影响线,可知当外荷载作用在截面C,且其它荷载均在梁上

时才有可能产生最走弯矩。考虑荷载P=40KN和P=60KN分别作用在C截面两种情况。

1)P=40KN作用在C截面

M=40x2.25+60x1.75+20x1.25+30x0.75=242.5KN

c

2)P=60KN作用在C截面

M=40x0.75+60x2.25+20x1.75+30x1.25=237.5KN

由此可知,当P=40KN作用在C截面时,产生最大〃242.5KN•m。

题6・27・求简支梁的绝对最大弯矩。

解析:

如图跨中截面C的弯矩影响线M，可知临界荷载为120KN,此时20KN的カ已在梁外,

C

・・・M=120x3+60xl=420KN•mR=120+60=180KN•m

c

.,a=^i=lmx」ー=6==5.33加

180(4丫

------12---0=426.7KN•m

4义12(3丿

第七章结构位移计算

题7-3.图示曲梁为圆弧形,E六常数,试求B点的水平位移。

解析:

不考虑轴カ时

QM=fqRイ。•Rsin((p-0)=q/?2(l-cos(p)

tpノ

0

M二一Rsincp

nflMMqR4升qR4

/.A=J—a_Lds-----Jsin(p(l-cos(p)J(p=------(一)

BHEIEI2EI

o0

题7-4.图示桁架各杆截面均为A=2x10-3加2,七=2103尸.,2=40侬"=2相,试求（1）

C点的竖向位移;（2）乙4DC的改变量。

解析:

(1)各杆件的轴カ如图N,在点。处施加一虚力尸=1,其引起的各杆件内力如图N

p1

ゝ

二・△Ar/ノN]Np[,=________1______X

cEA210x109x2x10-3

2x(-2>/2P)x一f)x0d+2x2Px丄x2d+2x«JTPx立x曰+(-3P)x(—l)x24

=3.52x10-3皿1)

(2)在り、。两点处施加ー对虚カ偶,其引起的各杆件内力如图可

(p-----------J-----------2xZ^@x@+JLx(_3P)x2d

DCEA210X109X2X10-34a2a

=-0.42x10-3rarf

在A、カ两点处施加ー对虚カ偶,其引起的各杆件内力如图N

ゝNN,1

(D=乙一3~P-1=---------------------X

ス。EA210x109x2x10-3

—x2Px2d+J—x2Px2d+2xx(-2^2P)x2d+—Lx(一3P)x2d

4d4d4d2d

=0.936x10-3sd

・・.(p=(p+(p=-0.42x10-3+0.936x10-3=5.16x10-4raJ

DCAD

解析:

在C、D两点施加一对虚カ,支座反カ和杆件内力如图所示。绘制M和マ图,

△=——X0.4Q+—x—X0.4Q+2X—X-“〃3X0.2Q+2X(—xqq3X—X0.4Q)

8E/L38138丿23

1\qciA

15EI

题7・12.用图乘法求较C左右截面相对转角及CD两点距离改变,并勾绘变形曲线。

解析:

1）较C左右两截面的相对转角,如图M和

2111112pa2

屮——QX〃X-QX—X—

EI2232236E/

（ハ）

2）CD相对距离的改变,如图M和而〇

P2

1111Wpa3

A-.....X-QXax—x-pa=-

CDEI23224EI

第八章カ法

题8-3.作图示超静定梁的M、Q图。

枷

解析:

体系为一次超静定体系,解除支座C处的多余约束。如图あ］

021,2,2/3

6=---(-12X—/)=------

I'EI233EI

1,plーハ〃，3

-xZx—x//2

E/2416E1

8x+△=0

解得、=一フ4舟於著い

ii

题シ6.图示刚架E=常数,〃=最试做其乂图,并讨论当n增大和减小时M图如何变

化。

解析:

Mpg.m)

体系为一次超静定体系,解除支座B处的ー个约束,基本体系、M和府如图所示。

计算3ヽA求解x,并绘制M图。

II\pI

8x+A=0

c2122288

8=----(_x6x6x—x6)+-----6x10x6=-----

HEI23EIEI

1

123753000

A--xZxl0x—x6ー丄ズIOX2ZL6X2

ipEl32EI325EI

3000125

解得う=ーWユ

28812

11

M=M+x•M

p11

M=M=M=M=62.5KN•m

CDDCCADB

题8-7.作刚架的M图。

解析:

体系为二次超静定体系,解除较C处的两个约束,基本体系、MMヽM如图

所示。计算5、6、6、△和△求解x、x,并绘制M图。

II12221〃2P12

X]

己に——

56KN56KN

7777

基本体系168mMP(KN.m)

3

77776-------7777377777777

、LM

2

112144

8=———x6x6x—x6x2

iiEI23EI

8=8=丄!x6x6x3-lx6x6x3=0

1221EI22

212126

8———x3x3x3x—+3x6x3

El23EI

18

11c…5,1260

A-------x3xl68x_x6j-"O'

El26El

18

1756

A_L1x3x168x3

2。EI2El

8x+8x+△=0

111122IpT44.25

8x+8x+A-0

222212P

解得，x=8.,75KN

x=—6KN

ヽ2/

M=M+M»x+M»x77777777

P112297.5

M97.5KN・m

ACM(KN.m)

题シ9.试求图示超静定桁架各杆的内力。

解析:

P11Ip

8x+△=0

111\p

5工竺」12•Q+12•2。+12•Q+(虎)X"x2=幺(4+4い

EAEA」EA

A=282=J_12&+(-MP)x(—0)x"x2+Pa]=±(3+V)

LJ

•pEAEAEA

解得X=—3+4处=0.8963

14+4屛

N=N+x・N

各杆務内力见N图。

题8-11.试分析图示组合结构的内力,绘出受弯杆的弯矩图并求出各杆轴力。已知上弦

横梁的E/=lxlO4KN•m,腹弦和下弦的E4=2X105KN。

解析:

体系为一次超静定体系,基本体系、M和身如图所示。计算6ヽA求解x,绘

制M图。

II1Ip

8=J-(l.x3xlx|.xlx2+3x1xl)+-^_[2xlx(1)2+2x^lQlx(—12.)2+3x12=55.12x10—5m

A=-J_[2xlx120x3x3x1+120x3x1+2x1x1.5x60x1]=-690xl04m

】pEI232

解得ス=125.2KN

M=M+M•x

p11

题8-13.试计算图示排架,作M图。

D

■Q

50KN50kN

0.2m0.2m

5151

務

12m

解析:

体系为一次超静定体系,基本体系、M和府如图所示。计算B"解7并

Il1\p

1221111.6

5.11x3x3x2x3+—x(3+9)x6x6.5

EI[235E12EI

21X(3+9)X6X10

A

~5EI~EF

A

x=ー亠=-1.29KN

18

M=M+M•x

pI1

题8-16.试绘制图示对称结构的M图。

20KX一21

一BC-

11是

AD

解析:

将原结构体系分解成正对称和反对称两个结构体系,基本体系如下图所示,多余

未知力中X、X是正对称的,X是反对称的。

10KN1OKN

、3=1

△ヽA、△求解よヽス和xヽ,并绘制M图。

ip2p3p1

11.-2._136.6875

5—x4.5cx4.5x—x4.5+----[4.5x6x4.5]=-----------

2EI.23\EIEI

720

A-------x6x6x_x60

EI23~ET

A-----x6x60xl=

2〃EI\_2~EF

A=-J—2x6x60x4.5

3。EI[_2El

8x+8x+A=0

<8x+8x+A=0

2112222p

8x+A=0

I3333p

x=—10KN

解得I=0

2

x=-5.93KN

ゝ3

M-M+何»x+M»x+M+M»x

P正1122P反33

题8-18.试绘制图示对称结构的M图。

解析:

原结构体系上下左右均对称,因此

取四分之一体系作为研究对象,如

图所示是二次超静定体系,解除支

座处的两个约束,基本体系见右

图。

身、身和M见下图,计算bヽ

3、6、△和△,求解x和X,根据对称性绘制M图。

8=-———xlx/2

12El[2丿2EI

，ーハ31

8=—IIxlx—+lxlx/=-----

22El{2)2EI

1,3ハ矶キ

AK—Ql2X—=-......

IP24)8£/

A=^-|—lx1.ハめ

2PEI{32)6EI

8X4-8X4-2\=0

J111122ip

8X4-8X4-A=0

2112222P

5

x=——q

解得]Ij

セ」而りh

M=M+M•x+M»x

pi122

I,5,1,

Mソ=—!qh,+-—ql2-——ql2-—qli

助236129

レI7

M=—qhxl=36ql

他36

如2

如>如"

ァ/LトノfHトノ

3

———「コ~~f、オ""ri:、——

1/xK\]

揄メXZ嬴

M

题8-26.结构的温度改变如图所示,E片常数,截面对称于形心轴,其高度/?=丄,材料

的线膨胀系数为a,(1)作M图;(2)求杆端A的角位移。

解析:

体系为一次超静定体系,解除支座8处的ー个约束,基本体系如下图所示。

(1)网和ガ,如上图所示。

2/3

5±X2/3

EI33EI

5+2510a

A=XTTatl+L-\'MdS=-2a/7x[25-(-5)]x/2=-320a/

レ1h»2~T

5x+△=0

ii1Ip

480aE/

解得X

1h

Aエ+2炉a〃+Z到矿ds

KEIKhk

1,480a£/11a/(25-5)a(25+5)(1,,

+—/x------------+-x―2---------+----------x_/+/

2/J/2hU

=60a(」)

题8-3〇,图示结构的支座B发生了水平位移a=30加,”（向右），Z?=40M〃?（向下）,

（P=0.01raJ,已知各杆的/=640054,£：=2106ん。试求（1）作M图;（2）求。点

竖向位移及尸点水平位移。

体系为二次超静定,解除钱D处的约束,基本体系、MヽM如上图所示,

(1)计算B.8.8、△和△求解x和x.,并绘制M图。

111222\p2pI2

82(12“)128ヌ

O=-X—X43I=-----O--0n8

11El{23)3E112

A=ー乙RC=一(妬!+仰)=一(a+4<p)

A=ーとRC=—(1/?—2(p)=—(b—2(p)

2Aii

8x+8x+△=0

1111221A

8ス+8ス+A=0

ヽ2112222A

X=吟E，

1

解得128

0.06宀

X-----El

2112

M=M•x+M・x(如上图所示)

(2)

求ク点的竖向位移

AYA7MdsVp

A=乙一F——-ー乙Rc

FEIii

=——X22X3.X14.4+—X(14.4+102.6)X4X2+0

El\_232_

=36.3/wn(、L)

求F点的水平位移

.yMMdsy0

A==r----------乙Rc

FEIii

=---x27.95x22+丄x(73.8-27.95)x2：x-

EI\_223

-(-2x0.01-1x0.03)

=(-0.0088+0.05)in-41.2mni(—>)

第十章位移法

题152.用位移法计算刚架,绘制弯矩图,E=常数。

解析:刚架有两个刚性结点1、2,因此有两个角位移ZヽZ,基本体系、身、府和

由府、M和知可得出

।2p

r=8i+4i=12ir=r=4zr=8i+8i+4i=20iR=0

2p12

1

12iZ+4iZ=0zqh

?727

,二-1解得I

4zZ+20zZ~—ql2=03

1212zql?

6727

M=MZ+MZ+M

题10~5.用位移法计算刚架,绘制弯矩图,E=常数。

解析:

刚架有一个刚性结点和一个絞结点,因此未知量为ー个角位移Z和一个线位移Z,

基本体系、MヽM和ル如下图所示,计算r、r、r、R和マ,求解Zヽ

12P111222\p2p1

Z,绘制M图。

*基木体系

冬

一

^

L

一U

方

.チ

r=6z+4z=10/

ii

6z

r=r=-—

1221l

3i12z15z

22121212

R=8—3=5KN•m

ip

R=—6—12=—18KN

2P

R=8-3=5

10zZ--Z+5=0

.'I2

6z_15z_1Oハ

——厶+厶ー1〇=0

III/22

3.13

Z

解得‘

24.21

Z

M=MZ+MZ+M

ソ3/24.21…〜ゝ,

M=—•--------=18.16KN・Zn

BDIz

ー〜3.136124.21°

M=-2z-------+——・--------+8

=38.05KN・〃!

题1O7.图示等截面连续梁支座B下沉20mm,支座C下沉12mm,E=210GPa,

7=2x10-4014,试作其弯矩图。

解析:

A4A4AA

—»<P

5/B

M=3z(p-—A=-50.4KN•加

BABIB

M=4z(p-—(-A)+2z(p--A=50.4KN•加

BCBIBcIC

M=2z(p-—(-A)+4即--A=5.6KN・m

CBBIBcIC

M=3毎-—(-A)=-5.6KN»m

CDBlC

M(kN/m)

题10~9.用位移法计算图示结构,绘制弯矩图,E=常数。

解析:

X•9z

M=MAM=MAM=M-A

1441/2552I3663/

Q=1△Q=單公Q=单公Q+Q+Q=P

4,I52/63I415263

.ph

.,.A=--

42z

13

M=M=--plM=M=--plM=M=--pl

4114752251463367

第十一章渐进法

题11T.用カ矩分配法计算图示刚架并绘制M图。

解析:

S

A

33

AB19AC19

〃图见下图

题11-3.用カ矩分配法计算题ル22所示连续梁。

解析:

(1)计算分配系数

令包=7•,则6c杆的线刚度为也=冬

3z—9163z—916

セニH—N=—

425BC25425CB25

3i+4x—i3i+4x—i