第14讲函数与方程试题（解析版）

第14讲函数与方程

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【基础巩固】

1.(2022•全国•高三专题练习)函数/(x)=eT-x的零点所在的区间是()

A.卜1,-；)B,C.(0,[D.]1)

【答案】D

【解析】解：：函数f(x)=ef-》，画出尸0-,与》=》的图象，如下图：

，函数的零点所在的区间是

故选：D.

2.(2022•全国•高三专题练习)若函数兀0=如+〃有一个零点是2,那么函数g(x)=Z>N—以的零点为

()

A.0或—B.0C.—D.0或2

222

【答案】A

【解析】因为函数_/(x)="x+6有一个零点是2,

所以b——2a,

所以^(x)=—lax2~ax=—+x).

令g(x)=O,得x/=0,X2=—

故选：A

3.(2022•安徽哈肥市第六中学模拟预测)已知函数/(x)=2"+x,g(x)=log2x+x,/i(x)=2sinx+x的零

点分别为a,从c则a,6,c的大小顺序为()

A.a>b>cB.b>a>c

C.c>a>bD.b>c>a

【答案】D

【解析】由/z(x)=2sinx+x=0得x=0,.•.c=0,

x

由/(x)=0得2=-x,由g(x)=0得log2x=-x.

在同•平面直角坐标系中画出y=2*、y=log2x,y=-x的图象，

由图象知。<0,b>0,:.a<c<b.

故选：D

4.(2022•重庆•三模)已知函数外力=，(9则函数g(x)=〃x)-g的零点个数为(J

|log2Jc|,A->0.

A.0个B.1个C.2个D.3个

【答案】C

【解析】解：当x40时，g(x)=(g)*_g=0,，x=l,因为x40,所以舍去；

当x>0时，g(x)=|k>g2x|-g=0,；.x=&或*=当，满足x>0.所以x=或x=[.

函数g(x)=〃x)-；的零点个数为2个.

故选：C

5.（2022•山东烟台•三模）已知函数外力=J；：］：1\=。，若方程〃尤）=以-1有且仅有三个实数解，

则实数。的取值范围为（）

A.0<a<lB.0<6/<2C.a>\D.a>2

【答案】B

【解析】解：作出函数解幻的图象如图:

依题意方程/（司=奴-1有且仅有三个实数解，即丁=/（力与丫=⑪-1有且仅有三个交点，

因为y=ar-l必过（0,-1）,且〃0）=-1,

若时，方程〃句=奴-1不可能有三个实数解，则必有a>0,

当直线丁=依-1与y=inx在时相切时，

设切点坐标为（七,%），则/'（X）」，即/'（%）=；,

则切线方程为y-yo='（x-x。），

艮［3y=J-.x+%_l=J-.x+lnXo_l,

・・•切线方程为y=ar-l,

・•。=—且1叫-1=-1,则毛=1,所以〃=1,

大）

即当”>0时y=ar-1与y=〃x）在（0,+s）上有且仅有个交点，

要使方程/。）=奴-1有旦仅有三个的实数解，

则当%40时/（力=/+2》-1与y=ar-l有两个交点，设直线y=双-1与/（x）=/+2x7切于点

(0,-1),此时/'(x)=2x+2,则/''(())=2,即a=2,

所以0<"2,

故选：B

6.（2022•浙江•模拟预测）已知函数/"）=sin兀-l,aN0在（1,包）上有且仅有1个零点，则

\X7

下列选项中〃的可能取值为（)

A.0B.-CD.4

8-I

【答案】C

【解析】令g（x）=+:+上xe(l,+oo),

（I_j----------\

由函数〃x）=sin7t-l,aN0在（1,例）上有且仅有i个零点,

X

则方程g（x）=g+2Z,其中ZeN,有且只有一个解,

从而g（x）的值域为有限区间，故必有。=0,

从而有g（x）=的值域为（0,0五）,

所以9夜限|，即太后,从而可以选T，故选项C正确.

故选：C.

7.（2022•浙江•模拟预测）已知函数/⑸的定义域为（0,+oo）,对任意x€（0,”o）,都有

,/(/(x)-log2x)=20.现已知/(a)=/'3)+17,那么()

A.ae(l,1.5)B.aG(1.5,2)C.aG(2,2.5)D.aG(2.5,3)

【答案】D

【解析】不妨设/(x)-log2*=，〃，则/(加)=20,所以，〃+log2机=20nm=16,得f(x)=IG+log；；》,

f'M='»

xln2

因为/(a)=r(a)+17,所以log,a--^--1=0.令g(a)=log,a——1,易得g⑷在(0,+oo)上单调递

ain2a\n2

增，

27

In——1

因为]

^(3)=log3-———>0

231n231n2

5哈2哈一213125c

In-------2,个

1024Jn4A-2＜。，

g(2.5)=log2.5-

22.5In251n2-~51n251n251n2

由零点存在定理知：6/e(2.5,3).

故选：D.

2Xn

8.(2022•辽宁•大连二十四中模拟预测)己知函数x；g(x)=|x(x-2)|,若方程

lnx,x>0,

/(g(x))+g(x)-m=O的所有实根之和为4,则实数机的取值范围是()

A.m>\B.m,AC.m<\D.科,1

【答案】c

【解析】令f=g(x),d0,

当初=1时，方程为〃，)+，—1=0,即

作出函数y=/(。及y=lT的图象，

由图象可知方程的根为/=0或/=1,即|x(x—2)1=0或|x(x-2)|=I,

作出函数g(x)=|x(x-2)|的图象，结合图象可得所有根的和为5,不合题意，故BD错误;

当帆=0时，方程为/(/)+，=0,即/(r)=T,

-2-1O\A23t

由图象可知方程的根即k(x-2)|=tw(0,l),

结合函数g(x)=|x(x-2)|的图象，可得方程有四个根，所有根的和为4,满足题意，故A错误.

故选：C.

l-x,xe[O,l),

9.(多选)(2022•湖南师大附中三模)已知函数〃x)=.

/(x)=/(x-2),若函数g(x)=f(x)-上在［0,+oo)上的零点从小到大恰好构成一个等差数列，则％的可能

取值为()

C.0D.V2-1

【答案】ABD

【解析】由已知，/(x+2)=/(x),则，(x)的周期为2.其大数图象如图所示，由图可知,

①当4=0时，g(x)零点为I、3、5,7、…，满足题意；

②当％=1时，g(x)零点为0、2、4、6、…，满足题意；

③当上e(0,l)时，若零点从小到大构成等差数列｛七｝,公差只能为1.

1X、—1(X.+1)—1I—1—

由1"二玄=二证正得飞=2-尬,此时人1一%=/一1：

④当丘(fOMlZ)时,函数g(x)无零点,不符合题意.

故选：ABD.

10.(2022•北京•高考真题)若函数f(x)=Asinx-Gcosx的一个零点为"，则4=；f

【答案】1一应

【解析】•:畤=^A-曰=0,，A=1

/(x)=sinx-Gcosx=2sin(x-至

/(—)=2sin(---)=-2sin-=-42

121234

故答案为：1,-\/2

11.(2022•浙江嘉兴•模拟预测)已知函数/(力=2'『八，若方程。=。有4个不同的实数

X-4A4-3,XSU

解，则实数。的取值范围为.

【答案】(1,5]

【解析】由题知：方程f(x)-。=0有4个不同的实数解，即〃x)=a有4个不同的实数解.

作出/(幻图像(如图所示)，即直线＞与曲线y=/(x)有4个公共点.

易知：1vaW5.

故答案为：(1,5].

12.(2022•全国•高三专题练习)已知f(x)=|lgx|-米-2,给出下列四个结论:

(1)若&=0,则/(©有两个零点;

(2)弘＜0,使得/(x)有一个零点；

(3)弘＜0,使得/(x)有三个零点；

(4)弘＞0,使得/(x)有三个零点.

以上正确结论的序号是

【答案】(1)(2)(4)

【解析】函数〃x)=llgx|-辰-2的零点的个数可转化为函数y¥/gx|与直线y=Ax+2的交点的个数;

作函数y=|lgx|与直线y=Ax+2的图象如图，

若无=0,则函数y=|lgx|与直线y=Ax+2的图象在（0,1）与（1,+00）上各有一个交点,则“X）有两个零点,

故（1）正确；

若k<0,则当函数y=1lgx|与直线y=^+2的图象相切时，/（X）有一个零点，故（2）正确；

当《<0时，函数y=|lgx|与直线了=区+2的图象至多有两个交点，故（3）不正确；

当k>0且女足够小时，函数y=|igx|与直线y=q：+2的图象在（0,1）与（1,内）上分别有1个、2个交点，故

（4）正确；

故答案为：（1）（2）（4）.

13.（2022•福建•厦门一中模拟预测）已知士,W,%,（不<不）是函数/（x）=（x-D（e*+e）+,〃（e'-e）

（机eR且加片0）的三个零点，则9-'-2工2+鼻+1的取值范围是

【答案】（1,”）

［解析］显然/⑴=0,设/（1一/）=_/（8,+0）+机（e-与—e）=O,

贝lJ/（l+Xo）=Xo（e'**+e）+w（el+Ai,-e）

=—e*'［-X0（e+e'-"）+，〃（e'-&-e）］=—xo）=O,

所以1是7（x）的零点，且另两个零点关于x=l对称，

所以=1，%+九3=2，

则e*1—2x>+七+1=e'1—X]+1,X]<1,

令g(x)=e"-'-x+l,x<l,

则g'(%)=e--1<O所以g(力在(YO,1)单调递减,

所以g(x)>g(l)=l,即e"i-2/+w+l的取值范围是(1,+»).

故答案为:(1,物).

14.(2022•全国•高三专题练习)已知f(x)=3，nr—4,若在［-2,0］上存在%,使〃%)=0,求实数机的取

值范围.

【解】因为在［-2,0］上存在％,使/(为)=0,

所以有〃-2)•/(())<(),解得加4-1.故实数加的取值范围为1口,-g.

15.(2022•上海•模拟预测)设“eR,已知函数/(x)=or+-1.

(1)若。=1时，解不等式f(x)+lV/(x+l)；

(2)若fM在区间［1,2］上有零点，求〃的取值范围.

【解】(1)当a=l时，/(x)=x+—!—；

x+i

不等式f(x)+lV/(x+l)即为工+总不+1<X+^+~x+2，

即击U+l)t+2j<0>得-2VXV-1,

所以不等式的解集为(-2,-1)；

(2)由题意，令/。)=0,即方程6+*=0在区间［1,2］上有实数解.

整理得八一舟不，、虫1由l<x<2,得~64-x(x+l)4-2,-3一舟下Wj.

所以，”的取值范围为［/，得.

16.(2022•全国•高三专题练习)若函数“xhf-Zax+Z在(0,4)上至少有一个零点.求实数。的取值范

围.

【解】因为函数〃力二幺-2妙+2在区间(0,4)上至少有一个零点，R/(0)=2>0,所以〃4)v0或

o<—<49

,2,解得。>工或亚4a<4，即

A=4a2-8>04

所以实数。的取值范围为［血，口).

【素养提升】

Inxr>0

1.(2022•湖南•长郡中学模拟预测)已知函数/(x)=尤"，则函数y=/U(x)+l］的零点个数是

x2+2x,x<0

()

A.2B.3C.4D.5

【答案】D

Inx---F1,x>0

【解析】令f=/(x)+l=JX,

(x+1)2,x<0

①当f>0时，f(t)=lnt--,则函数f。)在(0,+oo)上单调递增，

t

由于〃l)=-l<0,f(2)=ln2-g>0,由零点存在定理可知，存在46(1.2),使得/(fJ=0；

②当t40时,f(t)=t2+2t,由/⑺=产+2，=0,解得芍=-2,f3=0.

作出函数f=/(x)+l,直线"小》=-2、f=0的图象如下图所示：

由图象可知，直线f=4与函数r=.f(力+1的图象有两个交点；

直线r=0与函数f=f(x)+l的图象有两个交点；直线r=-2与函数t=/(x)+l的图象有且只有一个交点.综

上所述，函数y=/［/(x)+l］的零点个数为5.

故选：D.

|log2x|,x>0,

2.(2022•河北•模拟预测)已知函数f(x)=|后.5八若方程八x)=。恰有四个不同的实

73sin7rx-cos%x,—<x<0.

数解，分别记为不工2，毛/4，则X+々+*3+8的取值范围是()

1%219)「517、C8〃178c

A.L——612JB.L—3，—\2)C.[24JD..343J

【答案】A

log2x|,x>0,

【解析】解：/")=,

V3sin7VX-COS7TX,——<x<0.

3

当一时/(x)=V3sin7TX—COS7TX得四一』=2sin^x--^-

I22

“口4、”5„,5|.1547T]1

令G.芸点,解得了=一§,当工=一§时/1一§J=o2sin[一■-■——1=1,

当x>0时/(%)=|1。82乂，令〃x)=2,解得工=4或x=(,

令〃x)=l,解得x=2或x=g,

因为方程f(x)=a恰有四个不同的实数解，即y=/(x)与y=”恰有四个交点，所以14a＜2,

148

不妨令石＜工2〈工3〈工4，则玉＜。＜七＜5＜24工4＜4，且4与巧关于工=一1对称，所以再+/=-5,

又|log2司=|唾2七|，ep-log2x3=iog2x4,所以logzZ+log2毛二°，gpx3-x4=1,

所以工3=’,

①

81

所以“[+工2+W+冗4=一扇+—+工4,

3兀

因为卜='+］在［2,4）上单调递增，所以，+七€517

X及12,7

所以%+£+七+匕w

故选：A

2sin2乃|x-a+—,x<a

3.（2022•天津•耀华中学二模）已知函数〃力=,I2，若函数/（x）在。y）内恰有

X2一(2a+l)x+/+2,X>

5个零点，则a的取值范围是（）

757

A.B.C.D.

4,2?24

【答案】D

【解析】当20时，对任意的尢20,/（力=/一（24+1卜+4+2在［0,+向上至多2个零点，不合乎题

意，所以，。>0.

函数卜=/一（2«+1）兀+/+2的对称轴为直线犬=〃+；,A=（2a+l）2-4（a2+2）=4a-7.

所以，函数/（X）在出a+g）上单调递减，在1

a+—,+8上单调递增，且/（。）=2-4.

2

7

①当△=4。一7<0时，即当0<a<w时，则函数“X）在［%”）上无零点，

x-a+g

所以,函数f(x)=2sin2兀在［0,。）上有5个零点,

111

当04尤va时,——a<x-a+-<—,则（1一2〃）乃“2万x-a+—<兀、

2222

由题意可得一5万<（1-2。）乃解得14a<3,此时。不存在;

②当△=（）时，即当4=（7时，函数“X）在（,+8）匕只有一个零点,

4

当xe0,(卜寸，/(x)=-2cos2^x,则0<2乃工71，则函数）在

<一“X0,（上只有3个零点,

2

此时，函数/（X）在［0,+8）上的零点个数为4,不合乎题意;

伫二丁时,即当时，函数十）在［…）上有2个零点，

③当

则函数f(x)=2sin2万x-。+万