2017高考一本解决方案专题

第8部分专题二十一数系的扩充与复数的引入瑞写：笔撒件Ci■生芒馥;.w一士工声利.3考纲专题解读考点分布考点分频考纲内容考试指导夏蜘怫喳:与运苴1理解复鼓的茸本意念.理第复数相等的充要条件.了解艮散的t⅛⅛⅛表示法度耳几何意;⅛;除珞代S⅛R⅛M的复数在艮平向上月点项向■表可：，并能将复平际上的点嵬向书所对应的宜糊用代触形式表示..会进行复数代数形式的匹则运算,了解巨敢代敢招式的加，i⅛运算的几轲意义.区分复数的幔伤T如实钿、虚部，纯虚St共鸵里数，复散的梗等Ir阴簿单报短数的代数运算并灵活运用.掌握宣激的几何意义并聂活运用阙决问同一5年03考考点题组训练^^^3复数的概念与运算 ⅜⅜⅜⅜⅜I第n步Jl试真题 '3 (2016∙山东，1,易)若复数Z满足2Z+错误!=3—2i,其中i为虚数单位，则Z=()A.1+2iB.1—2iC.—1+2iD.—1—2iB［考向1］设Z=a+历，则2(a+bi)+a—bi=3—2。即3a+bi=3—2i,所以a=1,b=—2,所以Z=1—2io(2016∙课标∏,1,易)已知Z=(m+3)+(m—1)i在复平面内对应的点在第四象限,则实数m的取值范围是()A.(—3,1) B.(—1,3)C.(1,+∞) D.(—∞,—3)A［考向2］由题意知,错误!解得一3〈m〈1。(2016∙课标ΠI,2，易)若Z=1+2i,则错误!=( )A.1B.—1C.iD.—iC［考向1］z•错误！=(1+2i)(1—2i)=1+4=5,.∙•错误！=错误！=i.(2015・北京，1,易)复数i(2—i)=( )A．1＋2iB．1－2iC．－1＋2iD．－1－2iA［考向1］i（2—i）=2i—i2=1+2i.（2015•山东,2，易）若复数Z满足错误!=L其中i为虚数单位,则z=（ ）A.1—i B.1＋iC.—1—iD.—1＋iA［考向I］：错误!=i,，错误!=i（1—i）=1+i，，Z=1—i。故选A。（2015•广东,2，易）若复数z=i（3—2i）（i是虚数单位），则错误!=（ ）A.2—3iB.2＋3iC.3＋2iD.3—2iA［考向1］:Z=3i—2i2=2+3i,，错误！=2—3i。（2014∙重庆,1，易）复平面内表示复数i（1—2i）的点位于（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限A［考向2］i（1—2i）=i—2i2=2+i,对应复平面上的点为（2,1）,在第一象限.（2014∙课标I,2,易）错误！=（ ）A.1＋iB.1—iC.—1＋iD.—1—iD［考向1］错误!=错误!=—1—i,故选D。（2014∙江西，1,易）错误!是Z的共轭复数，若Z+错误!=2,（z—错误!）i=2（i为虚数单位），则z等于（ ）A.1＋iB.—1—iC.—1＋iD.1—iD［考向1］方法一：设z=a+bi,a,b为实数，则错误!=a—bi。：Z+错误!=2a=2,，a=1。又（Z一错误!）i=2bi2=-2b=2,Λb=-1.故Z=1—i.方法二：∙.∙（z一错误!）i=2,.∙.z一错误！=错误！=—2i。又z+错误！=2, （%一错误!）+（z+错误!）=—2i+2,.*.Iz=-2i+2,.*.z=l-10.（2013•课标I,2,易）若复数Z满足（3—4i）z=I4+3iI,则Z的虚部为（）A.-4B.一错误！C.4Do错误！D［考向1,2］∙.∙（3-4i）z=l4+3il,错误！=错误！=错误！=错误！+错误!几ʌz的虚部为错误!。（2013・陕西,6,中）设ZyN2是复数，则下列命题中的假命题是（）A.若%—"="则错误!ι=错误马B.若Zl=错误弓，则错误!i=%2C.若IZJ=I¾I,则Z1*错误!ι=q•错误!2D.若IZlI=Iz2I,则z2,1=0D［考向1,2］设4="+历，z2=c-hdio若Iz1~z2I=0,则z1-Z2=（a~c）÷Cb-d）i=0,a=c,b=d,所以z,，=错误J故A项正确；若Zl=Z错误修则a=c,b=~d,所以错误!］=々故B项正确；若IZll=叼，则成+拉=Μ+^,所以错误!ι=q∙错误修故C项正确N错误！=（“2—〃2）+2αZ⅛z错误！=（c2-6f2）+2Cdi,在a2+∕p2=c2+d2的条件下，不能保证“2-∕p2=c2-d2,2M=2cd,故D项错误.（2016•天津,9,易）已知a,b∈R,i是虚数单位，若（l+i）∙（1—历）=”,则错误!的值为.12.［考向1］【解析】V（l+i）（l-⅛=α,：.l+b+i-bi=a,即错误!解得错误!「•错误！=2o【答案】2(2016・北京，9,易)设α∈R,若复数(l+i)(α+i)在复平面内对应的点位于实轴上,则.13.［考向2］【解析】 因为(l+i)(α+i)=(α-1)+(a+l)i,所以要使其在复平面内对应的点在实轴上,则有〃+1=0,解得-1.【答案】 一1(2015•天津，9,易)i是虚数单位,若复数(1—2i)(α+i)是纯虚数,则实数a的值为.14.［考向1］【解析】 (1-2i)(α+i)=α+(1-2a)i+2=(α+2)+(1-2a)i,由题意得错误!.∙.”=-2.【答案】一2第理矍JI提能力复如购概窟及运算 »J*蔚福团图复数的概念及运算是高考的必考内容，主要以选择题、填空题的形式考查，难度为低档题，分值一般占5分.在复习中弄清复数的概念如复数的分类、共辗复数、复数的模等是基础，掌握复数代数形式的运算是关键.□□□□1(1)(2015∙课标∏,2)若a为实数，且(2+ai)(a—2i)=—4i,则a=()A.—1 B.0 C1 D.2(2)(2014・山东，1)已知a,b∈R,i是虚数单位，若a—i与2+bi互为共轭复数，则(a+bi)2=( )A.5—4iB.5+4iC.3—4iD.3+4i(3)(2014・广东，2)已知复数Z满足(3+4i)z=25(i为虚数单位)，则Z等于( )A.—3+4iB.—3—4iC.3+4iD.3—4i【解析】 (1)•・•(2+ai)(a-2i)=4a+(a2-4)i=-4i,Λa=0。⑵■-i与2+历互为共轨复数“+i=2+bi,：,a=2,b=l,：.(a+bi)2=(2+1)2=4+4i+12=4+4i-1=3+4io(3)方法一：由(3+4i)z=25,得Z=错误！=错误！=3-4i。方法二：设z=〃+历(”,8∈R),贝U(3+4i)(α+历)=25,即3〃-4〃+(4〃+3〃)i=25,所以错误!解得错误!故z=3-4i.【答案】(1)B(2)D(3)D“国画眉窗复数相等的充要条件是将复数问题代数化的一个重要工具，题(1)通过复数的乘法运算,利用复数相等可求出参数念明确共朝复数的概念是解题⑵的关键,利用共轨复数的实部、虚部之间的关系求出”,〃的值，利用运算法则求解.题⑶的方法一直接利用复数的除法求解;方法二设出Z的表达式，利用复数的乘法及复数相等求解.老1题1强也1.(2015∙湖北,1)i为虚数单位，i607的共轭复数为( )A.iB.-iC1D.-1A∙.'i607=i4x151+3=i3=-i,.∙.其共轭复数为i。(2013・山东，1)复数Z满足(z-3)(2-i)=5(i为虚数单位)，则Z的共轭复数Z错误!为()A.2+iB.2-iC.5+iD.5-iDz=错误!+3=错误!+3=5+i,故错误！=5-i。(2014∙安徽，1)设i是虚数单位，错误!表示复数Z的共轭复数.若z=1+i,则错误！+i•错误！=( )A.-2B.-2iC.2D.2i3.C•/z=1+i,；•错误！=1-i,错误！+i•错误！=错误！+。一，)=-，+1+i+1=2。，”E3FltΠEl复数相关概念与运算的技巧（1）解决与复数的基本概念和性质有关的问题时，应注意复数和实数的区别与联系，把复数问题实数化是解决复数问题的关键.（2）复数相等问题一般通过实部与虚部对应相等列出方程或方程组求解.（3）复数的代数运算的基本方法是运用运算法则，但可以通过对代数式结构特征的分析，灵活运用i的事的性质、运算法则来优化运算过程.考向2*国的团岛对复数的几何意义的考查，多以选择题、填空题形式考查，难度多为中低档；复数的模在高考中考查频率较低，一般结合复数运算综合求解,以选择题或填空题的形式出现，难度为中低档.在复习中理清复数与复平面内的点以及复平面内以原点为起点的向量的一一对应关系，记对并准确应用复数的模的计算公式.□□ΠΩ2（1）（2015∙安徽，1，易）设i是虚数单位,则复数错误!在复平面内所对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限仁第三象限D.第四象限（2014∙课标∏,2）设复数Z1,Z2在复平面内的对应点关于虚轴对称,Z1=2+i,则Z1z2=（ ）A.-5B.5C.-4+iD.—4—i（3）（2015∙江苏，3）设复数Z满足Z2=3+4i（i是虚数单位），则Z的模为.【解析】（1）错误！=错误！=错误！=错误！=-1+i,所对应的点为（-1,1），在第二象限.(2)因为Z1=2+i,所以ZI在复平面内对应点的坐标为(2,1),该点关于虚轴的对称点为(-2,1),所以Z2=-2+i,Z1Z2=(2+i)(-2+i)=i2-4=-1-4--5。(3)Vz2=3+4i,.∙.∣z2I=错误!=5=IzI2,.∙,IZl=错误!。【答案】(I)B(2)A(3)错误！“国困国图解题(1)(2)的关键是准确利用复数的运算求出复数的实部与虚部，理解复数与复平面内点的一一对应关系；解题⑶时可先求出复数Z2的模,再求复数Z的模.考I题I强也Io(2015•课标I,1)设复数Z满足错误!=i,则团=( )A.1B.错误！C.错误！C.21∙A由错误！=3得Z=错误！=错误！=3∙'∙∣z∣=l.2.(2016・山东济宁二模，12)已知复数g=—l+2i4=l—i，q=3—4i,它们在复平面上对应的点分别为A,B,C,若错误!=2错误!+〃错误!,(九〃£R),则λ^μ的值是.2.【解析】由条件得错误！=(3,-4),错误！=(-1,2),错误！=(1,-1),根据错误！“错误！+〃错误!得(3,-4)=Λ(-1,2)+μ(l,-l)=(-λ+μ,2λ-μ),■误!解得错误!.」+〃・【答案】L”E3F1ET］国与复数几何意义、模有关的解题技巧(1)只要把复数z="+历(。，8∈R)与向量错误!对应起来，就可以根据平面向量的知识理解复数的模、加法、减法的几何意义并根据这些几何意义解决问题.(2)有关模的运算要注意灵活运用模的运算性质.第步［过规摭（2016•广东中山一模，3）已知Z=1+i,则（错误!）2=（ ）A.2B.-2C.2iD.-2i1.D[考向1]•・•Z=1+i,∙∙∙Z,-=1-i,（错误!）2=-2i,故选D.（2016∙浙江温州质检，1）已知复数错误!是纯虚数，则实数〃=（ ）A.-2B.4C.-6D.6D［考向1］错误!=错误!，•・•复数错误!为纯虚数，•∙〃=6θ3.（2016∙河南郑州一模,3）如图在复平面内，复数J,4对应的向量分别是错误!，错误!则Iq+z2∣=( )23C.2错误！D.3错误!A［考向2］由题图可知，Z1=-2—i,z2=i,则Z1+Z2=—2,・'.1Z1+Z2∣=2,故选A。（2016∙山东青岛调考，3）在复平面内,复数Z和错误!表示的点关于虚轴对称，则复数Z=( )A。错误！+错误!iB.错误！一错误!i2C.D.一错误！一错误!i5A［考向2］由错误!=一错误!+错误!i可知复数Z对应的点为错误!,其关于虚轴的对称点为错误!，故复数Z=错误!+错误!i，故选A。（2015∙四川德阳二模,2）如果复数错误!（其中i为虚数单位，b为实数）的实部和虚部互为相反数，那么b等于（）A。√2B。错误！C.一错误！D.2C［考向1］错误！=错误！=错误！一错误!i.2—2b由F-=错误!,得b=一错误！。（2016•河北唐山一中质检，3）设i是虚数单位，错误!是复数Z的共轭复数.若Z∙错误!i+2=2Z,则Z=( )A．1＋iB．1－iC．－1＋iD．－1－iA［考向1］令Z=a+历，则错误!=a—历，代入Z•错误!i+2=2Z，得:(a2+b2)i+2=2a+2bi,得a2+b2=2b且2a=2,解得a=1,b=1,则Z=1+i,故选A。(2016∙陕西西安一模，2)在复平面内，复数3-4i,i(2+i)对应的点分别是A,尻则线段AB的中点C对应的复数为()A.-2+2iB.2-2iC.-1+iD.1-iD［考向2］Vi(2+i)=-1+2i,.∙•复数3-4i,i(2+i)对应的点A,B的坐标分别为A(3,-4),B(-1,2).∙∙.线段AB的中点C的坐标为(1,-1),则线段AB的中点C对应的复数为1-i.故选D.m+i1(2016・云南曲靖质检，13)已知m£&复数 -2的实部和虚部相等，则m1+i28.［考向1］【解析】 错误！-错误！=错误！-错误！二错误！-错误！二错误!，由已知得m=1-m,则m二错误！.【答案】错误！(2015•安徽合肥模拟，11)设i是虚数单位,则复数(1-i)2-错误1-4i2014=.考向1］【解析】 原式二-2i-错误［+4=-2i-错误［+4=-2i-2i+4=4-4i.【答案】4-4i10.(2016∙安徽六安质检，12)已知复数N=X+yi,且Iz-2I=错误！，则错误!的最大值为10.［考向2］【解析】•・•Iz-2I=错误！二错误！，.∙.(χ-2)2+y2=3.由图可知错误!错误！=错误！=错误!。【答案】错误！专题知识备查.复数的相关概念(1)对于复数〃+历(。，8∈R),当且仅当〃=0时，是实数;当〃≠0时，是虚数;当α=0且Zp≠O时，是纯虚数.(2)复数相等:如果a,b,c,