高二数学必修五导学案：数列的概念与简单表示法(第2 课时)

2.1数列的概念与简单表示法(第2课时)

**学习目标**

1.了解数列的递推公式，能根据递推公式写出数列的前几项；

2.了解数列的前〃项和与数列通项公式的关系，能根据前〃项和S,,求通项4：

3.能根据数列的递推公式求一些简单数列的通项公式。

**要点精讲**

1.在数列｛4,｝中，q=l,a“=+1(〃>1),由q可计算出的,%，…，像这样给出

数列的方法叫做递推法，其中4=24“_]+1(〃>1)称为递推公式。递推公式也是数列的一

种表示方法。

fS.,n—\

2.设数列｛4“｝的前〃项之和为=q+&+…+%,贝c。

⑸-S“T，〃N2

7,〃=I

3.设数列｛。“｝的前〃项之积为T,=%...a”,则/=<T"、r。

---,n22.

**范例分析**

例1.(1)在数列｛/｝中，q=\,an=2a„_i+l(n>1),写出数列｛an｝的前5项。

(2.)在数列｛/｝中，a.%=1一一—(»>1),写出数列也,｝的前5项。

4

评注：像第(2)小题中的数列缶“｝的项的值是呈现周期性变化的，这样的数列称为

周期数列。

例2.已知数列｛4｝,a,=l,q加=一^(〃eN*),写出这个数列的前4项.，并根据规

1+2对

律，写出这个数列的一个通项公式，并加以验证。

评注：数学猜想是数学研究的起点，而验证是对所猜结论正确与否的一种保护措施,

学习数学需要掌握这种“归纳-猜想-验证”的思考方法。

例3..⑴数列他｝的前“项之和S,=1+2",求知。

(2)数列｛4,｝的前〃项之和S“=〃2—2〃，求怎。

(3)数列也,｝的前〃项之积*=1+〃2,求％。

分析：(1)(2)利用S,与%的关系解题。(3)利用7；与%的关系解题。

例4.设数列｛4｝满足q+3a2+32%+-+3"T/=F(”eN*)“求凡。

分析：数列是自变量为正整数的一类函数，用函数的变量代换来表示数列递推。

**规律总结**

1.递推公式是数列的一种表示方法，利用数列的递推公式可以逐项求值。

2.递推公式与函数方程相类似。如勾=2%_1+1与/(〃)=2/(〃—1)+1相类似。

3.由S“或7；求一,不.能忘记讨论〃=1。

4.由/(1泗+/(2)°2+…+/(〃)%=g(〃)求a”与由S”求a.方法类似。

**基础训练**

一、选择题

1.在数列｛a,J中，an+i=an+2+an,ax=2,a2=5,则牝的值是()

A.-3B.-11C.-5D.19

2.已知数列｛%｝的首项q=1,且满足%+|=L(+」-,则此数列的第三项是()

22〃

1I35

A.IB.—C.—D.一

248

3.数列｛““｝满足+a“+i=-,(〃2I,"GN),g=l,S.是｛a,,｝的前n项和，则与=()

911,

A.—B.—C.6D.10

22

2

4.若数列｛与｝的通项公式为%=5〃,2-4”,〃=0）"，｛%｝的最大值为第x项，最.

小项为第歹项，则x+y等于（）

A3B4C5D6

5.已知数列｛4｝.的首项4=百，且满足氏+1二巴4则40。8=（）

/?

A.B.----C.0D.A/3

3

二、填空题

6.数列｛4｝的前〃项和用=2/-3〃，则a〃=o

7.数列｛4｝中，q=1,对所有.的〃N2都有。避2。3…。〃=/J，则通项公式%=

8..已知数列｛。〃｝对于任意p,GN*,有4口+,=与+9，若q=g,则々36=

«

三、解答题

9.已知数列｛%｝的前〃项和S,满足log2（S,,+l）=〃+l，求｛4｝的通项公式。

10.已知数列｛4｝满足《=2,4=5,4=23,且。,用=加,,+£,求实数a,尸的值。

**能力提高**

A

11.已知数列｛a“｝的首项q=百，且满足％+1二%+｝，若a“=tan6”（，”是弧度

1-V3a„

数），则6向与4的