微专题(三)　竖直平面内的圆周运动模型

微专题(三)竖直平面内的圆周运动模型eq\x(模型建构)模型一轻绳模型轻绳模型常见类型过最高点的临界条件小球恰能做圆周运动到最高点时，由mg＝meq\f(v\o\al(2,临),r)得v临＝eq\r(gr).讨论分析(1)过最高点时，v≥eq\r(gr)，F＋mg＝meq\f(v2,r)，绳、轨道对球产生弹力F；(2)若计算得到v<eq\r(gr)，则小球不能过最高点.【例1】如图所示，长度为L＝0.4m的轻绳，系一小球在竖直平面内做圆周运动，小球的质量为m＝0.5kg，半径不计，g取10m/s2.(1)求小球刚好通过最高点时的速度大小；(2)求小球通过最高点时的速度大小为4m/s时，绳的拉力大小；(3)若轻绳能承受的最大张力为45N，求小球速度的最大值．【点拨】本题要明确小球恰能通过最高点做圆周运动的动力学条件，正确分析小球在最高点和最低点的向心力来源，然后根据牛顿第二定律和向心力公式联立求解．练1如图所示，在竖直平面内有一半径为R的半圆形轨道，最高点为P点，现让一小滑块(可视为质点)从水平地面上向半圆形轨道运动，下列关于小滑块运动情况的分析，正确的是()A．若vP＝0，小滑块恰能通过P点，且离开P点后做自由落体运动B．若vP＝0，小滑块能通过P点，且离开P点后做平抛运动C．若vP＝eq\r(gR)，小滑块恰能到达P点，且离开P点后做自由落体运动D．若vP＝eq\r(gR)，小滑块恰能到达P点，且离开P点后做平抛运动练2如图所示，游乐场翻滚过山车上的乘客常常会在高空倒悬时吓得魂飞魄散．设想如下数据，轨道最高处离地面32m，最低处几乎贴地，圆环直径15m，过山车经过最高点时的速度约18m/s.在这样的情况下能否保证乘客的安全呢？(g取10m/s2)练3如图所示，水流星是中国传统杂技的保留项目，是中华文化的重要传承．结实的绳子系着装有水的水桶，使水桶在竖直平面内做圆周运动，为了研究问题方便，可以把水桶视为质点，设桶内水的质量为0.5kg，水桶做圆周运动的半径R＝0.4m，重力加速度g＝10m/s2.(1)若在最高点时水不流出，求此时水桶的最小速率；(2)若在最高点时水桶的速率为4m/s，求此时水对桶底的压力；(3)若在最低点时桶底承受的压力为桶内水重力的6倍，求此时水桶的速率．

模型二轻杆模型轻杆模型常见类型过最高点的临界条件小球恰能做圆周运动到最高点时，v临＝0.讨论分析(1)当v＝0时，FN＝mg，FN为支持力，方向沿半径背离圆心；(2)当0<v<eq\r(gr)时，mg－FN＝meq\f(v2,r)，FN为支持力，方向沿半径背离圆心，随v的增大而减小；(3)当v＝eq\r(gr)时，FN＝0；(4)当v>eq\r(gr)时，FN＋mg＝meq\f(v2,r)，FN的方向沿半径指向圆心，随v的增大而增大.【例2】如图所示，用0.4m长的轻杆拴住一质量为1kg的小球在竖直面内绕O点做圆周运动，小球通过最低点A时的速度大小为2eq\r(5)m/s.(g＝10m(1)小球通过A点时轻杆对小球的弹力；(2)若小球通过最高点B时杆中的弹力为零，小球通过B点时的速度大小；(3)若小球通过B点时的速度大小为1m/s，轻杆对小球的弹力．练4(多选)如图所示，有一个半径为R的光滑圆管道，现给小球一个初速度，使小球在竖直面内做圆周运动，则关于小球在最高点时的速度v，下列叙述中正确的是()A．v的极小值为eq\r(gR)B．v由零逐渐增大，管道对球的弹力逐渐增大C．当v由eq\r(gR)逐渐增大时，管道对小球的弹力也逐渐增大D．当v由eq\r(gR)逐渐减小时，管道对小球的弹力逐渐增大练5如图甲所示，轻杆一端固定在O点，另一端固定一小球，现让小球在竖直平面内做半径为R的圆周运动．小球运动到最高点时，杆与小球间弹力大小为FN，小球在最高点的速度大小为v，其FN­v2图像如图乙所示，则()A．小球的质量为eq\f(aR,b)B．当地的重力加速度大小为eq\f(R,b)C．v2＝c时，在最高点杆对小球的弹力方向向上D．v2＝2b时，在最高点杆对小球的弹力大小为2反思总结竖直面内圆周运动的求解思路————————专题强化练———————一、单项选择题1．如图所示，长度为0.5m的轻质细杆OA，A端固定一质量为3kg的小球，以O点为圆心，在竖直平面内做圆周运动，若小球通过最高点时的速度为2m/s，取g＝10m/s2，则此时轻杆OA受到小球的作用力为()A．6N的拉力B．6N的压力C．54N的拉力D．54N的压力2．如图所示，过山车的轨道可视为竖直平面内半径为R的圆轨道．质量为m的游客随过山车一起运动，当游客以速度v经过圆轨道的最高点时()A．处于超重状态B．速度v的大小一定为eq\r(gR)C．向心加速度方向竖直向下D．座位对游客的作用力为meq\f(v2,R)二、多项选择题3．光滑小球(可视为质点)从弧形轨道上端滚下，小球进入半径为R的圆形轨道下端后沿圆形轨道运动．如图所示，则()A．小球过圆形轨道最高点的速度条件为v≥0B．小球过圆形轨道最高点的速度条件为v≥eq\r(gR)C．小球在最高点处于失重状态，在最低点处于超重状态D．小球在最高点处于超重状态，在最低点处于失重状态4．长度为L＝0.5m的轻质细杆OA，A端固定有一质量为m＝3.0kg的小球，如图所示，小球以O点为圆心在竖直平面内做圆周运动，如果小球通过最高点时，受到杆的作用力大小为6N，g取10m/s2，则此时小球的速度大小可能是()A．1m/sB．2m/sC.eq\r(3)m/sD.eq\r(6)m/s5．如图所示，A是用轻绳连接的小球，B是用轻杆连接的小球，两球都在竖直面内做圆周运动，且绳、杆长度L相等．忽略空气阻力，下列说法中正确的是()A．A球通过圆周最高点的最小速度是eq\r(gL)B．B球通过圆周最高点的最小速度为零C．B球在最低点时处于超重状态D．A球在运动过程中所受的合力的方向总是指向圆心三、非选择题6．如图所示是马戏团中上演的飞车节目，在竖直平面内有半径为R的圆轨道．表演者骑着摩托车在圆轨道内做圆周运动．已知人和摩托车的总质量为m，人以v1＝eq\r(2gR)的速度过轨道最高点B，并以v2＝eq\r(3)v1的速度过最低点A.求在A、B两点轨道对摩托车的压力大小相差多少？7．如图所示，长为L＝0.5m的轻杆OA绕O点在竖直面内做匀速圆周运动，A端连着一个质量为m＝2kg的小球，g取10m/s2.(1)如果在最低点时小球的速度为3m/s，杆对小球的拉力为多大？(2)如果在最高点杆对小球的支持力为4N，杆旋转的角速度为多大？eq\x(温馨提示：请完成单元素养评价二)

微专题(三)竖直平面内的圆周运动模型【例1】【解析】(1)小球刚好通过最高点时，重力恰好提供向心力，有mg＝meq\f(v\o\al(2,1),L)，解得v1＝eq\r(gL)＝2m/s.(2)小球通过最高点时的速度大小为4m/s时，拉力和重力的合力提供向心力，有FT＋mg＝meq\f(v\o\al(2,2),L)，解得FT＝15N．(3)分析可知小球通过最低点时绳张力最大，在最低点由牛顿第二定律得F′T－mg＝eq\f(mv\o\al(2,3),L)，将F′T＝45N代入解得v3＝4eq\r(2)m/s，即小球的速度的最大值是4eq\r(2)m/s.【答案】(1)2m/s(2)15N(3)4eq\练1解析：要使物体能通过最高点，则由mg＝meq\f(v2,R)可得：vP＝eq\r(gR)，即若速度小于eq\r(gR)，由于重力沿半径方向的分力大于物体需要的向心力，物体将做“向心”运动，物体将离开轨道，无法达到最高点，若大于等于eq\r(gR)，则可以通过最高点做平抛运动，选项D正确．答案：D练2解析：要保证乘客安全，过山车能通过最高点时的最小速度为临界速度．此时圆形轨道对过山车的作用力为零，重力提供向心力，则有mg＝eq\f(mv2,R)，可得v＝eq\r(gR)＝5eq\r(3)m/s由5eq\r(3)m答案：能保证安全练3解析：(1)水跟着水桶一起做圆周运动，要让水不流出水桶，则在最高点处有mg≤meq\f(v2,R)，解得v≥eq\r(gR)＝2m/s.(2)设在最高点时桶底对水的压力为FN1，由牛顿第二定律有mg＋FN1＝meq\f(v\o\al(2,1),R)，解得FN1＝15N，由牛顿第三定律知，水对桶底的压力为15N，方向竖直向上．(3)在最低点时桶底承受的压力为桶内水重力的6倍，则桶底对水的支持力为桶内水重力的6倍，设桶底对水的支持力为FN2＝6mg，由牛顿第二定律有FN2－mg＝meq\f(v\o\al(2,2),R)，解得v2＝2eq\r(5)m/s.答案：(1)2m/s(2)15N，方向竖直向上(3)2eq\【例2】【解析】(1)小球通过最低点A时，由重力和轻杆拉力的合力提供小球做圆周运动的向心力，由牛顿第二定律有T1－mg＝meq\f(v\o\al(2,1),L)，代入数据解得T1＝60N，方向竖直向上．(2)小球通过最高点B时杆中弹力为零，则小球的重力提供向心力，根据牛顿第二定律得mg＝meq\f(v\o\al(2,2),L)，代入数据解得v2＝2m/s.(3)若小球通过最高点B时，v3＝1m/s<2m/s，则轻杆对小球的弹力方向竖直向上，根据牛顿第二定律得mg－T2＝meq\f(v\o\al(2,3),L)，代入数据解得T2＝7.5N.【答案】(1)60N，方向竖直向上(2)2m/s(3)7.5N，方向竖直向上练4解析：小球在最高点，管道对小球的作用力可以向上，可以向下，所以v的最小值为零，故A错误．当v＝eq\r(gR)时，根据牛顿第二定律得mg－FN＝eq\f(mv2,R)，可得管道对球的作用力FN＝0；当v<eq\r(gR)时，管道对小球的作用力方向向上，根据牛顿第二定律得mg－FN＝meq\f(v2,R)，当v由eq\r(gR)逐渐减小时，管道对小球的弹力逐渐增大，当v>eq\r(gR)时，管道对小球的作用力方向向下，根据牛顿第二定律得mg＋FN＝meq\f(v2,R)，当v由eq\r(gR)逐渐增大时，管道对小球的弹力也逐渐增大，故C、D正确，B错误．答案：CD练5解析：由题图乙可知，当小球运动到最高点时，若v2＝b，则FN＝0，杆既不向上推小球也不向下拉小球，这时由小球受到的重力提供向心力，即mg＝eq\f(mv2,R)，得v2＝gR＝b，故g＝eq\f(b,R)，B错误；当v2>b时，在最高点杆向下拉小球，C错误；当v2＝0时，杆对小球弹力的大小等于小球重力，即a＝mg，代入g＝eq\f(b,R)得小球的质量m＝eq\f(aR,b)，A正确；当v2＝2b时，由牛顿第二定律得F＋mg＝eq\f(mv2,R)，得杆对小球的弹力大小F＝mg，即F＝a，D错误．答案：A[专题强化练]1．解析：小球运动到最高点时受到重力与轻杆的弹力，假设轻杆对小球的弹力方向向上，大小为FN，此时小球受到的合力提供向心力，有mg－FN＝eq\f(mv2,L)，解得FN＝mg－eq\f(mv2,L)＝6N，说明轻杆对小球提供向上的支持力，根据牛顿第三定律可知，轻杆OA受到小球向下的压力，大小为6N，故选项B正确．答案：B2．解析：游客做圆周运动，在最高点，受重力和轨道的压力，合外力提供向心力，合外力向下，加速度竖直向下，游客处于失重状态，故A错误，C正确；在最高点，根据向心力公式得mg＋FN＝meq\f(v2,R)，只有当FN＝0时，r＝eq\r(gR)，故B错误；在最高点，根据向心力公式得mg＋FN＝meq\f(v2,R)，解得FN＝meq\f(v2,R)－mg，故D错误．答案：C3．解析：小球要能通过圆形轨道最高点，在最高点，由牛顿第二定律可得FN＋mg＝meq\f(v2,R)，FN≥0，则小球过圆形轨道最高点的速度条件为v≥eq\r(gR)，选项B正确，A错误；小球在最高点处，向心加速度的方向竖直向下，小球处于失重状态；小球在最低点处，向心加速度的方向竖直向上，小球处于超重状态，选项C正确，D错误．答案：BC4．解析：当杆对小球的作用力为支持力时，根据牛顿第二定律可知mg－FN＝meq\f(v2,L)，代入数据解得v＝2m/s.当杆对小球的作用力为拉力时，根据牛顿第二定律可知mg＋FN＝meq\f(v′2,L)，代入数据解得v′＝eq\r(6)m/s，选项A、C错误，B、D正确．答案：BD5．解析：A球在最高点的临界情况是轻绳的拉力为零，根据mg＝eq\f(mv2,L)，可知A球在最高点的最小速度为eq\r(gL)，由于杆可以提供拉力，也可以提供支持力，所以B球在最高点的最小速度为零，故A、B正确；在最低点时，B球的加速度方向向上，处于超重