Malab在概率统计中的应用

在概率统计中的应用MATLAB一、统计量的数字特征1．平均值MATLAB中mean(x)命令函数计算数据x的平均值调用格式为mean(x)或mean(x,dim)维数dim取值1,2例如x=[171;280;390;410;520;630];mean(x)ans=3.50005.00000.1667mean(x,2)ans=3.00003.33334.00001.66672.33333.00002．方差和标准差随机变量x的方差为标准差样本方差为MATLAB的方差函数为Var调用格式为var(x)对于向量x，得到x的方差值；对于矩阵X，得到一行向量，它的每个值分别是矩阵X对应的列元素的方差值。var(x,1)得到向量（或矩阵）x的简单方差，即前置因子为1/n的方差var(x,w)得到向量（或矩阵）x以w为权的方差例如var(x)ans=3.500011.60000.1667var(x,1)ans=2.91679.66670.1389w=[0.06670.16670.23330.30000.03330.2000]var(x,w)ans=2.222511.38190.0623样本标准差MATLAB的标准差函数为std调用格式std(x)对向量x，得到x的样本标准差（前置因子为1/n-1）；对于矩阵X，得到一行向量，它的每个值分别是矩阵X对应的列元素的标准差std(x,1)得到向量（或矩阵）x的样本标准差（前置因子为1/n）std(x,flag,dim)得到向量（或矩阵）中以dim为维数的标准差。其中flag=0时，前置因子为1/n-1，否则前置因子为1/n例如std(x)ans=1.87083.40590.4082std(x,1)ans=1.70783.10910.3727std(x,0,1)ans=1.87083.40590.4082std(x,0,2)ans=3.46414.16334.58262.08172.51663.00003．协方差和相关系数二维随机变量(X,Y)的协方差为相关系数为MATLAB中，协方差和相关系数函数cov和coffcoef实现协方差调用格式cov(x)当x是向量时，返回此向量的协方差；当x是矩阵时，返回此矩阵的协方差矩阵，其中x的每一行是一个观测值，x的每一列是一个变量。由Cov(x)的对角元素为构成的向量是x的各列的方差所构成的向量，是标准差向量cov(x，y)返回向量x、y的协方差矩阵cov(x)或cov(x，0)返回向量x的样本协方差矩阵，前置因子为1/n-1cov(x，1)返回向量x的样本协方差矩阵，前置因子为1/ncov(x，y)，cov(x，y，1)的区别同上相关系数corrcoef(x)返回矩阵相关系数矩阵，其中x的每一行是一个观测值，x的每一列是一个变量corrcoef(x，y)返回向量x、y的相关系数例如X=[12345;1112357;24690;36979;109754];cov(X)ans=22.300017.9500-1.5500-3.50003.500017.950015.8000-0.4500-1.75004.7500-1.5500-0.45006.80002.75001.2500-3.5000-1.75002.75004.0000-3.00003.50004.75001.2500-3.000011.5000corrcoef(X)ans=1.00000.9563-0.1259-0.37060.21860.95631.0000-0.0434-0.22010.3524-0.1259-0.04341.00000.52730.1414-0.3706-0.22010.52731.0000-0.44230.21860.35240.1414-0.44231.0000x=[1,5,7,9,1,6];y=[1,2,1,5,2,1];cov(x,y,1)ans=8.80562.16672.16672.0000corrcoef(x,y)ans=1.00000.51630.51631.0000二、羡参数攻估计当总侍体分职布的雷数学该形式翼已知垄，且烧可以晚用有吐限个碗参数喝表示孤时，犹我们纷可以制利用甩样本旁对参险数进孝行估锋计，买这便妈是参项数估比计参数慌估计迟一般有可分啦为点幕估计猎和区滴间估望计参数爸估计滚的方优法：路矩估凡计、丘最小团二乘仗法和极大锹似然谨估计1．二史项分消布的饶参数箭估计MA算TL刃AB中由腹命令膛函数bi府no搜fi枝t来实无现调用杨格式[p,嗽pc举i]=Bi改no常fi湖t(粉x,恼N,猜al匠ph瞒a)其中p为参仍数，pc难i为p的区理间的惭端点断，置湿信度源为1-困al洪ph秒ax=代[6逮,8他,9禁,4问,6孤,7巡寿,9柱,3欺,7伤,5仪][p湿,p岛ci晒]=房诚bi胖no汁fi捷t(浊x,依10币)p揉=替0.晃60参00着0.私80壮00妥0.本90悲00及0.由40锯00掀0.后60召00味0.寸70臭00检0白.9冈00垮0镰0绕.3忧00性0榆0均.7净00抹0折0辰.5喘00鸭0pc摄i=0蔬.2钟62向4勤0聪.4榆43诞9供0咳.5豆55今0暖0馆.1以21蓄6全0消.2畅62颂4监0个.3潮47晓50竞.5告55犯0竖0卫.0泳66企7菌0主.3漫47齿5裤0呼.1榴87花10.始87葬84赔0.杨97禁48哄0.底99俯75四0.斧73困76隙0.保87版84小0.验93纠33榆0.怎99拿75顿0.粥65削25池0遭.9腔33纤3善0膝.8利12上92．正会态分腰布的虫参数丈估计MA苗TL计AB中由击命令纲函数no粮rm支fi滥t来实座现调用博格式[m,枝s,碰mc往i,乳sc集i]=no魂rm吧fi艰t(悦x,仅al惊ph抽a)例如[m,赢s,战mc救i,旁sc竿i]=no跪rm梳fi察t(漫x)m础=啄6懒.4梅00庸0s倍=眼2国.0底11巡寿1mc罗i=塔4.怒96草147.条83忽86sc荷i=1将.3稳83挂33.堤67贸143．指驻数分岂布的轰参数醋估计MA呼TL辅AB中由俩命令详函数ex说pf亦it来实熊现调用姻格式[mu歇,m不ci]=ex叠pf衔it她(x雅,a妹lp球ha)x=螺[箱0.在15旗86较4.丝式54充07赖1.慎54则84沸2.归23嫩69奴0.肢35移67债0.育84蛮22正2.娇43灾11烧1帜2.配36陈83煮0.凉60晕99释2剂.5樱12滋1冷1菜.5测04匹8显0单.7贩23续1瞧0掀.2酸52惨4拆0临.9筝40纵9型5临.3箩80肃9][mu稳,m良ci]=号ex谣pf万it绞(x拔,0兴.0屯1)mu=醒2脾.4拉27忍1mc液i=融1.豆11筒544.未34摇23例如4．泊顿松分慰布的吧参数沉估计MA斥TL备AB中由家命令下函数po掩is博sf拴it来实踩现调用傅格式[La跪md傻,L探ci]=po朽is迫sf飘it茄(x束,a昌lp掌ha)三、专假设涝检验假设点检验君是统动计推桂断的虎基本害问题奖之一趣。在绣总体户的分竿布函鲜数完烛全未都知或渣只知颗其形爆式但虚不只缩慧参数福的情伯况下收，为宝了推逢断总齐体的硬某些齿性质绝，提愈出某昌些关港于总肃体的决假设假设展检验魂首先集提出厅假设H0，然符后检拍验这糕组数浊据是无否支侨持这测个假视设。俯根据刃这组嘱数据地计算惑检验拘统计容量以畜及显伪著性详概率巧（p值）董。如酿果p值很杠小，评则所雀提出求的假肿设是达非常笑可疑袜的，海并提云供否翅定这俯个假糊设的帽证据蹈。伴辛随假乳设H0，总贱能写姓出备录择假揭设H1，备纤择假柄设也恨称对浅立假衬设1．σ已知静时的鹅检验马（z检验悬）MA介TL企AB中的z检验捧由命盯令函型数zt权es终t来实勺现调用品格式[H址,p摔,c公i,片zv旷al青]=诸zt梅es贯t(辈x,爸m,惑s,狠a,但t)说明x是样廉本值奏，m是平浸均值晕的评饶判标丹准，s是已痒知的速标准足差，al镇ph迷a是显著撞水平孙，默趴认值器为0.头05，t为备猛择假堂设选肌项，寇只有屋三个歼值0，1和－1，其灭中t=谋0表示帮“期世望值则不等筑于m”索,胃t=面1表示街“期枣望值参大于m”企,厘t=－1表示瓣“期你望值轰小于m”，t的默刃认值伏为0。H=薪0表示端“在叶显著甜性水焰平a的情草况下袭，不水能拒亭绝原脂假设镜”。H=辩1表示埋“在婶显著钞性水汇平a的情仆况下春，可泼以拒奏绝原执假设剪”。P为显盒著性销概率饮；ci表示著置信使水平坦为1－a的置搭信区角间。zv予al是检求验统纠计量矛。例如某糖嫂厂用继自动航包装鉴机将佛糖果游装箱踏，已胜知规掀定每朝箱的堡标准结重量镜为10睛0公斤捏。设们每箱兽重服词从正析态分祖布。炎由以姜往经迷验知坊重量株的均遗方差矩为0.饰9公斤盲。某侄天开卧工后余检验丈包装挑机是榨否正菊常，堆随机由抽取味该包浙装机岸所包楼装的9箱，猪称得猜净重津为（抵公斤装）99角.3，98饺.7，10粒0.赖5，10宾1.补2，98如.3，99规.宰7，10可5.钉1，10栗2.羞6，10纪0.吃5。取a=息0.是05，问克机器邀是否低正常懂？解以可税设σ=0森.9，x~议N（μ,舟0.牲92驶)，提雹出假腹设H0μ=μ0=铲10勺0H1μ≠10犬0x=让[9处9.但3容,9绕8.嫁7同,1这00阵.5悼,例10肯1.搁2懂,9慢8.煮3晃,9古9.另7爸,1阵05掘.1直,恭10殃2.龄6羡,1光00扇.5毅][h,蜡p,枣ci卵,t]=巷zt般es特t(丛x,缠10歇0,贞0.鼻9,晃0.董05法,0岭)h每=消1p吓=苗0.熊02饶89ci=1神00漠.0威67畅6观1马01成.2移43尾5t设=骆2.赌18颂52因此倾拒绝忠原假报设H0，即自动速包装倾机工露作是绍不正邮常的2．σ未知刮时的啦检验茅（t检验阿）MA度TL卡AB中的t检验末由命春令函泄数tt拿es祖t来实弱现调用马格式[H批,p川,c拳i,研tv絮al纹]=溜tt伍es附t(滴x,况m,缘瑞a,馆t)例如某电母子元差件的声寿命x（以美小时眯计）圾服从喊正态帝分布忧，均清未知同。测做得16只元室件的庭寿命落为15蛮9葱2归80候10半1有2肆12敞22针4雁3轻79辆17构9惊2烫64刻22爬2邻3爪62待16绪8呢2际50罢14妈9倦2邪60乒48犯5王17栗0问是摸否有豪理由册认为劝电子晴元件授的平烟均寿剃命大贫于22飘5（小踏时）唐？解H0熔μ≤蹦μ周0=椒22摧5H1社μ>幅22雷5x=急[1吐59苹28各0脱1芦01舱21贯2青2卖24疫37然9室1胸79退26侍4央2滋22旅36公2指1本68洁25饺0贯1个49怨26而0绣4炼85汽1观70紧]；[h拳,p铸,c径i,磨t]劝=t余te猛st第(x初,2助25症,0疫.0纱5,智1)h散=鸽0p研=淋0.欧25扣70ci虽=盗19匠8.正23渡21从I饮nft碗=许ts厚ta册t:否0赵.6君68桂5兔—芹—检验或统计放量df剧:起15科—枯—自由鼠度（n-充1）因此弱不能削拒绝稠原假固设，商即可剩以认为务电子谨元件沿的平酷均寿份命不尝大于22徒5小时3．两贸个正霸态总寇体均随值差鲁的检是验（t检验垂）MA鉴TL奴AB中的畜由命彻令函赠数tt扛es恶t2来实肌现调用疼格式[H丝式,p魔,c研i,骄zv牢al蜂]=古tt捆es眼t2砍(x殊,y索,a容,t膀)例如在漂递白工任艺中凶要考眨察温骄度对晨针制锡品断血裂强共力的哭影响厉，在70色℃与80触℃下分简别作洁了7次和9次测候试，嘉其测夸试数周据如催下（室单位膜：公磨斤）70℃20.518.820.921.519.521.621.880℃17.719.220.32018.61919.12018.1根据赛以往缺经验沃知两学种温颂度下期的断劲裂强概力都怕服从草正态吗分布龙，其辉方差锣相等欺且相艘互独颈立。固试问婆两种言温度班下的密平均勇断裂亡强力悟有无妹显著聋变化沈？解H0拆μ1阵=μ贝2H1遗μ1惑≠μ续2x=洗[2夕0.射5展1坑8.拖8阳2栽0.袖9茄2醒1.责5效1店9.犁5腐2吵1.付6献2倘1.稠8]；y=糠[1挖7.啦7肚1馒9.闷2露2伏0.漂3询2默0铜1班8.来6宜1吗9著1向9.已1袜2谨0拼1狗8.育1]；[h握,p萌,c宴i,衫t]铁=t邻te惨st奔2(窑x,给y,净0.械05按,0毅)h各=波1p促=缎0.渣00挂85ci冻=赌0槐.4坦62准6殖2语.6颗29腥4t避=贿ts测ta勇t:性3料.0愿60贯6df我:笑14四、骨回归盯分析回归月分析亮是研兼究变苗量之放间关寸系的寻一种贵统计延方法互，即蜂利用巨统计窜数据订来寻耗求变搁量之天间关够系近阴似表欠达式捎（经饺验公波式）主，并笔利用姓所得含公式甘进行味统计叹描述鲜、分某析和漫推断怪，以超解决饿预测政、优跃化和仿控制责问题舟。线性腿回归镰的变论量之恭间的仆关系艺为根据观测数据确定回归系数MA委TL暗AB中提盏供了币多元乌线性炎回归政函数re燥gr恶es棋s调用阻格式b=扶re勒gr观es学s(税y,排x,售a)[b冬,b程in让t,挨r,牛ri迫nt今,s麦ta啊ts原]=挨re若gr改es框s(星y,短x,割a)y为观探察得劈燕到的旧随机销变量贤，x为自思变量鉴矩阵汇。若鹿回归崇系数驻中包忠含常尼数，止则x的第物一列鞭应全传部为1，y与x的行俘数相回等，x的列触数等步于回靠归系党数的沙个数所。a为输偶出各以种置份信区愁间用李的显纽奉著性秆水平妙。输出歉结果挤有5项：b是参挑数的违点估恰计；bi并nt为参婚数的待区间招估计熟；r为残缓差的家点估歼计；ri捎nt为残吧差的搞区间奶估计晓，当欢点估进计落元在区乱间估购计之车外时衰，拒快绝无消效假读设；st逼at纽奉s中包受含三柄个项:R2是回归方程的相关系数R的平方;F是回归方程的F统计量，;P是拒绝无效假设的概率（显著性概率），当P<a时拒绝假设H0

：，即接受y与x有线性关系。例如为了轮研究拾钢材闪消费需与国刺民收遇入之迟间的旁关系丑，在棒统计去年鉴耕上查蛾得一钥组历搜史数雪据如浙下表年份钢材消费量（万吨）国民收入（亿元）年份钢材消费量（万吨）国民收入（亿元）1964698109719731765228619658721284197417622311196698815021975196020031967807139419761902243519687381303197720132625196910251555197824462948197013161917197927363155197115392051198028253372197215612111试分骗析预忍测若19扮81到19趟85年我控国国恳民收摸入以4.邀5%的速皆度递谁增，码钢材务消费锐量将昌达到征什么逼样的设水平慎？令钢泡材消详费量贴为y，国强国民墨收入袄为xx=消[1炸09丙7探1蚀28道4顽1握50赖2电1死39栗4田1缺30浪3惰1浇55做5门1任91炸7全2液05乖1喜2脂11班1蹦2缘瑞28坟6菌2铸31事1惜2担00坦3傻2塘43遵5拨2捷62纠5南2伤94粘8会3犹15乔5滴3旬37深2]树'y=玩[6前98搬87施2呆9冲88伍80权7洗7恼38歪10喝25绿13麻16袖15航39季15抗61塞17筋65抢17接62询19诵60茧19栏02盲20差13沙24捕46呜27尺36雨28出25颂]怠'作出x，y的散喉点图豆，pl拉ot仪(x伙,y肃,'棋o'偶)从图锡中可殿看出帆，y随x增大厌有明卵显的态线性脚增长蕉趋势X=铲[on灶es底(s福iz桨