河北省部分学校联考2024-2025学年高三年级下册2月开学调研检测数学试题（含答案）

2024-2025学年河北省名校联考高三（下）开学调研数学试

卷（2月份）

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只

有一项是符合题目要求的.

1.已知集合”={-2,-1,0,1,2,3,4},集合N={X|X2<4},则［N=()

A.{2,3,4}B.{-223,4}C.{3,4}D.{-2,-1,0,1,2}

2.设复数z=1+3则”=()

A.-2iB.2iC.2-2zD.2+2z

3.已知向量)=(0,1),3=(1,1),^al(b-Aa),则行()

A.-2B.-1C.1D.2

已知；则(

4.cosa-cos4=,sin«-sin/7=—,cos£-&)=()

23

15_1717

A.—B.-----C.—D.——

24242424

1-kex

5.“后=1”是“函数/⑺二屋?为奇函数，，的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分且必要条件D.既不充分也不必要条件

丫2

6.椭圆G：?+『=1的上、下顶点分别为鸟,%椭圆的一个交点

为〃，则△〃4与的周长为（）

A.4B.2+2后C.2+26D.6

7.VxeR,不等式（x2-x）e*-ax+eN0恒成立，则实数a的取值范围为（）

ee

A.-，eB.[e,2e]C.0,-D.[0,e]

8.正方体/BCD-EFG//的棱长为1,球。为其内切球，作球。的内接正方体

44GA-EFiGRi,正方体44G。-月耳5区的内切球为球q,作球q的内接正方体为

A2B2C2D2-E2F2G2H2,依此法一直继续下去，从正方体NBCO-EFG”开始，所有这些正

方体的表面积之和将趋近于（）

试卷第1页，共4页

3

A.-B.9C.9+3^3D.6+2指

二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.已知有四个数从小到大排列为1,2,凡6,这四个数的80%分位数是4,则。+6可能是

()

A.4B.5.5C.6D.7.5

10.已知如图是函数/(x)=2cos(0x+。)，(0>0,-]<0<0)的部分图象，贝U()

B./(x)在(-1,2)单调递增

C./(x)的图象关于中心对称

D./(X)的图象向左平移个个单位长度后为偶函数

11.数学中的数形结合可以组成世间万物的绚丽画面，优美的曲线是数学形象美、对称美、

和谐美的产物.现坐标满足方程/-『=1的点(x,y)的轨迹为曲线c,则()

A.曲线C关于y轴对称

B.曲线C位于x轴下方的点与原点的最远距离为叵

9

C.曲线C与x轴围成的区域面积大于2

D.曲线C上横坐标和纵坐标均为整数的点至少有五个

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.从长度为1,3,5,7,9,11的六条线段中任取3条，则这三条线段能构成一个三角形

的概率为.

13.圆。的半径为3,从中剪出扇形/Q8围成一个圆锥(无底)，当所得的圆锥的体积最大

时，圆心角为.

14.已知实数为，X2,yt,%满足：无；+才=4,xl+yl=9,+yty2=xA+x2-l,贝|

试卷第2页，共4页

(%-%)2+(%-为了的最大值为.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步

骤.

15.在△48。中、角48,C所对的边分别为，且asiiL4-bsinB=sinc]acos2-；)

⑴求角A的大小；

(2)若△4BC的面积为46，求。的最小值.

16.如图所示，在圆台0。中，四边形48CD为过的圆台截面，尸为底面圆。的

内接正三角形.

(1)证明：平面CEF_L平面/BCD；

⑵若AD=2AB=2BC,求平面ABF和平面CEF夹角的余弦值.

17.春节期间有一过关赢奖励娱乐活动，参与者需先后进行四个关卡挑战，每个关卡都必须

参与.前三个关卡至少挑战成功两个才能够进入第四关，否则直接淘汰，若四关都通过，则

2

可以赢得奖励.参与者甲前面三个关卡每个挑战成功的概率均为I,第四关挑战成功的概率

3

为且各关挑战成功与否相互独立.

4

(1)求参与者甲未能参与第四关的概率；

(2)记参与者甲本次挑战成功的关卡数为X,求X的分布列以及数学期望.

18.已知椭圆C：=+==1(。>6>0)的离心率为处,且经过-2,0),直线/交C于£,

ab2

下两点，直线/E,AF斜率之和为1.

⑴求椭圆C的方程；

(2)证明：直线/过定点.

19.已知函数/(x)=；x2+2x-(2x+a)lnx

⑴当a=0时，求函数〃x)在点(1J。))处的切线；

试卷第3页，共4页

⑵若函数/（X）在［1,+8）上为增函数，求实数0的取值范围;

⑶证明：7^£+而一1）；2（”1「…+石三+鼻+心岫2+3〃+2）,

(〃GN*).

试卷第4页，共4页

1.B

【分析】解出集合N={x|-2<x<2},再根据补集的定义求解即可.

【详解】集合M={-2,-1,0,1,234},集合N={x|—<4}={x1—2<x<2},

则QN={-223,4}.

故选：B.

2.A

【解析】由z求得再利用复数的乘方运算求解即可.

【详解】^l+i,

二/=(1-Z)2

=l+z2-2z

=-2z.

故选：A.

【点睛】本题主要考查共辗复数的定义，考查了复数出乘方运算，属于基础题.

3.C

【分析】根据已知条件，结合向量垂直的性质，即可求解.

【详解】解：若

则不伍-初=0,即小行=行2,

向量2=(0,1),3=(1,1),

则0+1=4,解得2=1.

故选：C

4.C

【分析】利用三角函数的两角和差公式cos(4-B)=cos/cosB+siMsin5,对已知条件进行

平方处理，然后通过变形得到cos(/7-a)的值.

【详解】解：对COS6Z-COS£=；两边平方，(COStt-COSy?)2=

即cos2a_2cosdzcos/?+cos2/7=—(T),

对sina-sin/?=两边平方,(sina-sin^)2=

答案第1页，共13页

即sin2a-2sinasin夕+sin2/?=(2),

①+②得,cos2a+sin2a+cos2/?+sin2/7-2(cosacos夕+sinasin/)=5+§，

3+4

BP1+1-2(cos6rcos/?+sincifsin/?)=葭，

7

即2—2(cosacos尸+sinasin4)=—,

717

则2-2cos(力-a)=丘,解得cos(尸-0)=五.

故选：c

5.A

【分析】利用奇偶性及充分、必要性的定义，判断条件间的关系即可.

1—「X1—pTx「X_1

【详解】若后=1,则〃X）=±J,则〃T）=匕J=H=-〃X）,故充分性成立,

1+e1+ee+1

当函数为1—奇ku"函数，则）=-/（x）n1产—kp—x7=-1—ke”，

1+fc1+左e1+ke

x-k一1

所P以恒成立，则大=±1,则必要性不成立，

e"+左kex+1

故人=1是“函数=为奇函数”的充分不必要条件.

故选：A

6.D

【分析】根据椭圆的方程，可得为，及就是椭圆。2的焦点，再根据椭圆的定义，即可求

AMB&2的周长.

丫2

【详解】椭圆。：上+/=1的上、下顶点分别为打，与，

4

则耳（0,1）,52（0,-1）,

22

又椭圆a：土+匕=i,

34

则椭圆G的焦点为4（0/），易（0,-1）,

则/XMB岛的周长为峭,困闵=2x2+2=6.

故选：D

7.D

【分析】分离参数后，可得尤>0时，问题等价为aV（x-l）e，+：；当x<0时，问题等价为

答案第2页，共13页

a>(x-l)ex+—,据此研究函数g(x)=(x-1)e*+±(x>0)与加(x)=(x-1)e*+±(x<0)性质

XXX

可得答案.

【详解】因为不等式(一7卜，-"+-0恒成立，

①当x=0时，a£R；

②当、>0时，问题等价为。恒成立，

设g(x)=(x-l)e'+；(x>0),

则g'(x)=xe"一三，令〃(％)=工/―-^,x>0

XX

则〃(x)=(x+l)e'+1|>0,得g)=g<x)在(0,+e)上单调递增，且g[l)=0,

所以g(x)在(0,1)上单调递减，在(1，+功上单调递增,

所以V=g(x)上的最小值为g6=e,所以此时aMe；

③当x<0时，问题等价为。2(x-1)e'+：恒成立，

设加(x)=(x-1)e*+£(x<0),

X

e

则加(x)<0,mz(x)=xex——-<0,

所以了=〃(X)在(-8,0)上单调递减，

而x->-8时，h(x)f0,所以此时

综上所述：实数。的取值范围为[0,e].

故选：D.

8.B

【分析】根据正方体和其内切球的关系、球和其内接正方体的关系进行推理，得到各正方体

棱长成等比数列，从而表面积也成等比数列，问题转化为等比数列求和的问题.

【详解】设正方体/BCD-斯G”的棱长为可，其内切球球。半径为4,则属=母，

球。的内接正方体44G2-EEd&的棱长的=詈=2，

其内切球球q半径为国=g=条，

答案第3页，共13页

2RQ

球。\的内接正方体为A2B2C2D2-E2F2G2H2的棱长生=才=质

其内切球球Q半径为此=令=隼，

…，以此类推，

可知所有这些正方体的棱长构成一个以%=1为首项，以专为公比的等比数列,

则它们的表面积构成以6为首项，以g为公比的等比数列,

当〃趋于正无穷时，》趋近于9

故选：B

【点睛】结论点睛：若正方体棱长为。，则其外接球半径尺=1.，内切球半径,•=[.

22

9.CD

【分析】根据百分位数的定义求解.

【详解】因为4x80%=3.2,

所以这四个数的80%分位数是b,即6=4,

所以,

所以6<a+6W8,

由四个选项可知，“+6可能是6或75

故选：CD.

10.BD

【分析】由函数过两点和(-0,1)及。的范围，可得。，。的值，即求出函数的解析

式，由函数的性质分别判断所给命题的真假.

【详解】解：由题意可得/'(0)=2COS9=1,即COS°=；,而-]<°<0,可得夕=4，

又因为/]-3=0,即2cos1-；0-3=0,

兀兀兀1

^]*(D=-----F2kit,左£Z,nJco=6k,keZ,

3322

(jrA2冗jr3

又因为7T>0-一:，且0>o,即广>2，即0<0〈;，

4V3j4。32

答案第4页，共13页

可得。=g，所以f(x)=2cos

T=—=4兀

A中，函数的最小正周期£,所以A不正确；

2

B中，因为xe(-l,2),可得;X一工_：兰,1一与口一兀⑼，所以函数在(-1,2)上是单调

递增，所以B正确；

C中，因为=+而，左eZ,所以［得,。］不是函数的对称中心，所以C不正

确；

D中，将/(x)向左平移g个单位后可得g(x)=2cos1xfx+yj-j=2cosgx,可得g(x)

为偶函数，所以D正确.

故选：BD

11.ABD

【分析】将方程中的x换为-x,方程不变，可判断A；由两点的距离公式和函数的导数的

运用，求得最大值，可判断B；由曲线C关于y轴对称，可得曲线C与x,y轴的交点，以

及函数y的单调性，可判断CD.

【详解】对于A,由方程将其中的无换为f,方程不变,

可得曲线C关于y轴对称，故A正确;

对于B,设P(x/)(J<0)是曲线C上的点，可得即有/=贯+1,

由/=了3+120,可得f2一1,

和原点的距离为d=yjx2+y2="H+W+i,

设/(，)=/+»+1,t<0,可得/'(f)=3»+2f,

当，<一；时，r⑺>0,/⑺递增；当一:</<o时，r(o<o,/⑺递减，

可得/⑺在处取得极大值，且为最大值

可得d的最大值为迤，故B正确；

9

对于CD,由/=/+120,可得了2-1；方程无2-/=1,可化为了=&；2_］,

答案第5页，共13页

因为/二）二1=行;1,所以函数了="1为偶函数，

当x>0时，为递增函数；当x<0时，为递减函数，

所以函数y=设？-1有最小值-1,

图象经过点（TO）,（1,0）,（0,-1）,（-3,2）,（3,2）,

则曲线C与x轴围成的区域面积小于2x1=2,故C错误，D正确.

故选：ABD.

【点睛】方法点睛：求函数/（X）在区间6］上的最值的方法：

（1）若函数/（x）在区间目上单调，则/（。）与46）一个为最大值，另一个为最小值；

（2）若函数〃x）在区间［a,6］内有极值，则要求先求出函数/（X）在区间［a,6］上的极值，再

与/（。）、/伍）比大小，最大的为最大值，最小的为最小值；

（3）若函数/（x）在区间“上只有唯一的极大点，则这个极值点就是最大（最小）值点,

此结论在导数的实际应用中经常用到.

7

12.—##0.35

20

【分析】由题意基本事件总数C：种，利用列举法求出其中这三条线段能构成一个三角形的

基本事件有7个，即可求概率.

【详解】从长度为1,3,5,7,9,11的六条线段中任取3条，基本事件总数〃=或=20,

其中这三条线段能构成一个三角形包含的基本事件有（3,5,7）,（3,7,9）,（3,9,11）,（5,7,9）,

（5,7,11）,（5,9,11）,（7,9,11）,共7个，

则这三条线段能构成一个三角形的概率为尸=工.

答案第6页，共13页

7

故答案为：—

2诟i

13•

3

【分析】根据题意，所得的圆锥的底面半径为心则圆锥的体积/内二”，利

用基本不等式的性质分析所得的圆锥的体积最大时，的值，进而求出此时的圆心角，即可得

答案.

【详解】根据题意，所得的圆锥的底面半径为厂，则该圆锥的高〃="二/，

则圆锥的体积为

「*2下

_____________[~12

?22?—+9-r

V=/升2%=>尸2)9一尸=2小/4(9一尸2)=—J—X—x(9-r)<-2----------------=2A/3K

2_

当且仅当彳=9-r时，即/=后时等号成立，

此时圆锥的底面周长为2〃=2后,其圆心角。=?=马誓,

故答案为：亚.

3

14.13+473##473+13

【分析】直接利用三角换元法结合辅助角公式及三角恒等变换求解即可.

【详解】依题可设玉=2cos6Z,必=2sina,x2=3cos尸,y2=3sin/,

由石马+必必=匹+/—1，可得6cos(戊一/7)+1=2cosa+3cos/?.

而(%―%)2+(%—%)2=13—2(再超+%%)=13—12cos(a—尸),

可先求cos(a-尸)的最小值，

设y=a-/3,则6cos/+1=2cos(4+7)+3cos£,

从而有

16cos/+1|=|(2cos/+3)cos#-2sin/siny0l=J(2cos/+3)2+(-2sin/)21cos(夕+°)

<J13+12cosq,

因此(6cos/+1)2<13+12cos7,

答案第7页，共13页

解得<cos/

贝lj（石—/）2+（必—>2）2=13—12cos7<13+4A/3,

可知（再-工2）2+（必-为/最大值为13+4g\

故答案为：13+4^3.

【点睛】思路点睛：对于多变量的最值问题，观察条件等式的结构，有时利用三角换元结合

辅助角公式可巧妙处理.

71

15.⑴/=§；

⑵4.

【分析】（1）由正弦定理及余弦定理求解即可；

（2）由三角形面积公式及余弦定理，基本不等式可得。的最小值.

【详解】（1）解：因为asiM-bsiriS=sinC（acos8-gJ,

由正弦定理及余弦定理可得/-b2=aca2+C~~^--，

lac2

整理可得：b2+c2-a2=bc,

万2+「2―21

由余弦定理可得COSN==

2bc2

而“e（O,兀），

可得/=]冗;

（2）解：SABC=-bcsinA=-bc--=443,可得6c=16,

“sc222

由余弦定理可得。2=b2+c2-2bccosA>2bc-be=6c=16,

当且仅当6=c时取等号，

所以。的最小值为4.

16.（1）证明见解析

（2）—

13

【分析】（1）利用面面垂直的判定定理进行证明；

（2）结合题意建立空间直角坐标系，求出平面N2尸和平面C斯的法向量，从而求出它们

夹角的余弦值.

【详解】（1）证明：设ADcEF=M,连接CM,如图，

答案第8页，共13页

因为△/£尸为底面圆。的内接正三角形，所以。为正三角形4EF的中心,

则且M为麻'中点，

因为四边形ABCD为过。'。的圆台截面，且瓦厂关于底面直径/O对称，

所以CE=CF,则CM_LEF,

因为CMc/D=M,CA/,NOu平面/BCD,所以斯_L平面,

因为EFu平面CER所以平面C£》_L平面/3C。；

(2)由⑴分析知，。为正三角形/砂的中心，所以NQOM=2:1,

因为/。=。。，所以。O:(W=2:1,故M为。。中点，

因为/Q=2/2=23C,所以CO'=，8C=L/0=M。，

24

又因为CO//MO,所以四边形C。'。胡为平行四边形，CM//OO',

因为OO'(Z平面CE尸，CMu平面CE尸，所以OO"/平面CEF,

以。为原点建立空间直角坐标系如图，

连接CO,因为/D=2/8=2BC,所以三角形CO。满足CO=00=C£»,为正三角形,

所以ZCOD=ZBAO=60°,

不妨设3=4,则40,2,0),川0,1,百)，7^(73,-1,0),

所以焉=(0,-1,⑹，丽=(百,-2,-百),

答案第9页，共13页

n.-AB=O

设平面48尸法向量为4=(x,y,z)则」—

nx-BF-0

解得，=卜,百,1),

易知平面CE产法向量第=(0,1,0),

设平面ABF和平面CEF夹角为夕，则cos。=|COST7],/72|=,

所以平面ABF和平面CEF夹角的余弦值为叵.

13

7

17.(1)—

v727

23

(2)分布列见解析，y.

【分析】(1)根据题意，甲未能参与第四关包含两种情况，前三个关卡挑战成功0个和1个,

利用二项分布，相互独立事件概率乘法公式求解;

(2)X的可能取值为0,1,2,3,4,分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数

学期望.

【详解】(1)参与者甲未能参与第四关的概率为:

167

--1--=—

272727

(2)记参与者甲本次挑战成功的关卡数为X,则X的可能取值为0,1,2,3,4,

尸(X=0)=呜畤3=

22

尸(X=l)=C

9'

2

尸(X=2)=C；(y

7

尸(X=3)=《(§)：

7

尸(X=4)=C怎r

・•・X的分布列为:

X01234

12112

P

2799279

171117

数学期望为£(X)=0X——+1X—+2X—+3X——+4X—=——.

「27992799

答案第10页，共13页

2

18.⑴3+/=i

⑵证明见解析

【分析】（1）依题意求解°,6,c的值，即可求解椭圆方程；

（2）设出直线/的方程为了=去+"及点E,尸的坐标，并联立直线/与椭圆C的方程，表示

出韦达定理，再对3。+幻尸计算化简，得出加与人的关系式，即可证明.

【详解】（1）设椭圆半焦距为c,则依题意有『一言一可，

a=2

所以c=所以/=。2-。2=4-3=1,

2

所以椭圆C的方程为?+/=1.

（2）显然直线/的斜率存在，设直线/的方程为1=去+加，

y=kx+m

联立L2,消去〉得（1+442），+8切?x+4病一4=0,

u-------1-y/=1

22

△=64后2m2-40+4左2）（4疗-4）>0,gpm>4k+1,

设外,%）,尸（"，则…二尚，X含”

因为直线Z£,/产斜率之和为1,

+m）（x2+2）+（优+加）（%i+2）

BP^AE+^AF=一

x1+2x2+2（演+2乂工2+2）

2

2左（4加2-4）I-8km（2k+m）（4m+16km

左2+左2-左2

2kxix?+（2左+加）（西+x2）+4m1+41+41+4

22

xxx2+2（%i+%2）+44m-4—16km4+16k

1+4后21+4/1+4后2

m-2k

—------------=1

（m-2k丫'

所以加一2左=1,即加=2左+1,

所以直线/的方程为V=*x+2左+1,即y_l=左（x+2）,

所以直线/过定点（-2,1）.

答案第11页，共13页

19.(l)2x-2y+3=0.

⑵ae(-co,l］；

(3)证明见解析

【分析】(1)对/(尤)求导，求出/”)以及1(1),再根据点斜式写出切线方程;

(2)函数〃x)在1,+句上为增函数等价于/'(x)NO在［1,+8)恒成立，转化为函数最值问

题，求出。的取值范围；

(3)根据(2)中求导过程，对不等式中的x赋予恰当的代数式，证明不等式