一轮复习人教A版5.4解三角形作业

解三角形基础篇考点一正弦定理和余弦定理考向一正弦定理的应用1.(2023届沈阳四中月考,5)已知△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若sinA+cosB=0,C=π6,则ab=(3答案D2.(2022河北衡水中学模拟,3)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=3,sinB=12,C=π6,则c=(B.3答案D3.(2019课标Ⅰ文,11,5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知asinA-bsinB=4csinC,cosA=-14,则bc=(答案A4.(2022江苏盐城响水中学学情分析,8)在△ABC中,a、b、c分别为△ABC的内角A、B、C的对边,sinA(sinA+23sinBsinC)=3sin2B+3sin2C,则角C的大小为()A.π答案A5.(2020课标Ⅱ文,17,12分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知cos2π2(1)求A;(2)若b-c=33a,证明:△ABC是直角三角形解析(1)由已知得sin2A+cosA=54,即cos2A-cosA+14=0.所以cosA-122=0,cosA=12.由于0<A(2)证明:由正弦定理及已知条件可得sinB-sinC=33sinA.由(1)知B+C=2π3,所以sinB-sin2π3-B=33sinπ3.即12sinB-32cosB=考向二余弦定理的应用1.(2023届重庆南开中学质检,4)已知△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=2,b=6,A=30°,则c=()A.2C.2或22或3答案C2.(2020课标Ⅲ理,7,5分)在△ABC中,cosC=23,AC=4,BC=3,则cosB=()A.1答案A3.(2021全国甲文,8,5分)在△ABC中,已知B=120°,AC=19,AB=2,则BC=()B.2答案D4.(2023届湖湘名校教育联合体大联考,14)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b-c=14a,2sinB=3sinC,则cosA的值为答案-15.(2021浙江,14,6分)在△ABC中,∠B=60°,AB=2,M是BC的中点,AM=23,则AC=,cos∠MAC=.

答案213(2017天津文,15,13分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知asinA=4bsinB,ac=5(a2-b2-c2).(1)求cosA的值;(2)求sin(2B-A)的值.解析(1)由asinA=4bsinB及asinA=bsin由ac=5(a2-b2-c2)及余弦定理的推论,得cosA=b2(2)由(1)可得sinA=255,代入asinA=4bsin得sinB=asinA4b=55.由(1)知,A为钝角,所以cosB2sinBcosB=45,cos2B=1-2sin2B=35,故sin(2B-A)=sin2BcosA-cos2BsinA=7.(2021新高考Ⅱ,18,12分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足b=a+1,c=a+2.(1)若2sinC=3sinA,求△ABC的面积;(2)是否存在正整数a,使得△ABC为钝角三角形?若存在,求a;若不存在,说明理由.解析(1)∵2sinC=3sinA,∴2c=3a,又∵c=a+2,∴2(a+2)=3a,∴a=4,∴b=a+1=5,c=a+2=6,∴cosA=b2+c2-a2∴S△ABC=12(2)由已知得c>b>a,若△ABC为钝角三角形,则角C为钝角,∴cosC=a2+b2-c22ab<0⇒a2+b2<c2⇒a2+(a+1)2<(a+2)2⇒a2-2a-3<0⇒-1<a<3,又a>0,同时还应考虑构成△ABC的条件,即a+b>c⇒a+(a+1)>a+2⇒a>1.综上所述,当a∈(1,3)时,△ABC为钝角三角形.∴存在正整数a=2,使得△ABC为钝角三角形.考点二解三角形及其应用1.(2022广东深圳六校联考二,3)已知△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,则根据条件解三角形时有两解的一组条件是()A.a=1,b=2,A=π4B.a=2,b=1,A=C.a=2,b=3,A=π6D.a=4,b=3,A=答案C2.(2023届长春六中月考,10)在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,若3sin(A+B)=sinA+sinB,cosC=35,且S△ABC=4,则c=(A.46答案B(2017课标Ⅰ文,11,5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sinB+sinA·(sinC-cosC)=0,a=2,c=2,则C=()A.π答案B4.(2021全国乙,理15,文15,5分)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为3,B=60°,a2+c2=3ac,则b=.

答案22(2022全国甲,理16,文16,5分)已知△ABC中,点D在边BC上,∠ADB=120°,AD=2,CD=2BD.当ACAB取得最小值时,BD=答案3-16.(2020天津,16,14分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a=22,b=5,c=13.(1)求角C的大小;(2)求sinA的值;(3)求sin2A+解析(1)在△ABC中,由余弦定理及a=22,b=5,c=13,有cosC=a2+b2-c22ab=22.又因为(2)在△ABC中,由正弦定理及C=π4,a=22,c=13,可得sinA=a(3)由a<c及sinA=21313,可得cosA=1-sin2A=31313,进而sin2A=2sinAcosA=1213,cos2A=2cos7.(2023届湖北摸底联考,18)在平面四边形ABCD中,对角线AC与BD交于点E,∠ABD=45°,AE=EC,DE=2BE,AB=6,AD=32.(1)求AC的长;(2)求sin∠ADC的值.解析(1)在△ABD中,由余弦定理,得AD2=AB2+BD2-2AB·BD·cos∠ABD,因为AB=6,AD=32,∠ABD=45°,所以18=36+BD2-2×6×BD×cos45°,化简得BD2-62BD+18=0,解得BD=32,因为BD2+AD2=AB2,所以∠ADB=90°.又DE=2BE,所以DE=22,所以AE2=DE2+AD2=(22)2+(32)2=26,则AE=26,又AE=EC,所以AC=226.(2)由∠ADB=90°,AE=26,DE=22,AD=32,得sin∠EAD=DEAE=2226,cos在△ACD中,由余弦定理,得CD2=AD2+AC2-2AD·AC·cos∠EAD=50,则CD=52.在△ACD中,由正弦定理,得ACsin∠ADC=CDsin∠EAD,则8.(2020新高考Ⅰ,17,10分)在①ac=3,②csinA=3,③c=3b这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,若问题中的三角形存在,求c的值;若问题中的三角形不存在,说明理由.问题:是否存在△ABC,它的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且sinA=3sinB,C=π6,?注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.解析方案一:选条件①.由C=π6由sinA=3sinB及正弦定理得a=3b.于是3b2+b2由①ac=3,解得a=3,b=c=1.因此,选条件①时问题中的三角形存在,此时c=1.方案二:选条件②.由C=π6由sinA=3sinB及正弦定理得a=3b.于是3b2+b2-c223b2=32,由②csinA=3,得c=b=23,a=6.因此,选条件②时问题中的三角形存在,此时c=23.方案三:选条件③.由C=π6由sinA=3sinB及正弦定理得a=3b.于是3b2+b2由③c=3b,与b=c矛盾.因此,选条件③时问题中的三角形不存在.9.(2021新高考Ⅰ,19,12分)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知b2=ac,点D在边AC上,BDsin∠ABC=asinC.(1)证明:BD=b;(2)若AD=2DC,求cos∠ABC.解析(1)证明:在△ABC中,由BDsin∠ABC=asinC及正弦定理可得BD·b=a·c,又b2=ac,所以BD·b=b2,故BD=b.(2)由AD=2DC得AD=23b,DC=b3,在△ABD中,cosA=AD2+AB2-BD22AD·AB化简得3c2-11b2+6a2=0,又b2=ac,所以3c2-11ac+6a2=0,即(c-3a)(3c-2a)=0,所以c=3a或c=23当c=3a时,b2=ac=3a2,所以b=3a,此时a+b<c,故a,b,c构不成三角形;当c=23a时,b2=ac=23a2,所以b=63a,此时a,b,c可以构成三角形,故c=23a,b所以在△ABC中,cos∠ABC=a210.(2022新高考Ⅱ,18,12分)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,分别以a,b,c为边长的三个正三角形的面积依次为S1,S2,S3.已知S1-S2+S3=32,sinB=1(1)求△ABC的面积;(2)若sinAsinC=23,求解析(1)由题意得S1=34a2,S2=34b2,S3=34∴S1-S2+S3=34(a2-b2+c2)=32,即a2-b2+c2由cosB=a2+c2-b22ac得a2+c故2accosB=2,∴accosB=1,又∵sinB=13,∴cosB=223或cosB=-2∴ac=324,∴S△ABC=(2)由正弦定理asin又知ac=324,sinAsinC=∴b2sin2∴b=32(2022全国乙理,17,12分)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sinCsin(A-B)=sinBsin(C-A).(1)证明:2a2=b2+c2;(2)若a=5,cosA=2531,求△ABC的周长解析(1)证明:由sinCsin(A-B)=sinBsin(C-A),得sinCsinAcosB-sinCsinBcosA=sinBsinCcosA-sinBsinAcosC,即sinCsinAcosB+sinBsinAcosC=2sinBsinCcosA,由正弦定理可得accosB+abcosC=2bccosA,由余弦定理的推论可得12(a2+c2-b2)+12(a2+b2-c2)=b2+c2-a2,即2a2=b2+c(2)由题意及余弦定理可得,b2+c2-a2=2bccosA=5031bc=25,即2bc=31,又由(1)知b2+c2=2a2,所以(b+c)2=2bc+2a2=81,所以b+c=9,所以a+b+c=14,故△ABC的周长为1412.(2022全国乙文,17,12分)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sinCsin(A-B)=sinBsin(C-A).(1)若A=2B,求C;(2)证明:2a2=b2+c2.解析(1)∵A=2B,sinCsin(A-B)=sinBsin(C-A),∴sinCsinB=sinBsin(C-A),又0<B<π,∴sinB≠0,∴sinC=sin(C-A),又0<C<π,0<A<π,∴-π<C-A<π,∴C=C-A(舍)或C+C-A=π,∴A=2C-π,∴B=A2又A+B+C=π,∴2C-π+C-π2+C=π,∴C=5π(2)证法一:∵sinCsin(A-B)=sinBsin(C-A),∴sinC(sinAcosB-cosAsinB)=sinB(sinCcosA-cosCsinA),∴sinCsinAcosB+sinBsinAcosC=2sinBsinCcosA,∴sinA(sinCcosB+cosCsinB)=2sinBsinCcosA,∴sinA·sin(B+C)=2sinBsinCcosA,∴sin2A=2sinBsinCcosA,由正弦定理得a2=2bccosA,又由余弦定理得a2=b2+c2-a2,∴2a2=b2+c2.证法二:∵sinCsin(A-B)=sinBsin(C-A),∴sinC(sinAcosB-cosAsinB)=sinB(sinCcosA-cosCsinA),由正弦定理得accosB-bccosA=bccosA-abcosC,∴accosB=2bccosA-abcosC,由余弦定理的推论得ac·a2+c2-b22ac=2bc·13.(2020北京,17,13分)在△ABC中,a+b=11,再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知,求:(1)a的值;(2)sinC和△ABC的面积.条件①:c=7,cosA=-17条件②:cosA=18,cosB=9注:如果选择条件①和条件②分别解答,按第一个解答计分.解析若选条件①:(1)∵a+b=11,∴b=11-a,已知c=7,cosA=-17由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,得a2=(11-a)2+72-2×(11-a)×7×-17,解得a(2)∵cosA=-17,∴sinA=1-co∵asinA=csinC,又∵b=11-a=11-8=3,∴S△ABC=12若选条件②:(1)∵cosA=18,∴sinA=1-co∵cosB=916,∴sinB=1-cos2B=5716.由asinA=bsinB,得a378=(2)由(1)可得b=11-a=5.sinC=sin[π-(A+B)]=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=37∴S△ABC=12(2022福建长汀一中月考,17)在①2acosC+c=2b,②bsin2A=asinB,③(sinB+sinC)2=sin2A+3sinBsinC这三个条件中任选一个补充在下面的横线上,并加以解答.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若△ABC的面积为33,a=2且.求A和△ABC注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.解析选条件①:∵2acosC+c=2b,∴由正弦定理得2sinAcosC+sinC=2sinB,∴2sinAcosC+sinC=2sin(A+C)=2sinAcosC+2cosA·sinC,∴sinC=2cosAsinC,∵C∈(0,π),∴sinC≠0,∴cosA=12,又∵A∈(0,π),∴A=π∵△ABC的面积为33,∴S△ABC=12bcsinA=33,∴bc=43,又a=2,∴由cosA=b2+c2-a22bc=(b选条件②:∵bsin2A=asinB,∴由正弦定理得2sinBsinAcosA=sinAsinB,又∵A∈(0,π),B∈(0,π),∴sinA≠0,sinB≠0,∴cosA=12,∴A=π3.下同选条件选条件③:∵(sinB+sinC)2=sin2A+3sinBsinC,∴sin2B+sin2C=sin2A+sinBsinC,由正弦定理得b2+c2-a2=bc,∴cosA=b2又A∈(0,π),∴A=π3.下同选条件①15.(2022江苏南通重点中学测试,17)在△ABC中,3sinA=2sinB,tanC=35.(1)求cos2C;(2)若AC-BC=1,求△ABC的周长.解析(1)∵tanC=35,∴cosC=16,∴cos2C=2×1(2)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.∵3sinA=2sinB,∴3a=2b,∵AC-BC=b-a=1,∴a=2,b=3.由余弦定理可得c2=a2+b2-2abcosC=4+9-2×2×3×16=11,则c=11,故△ABC的周长为5+11(2022石家庄二中月考,18)△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知△ABC的面积为a2(1)求sinBsinC;(2)若6cosBcosC=1,a=3,求△ABC的周长.解析(1)由题设得12acsinB=a23sinA,即12csin(2)由题设及(1)得cosBcosC-sinBsinC=-12即cos(B+C)=-12.所以B+C=2π3,故A=由题设得12bcsinA=由余弦定理得b2+c2-bc=9,即(b+c)2-3bc=9,得b+c=33.故△ABC的周长为3+33.17.(2018课标Ⅰ理,17,12分)在平面四边形ABCD中,∠ADC=90°,∠A=45°,AB=2,BD=5.(1)求cos∠ADB;(2)若DC=22,求BC.解析(1)在△ABD中,由正弦定理得BDsin∠A=ABsin∠所以sin∠ADB=25.由题设知,∠ADB<90°,所以cos∠ADB=1-(2)由题设及(1)知,cos∠BDC=sin∠ADB=25在△BCD中,由余弦定理得BC2=BD2+DC2-2·BD·DC·cos∠BDC=25+8-2×5×22×25=25.所以

综合篇考法一三角形形状的判断1.(2022江苏连云港检测,3)设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c若a=bcosC,则△ABC的形状为()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不确定答案B2.(2022湖南怀化联考,5)在△ABC中,sinA=sinB+sinCcosB+cosC,则A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.以上都有可能答案B3.(2022江苏南通重点中学测试,6)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a2-a2cos2B+b2sin2A=2abcosAcosB,则△ABC的形状是()A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等腰三角形答案C4.(多选)(2022江苏苏州模拟,10)在△ABC中,AB=c,BC=a,CA=b,下列命题为真命题的有()A.若|a|>|b|,则sinA>sinBB.若a·b>0,则△ABC为锐角三角形C.若a·b=0,则△ABC为直角三角形D.若(b+c-a)·(b+a-c)=0,则△ABC为直角三角形答案ACD5.(2022辽宁大连模拟,18)已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,且a-b=c(cosB-cosA).(1)判断△ABC的形状并给出证明;(2)若a≠b,求sinA+sinB+sinC的取值范围.解析(1)△ABC为等腰三角形或直角三角形.证明如下:由a-b=c(cosB-cosA)及正弦定理得sinA-sinB=sinC(cosB-cosA),即sin(B+C)-sin(A+C)=sinC·(cosB-cosA),即sinBcosC+cosBsinC-sinAcosC-cosAsinC=sinCcosB-sinCcosA,整理得sinBcosC-sinAcosC=0,所以cosC(sinB-sinA)=0,故sinA=sinB或cosC=0,又A、B、C为△ABC的内角,所以a=b或C=π2,因此△ABC为等腰三角形或直角三角形(2)由(1)及a≠b知△ABC为直角三角形且不是等腰三角形,A+B=π2,C=π2,故B=π2-A,且A所以sinA+sinB+sinC=sinA+sinB+1=sinA+cosA+1=2sinA因为A∈0,π4∪π4,π2,所以A+π4∈π4,π2∪π2,3π4,得因此sinA+sinB+sinC的取值范围为(2,2+1).考法二与三角形的最值、范围有关的问题考向一与三角形面积(最值、范围)有关的问题1.(2022广东深圳福田外国语高级中学调研,7)在古希腊数学家海伦的著作《测地术》中记载了著名的海伦公式,利用三角形的三边长求三角形的面积.若三角形的三边长分别为a,b,c,则其面积S=p(p-a)(p-b)(p-c),其中p=12(a+b+c).现有一个三角形的边长a,b,21答案D(2021山东烟台二模,18)从①sinA=cosA2,②2acosA=bcosC+ccosB③acosC+(2b+c)·cosA=0这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,并给出解答.问题:在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,.

(1)求A;(2)若a=2,求△ABC面积的最大值.注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.解析若选①:(1)由sinA=cosA2可得2sinA2cosA2=cosA2,因为0<A<π,所以cosA2≠0,故2sinA2=1,即sinA(2)由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,得b2+c2=bc+4.因为b2+c2≥2bc,所以bc≤4,当且仅当b=c=2时“=”成立.所以△ABC面积的最大值为12若选②:(1)由正弦定理可得2sinAcosA=sinBcosC+cosBsinC,即2sinAcosA=sin(B+C).因为A+B+C=π,所以sin(B+C)=sinA.故2sinAcosA=sinA,解得cosA=12因为0<A<π,所以A=π3(2)由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,得b2+c2=bc+4.因为b2+c2≥2bc,所以bc≤4,当且仅当b=c=2时“=”成立.所以△ABC面积的最大值为12若选③:(1)由正弦定理得sinAcosC+(2sinB+sinC)·cosA=0,即2sinBcosA+sin(A+C)=0.因为A+B+C=π,所以sin(A+C)=sinB,可得2sinBcosA+sinB=0,因为0<B<π,所以sinB>0,所以cosA=-12.因为0<A<π,所以A=23(2)由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,得b2+c2=4-bc.因为b2+c2≥2bc,所以bc≤43,当且仅当b=c=233时“=”成立.所以△ABC3.(2023届沈阳四中月考,21)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且sin(2A+B)=sinB-sinA.(1)求C的大小;(2)若CD平分∠ACB交AB于D且CD=3,求△ABC面积的最小值.解析(1)因为sin(2A+B)=sinB-sinA,所以sin(A+B+A)=sin(C+A)-sinA,故sin(π+A-C)=sin(C+A)-sinA,则sin(C-A)=sin(C+A)-sinA,sinCcosA-cosCsinA=sinCcosA+cosCsinA-sinA,2cosCsinA=sinA,由于0<A,C<π,所以sinA>0,所以cosC=12,则C为锐角,且C=π(2)在△ACD中,由正弦定理得3sin在△BCD中,由正弦定理得3sin所以AD·sinA=BD·sinB,由正弦定理得ADBD在△ACD中,由余弦定理得AD2=b2+3-23b·cosπ6=b2在△BCD中,由余弦定理得BD2=a2+3-23a·cosπ6=a2所以AD2BD2=b2-3b+3a2-3a+3=b2a2,整理得(a当a=b时,△ABC是等边三角形,CD⊥AB,AD=BD=1,AB=AC=BC=2,所以S△ABC=12当a+b=ab时,ab=a+b≥2ab,ab≥2,ab≥4,当且仅当a=b=2所以S△ABC=12absinC≥1综上所述,△ABC面积的最小值为3.考向二与三角形周长(最值、范围)有关的问题1.(2023届哈尔滨师大附中月考,7)在锐角三角形ABC中,若3sinB+cosB=2,且满足关系式cosBb+cosCc=sinAA.3答案D2.(2023届辽宁六校期初考试,18)在①S=34(a2+b2-c2),②acosB+bcosA=2ccosC两个条件中任选一个,补充到下面问题中,并完成解答在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,设S为△ABC的面积,满足(填写序号即可).

(1)求角C的大小;(2)若c=3,求△ABC周长的最大值.注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.解析(1)若选①,因为S=34(a2+b2-c2所以12absinC=34·2abcosC,所以sinC=3cosC,所以tanC=3,因为0<C<若选②,因为acosB+bcosA=2ccosC,所以由正弦定理得sinAcosB+sinBcosA=2sinCcosC,所以sin(A+B)=2sinCcosC,即sinC=2sinCcosC,因为0<C<π,所以sinC≠0,所以cosC=12,所以C=π(2)由余弦定理得9=a2+b2-ab=(a+b)2-3ab≥(a+b)2-3·a+b22,所以a+b≤6,当且仅当a=所以△ABC周长C△ABC=a+b+c=a+b+3≤6+3=9.因此△ABC周长的最大值为9.3.(2020课标Ⅱ理,17,12分)△ABC中,sin2A-sin2B-sin2C=sinBsinC.(1)求A;(2)若BC=3,求△ABC周长的最大值.解析(1)由正弦定理和已知得BC2-AC2-AB2=AC·AB①.由余弦定理得BC2=AC2+AB2-2AC·ABcosA②.由①②得cosA=-12.因为0<A<π,所以A=2π(2)由正弦定理及(1)得ACsinB=ABsinC=BCsinA=23,从而AC=23sinB,AB=23sin(π-A-B)=3cosB-3sinB.故BC+AC+AB=3+3sinB+3cosB=3+23sin考向三与三角形边长(最值、范围)有关的问题1.(多选)(2022山东平邑一中开学考,10)在锐角△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且c-b=2bcosA,则下列结论正确的有()A.A=2BB.B的取值范围为0,C.ab的取值范围为(2,2D.1tanB-1答案AD2.(2022新高考Ⅰ,18,12分)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知cosA(1)若C=2π3,求B(2)求a2+解析(1)∵cosA即cosA1+sinA=sinBcosB,∴cosAcos即cos(A+B)=sinB,又C=2π3∴sinB=cos(A+B)=-cosC=-cos2π3∵0<B<π3,∴B=π(2)由(1)知,sinB=cos(A+B)=-cosC,∵sinB>0恒成立,∴C∈π2∵-cosC=sinC-∴C-π2=B或B+C-π2=π(不合题意,∴A=π2-2B,