坐标表象与动量表象

关于坐标表象与动量表象第1页，讲稿共18页，2023年5月2日，星期三§1坐标表象与动量表象表象：量子力学中态和力学量的具体表示方式称为表象。坐标表象的波函数给出t时刻到粒子处于之间的几率满足Schrodinger对不显含时间t，则可以分离变量x与t第2页，讲稿共18页，2023年5月2日，星期三设上述定态方程的解为并设是正交归一的，即则含时Schrodinger方程的一般解为Cn为迭加常数，由初始条件决定。若则动量表象动量算符其相应的本征态为P,本征函数为第3页，讲稿共18页，2023年5月2日，星期三构成正交完备集，体系的波函数可以用展开，即两边同乘给出t时刻粒子的动量在之间的几率，或是粒子的动量的几率密度。第4页，讲稿共18页，2023年5月2日，星期三满足的方程两边同乘“P”表象中的运动方程特例：当V不显含时间t时第5页，讲稿共18页，2023年5月2日，星期三例1在P表象中计算一维谐振子的定态能量和波函数解定态方程第6页，讲稿共18页，2023年5月2日，星期三§2本征值为分立的力学量表象1.力学量F表象的波函数：设力学量取本征值,相应的本征函数为，即若满足正交归一性，则构成完备系。“x”表象波函数可表示为：同样，由归一，得到，表示t时刻粒子力学量取值为的几率，作为变量的函数，即表象中的波函数。考虑到波函数可以看成函数空间中的矢量，可以用矩阵表示方法来表示F表象中的波函数第7页，讲稿共18页，2023年5月2日，星期三波函数归一化：是的厄米共轭矩阵2.任一算符在F表象中的表示：算符在F表象中为一方阵第8页，讲稿共18页，2023年5月2日，星期三3.算符在自身表象中基：其本征函数在自身表象中即对角的第9页，讲稿共18页，2023年5月2日，星期三4.波函数的内积：“x”中内积：“F”第10页，讲稿共18页，2023年5月2日，星期三5.“F”中的Schrodinger方程同样，对定态Schrodinger方程，V不显含t，则该方程有非零解第11页，讲稿共18页，2023年5月2日，星期三6.平均值：说明：对三维运动，要选择三个相互对易的力学量完全集，如的共同本征函数完备集作为表象的基。如设的本征值都是分离的，分别为其量子数分别为，它们的共同本征函数记为，则可选定一排序方法，并依次记为1，2，…，如记，则得到表象中相应的表示。求：李子的定态能量和波函数。已知t=0的波函数为求任意t时刻的波函数例：设Q表象的基为，某粒子的HamiltonianH在Q表象中的矩阵为第12页，讲稿共18页，2023年5月2日，星期三解：本征函数第13页，讲稿共18页，2023年5月2日，星期三第14页，讲稿共18页，2023年5月2日，星期三一般解第15页，讲稿共18页，2023年5月2日，星期三§3表象变换本节讨论本征值为分立的力学量表象之间的波函数变换与算符变换，为方便计，我们考虑一维的情况，但这并不失一般性。设表象“A”中其基为算符则在“B”中，波函数和算符L如何表示？现有另一表象“B”，基为显然，任意波函数记则或S矩阵的性质：S是幺正的第16页，讲稿共18页，2023年5月2日，星期三2