湖南省衡阳市花桥中学2021年高三数学理模拟试卷含解析

湖南省衡阳市花桥中学2021年高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.（5分）（2015?西安校级二模）已知向量，满足||=||=1，?=﹣，则|+2|=（）A．B．C．D．参考答案：A【考点】：平面向量数量积的运算．【专题】：平面向量及应用．【分析】：运用好∴|+2|2=（+2）2，运用完全平方公式展开，代入求解即可．解：∵||=||=1，?=﹣，∴|+2|2=（+2）2=2+42+4?=5﹣2=3，∴|+2|=，故选：A【点评】：本题考查了向量的模数量积，向量的乘法运用算，属于中档题，关键是利用好模与向量的乘法公式．2.已知a＝，b＝20.3，c＝0.30.2，则a，b，c三者的大小关系是()A．b>c>a

B．b>a>cC．a>b>c

D．c>b>a参考答案：A3.将函数y=cosx+sinx（x∈R）的图象向左平移m（m＞0）个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是（）A．B． C． D．参考答案：B【考点】两角和与差的正弦函数；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】函数解析式提取2变形后，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，利用平移规律得到平移后的解析式，根据所得的图象关于y轴对称，即可求出m的最小值．【解答】解：y=cosx+sinx=2（cosx+sinx）=2sin（x+），∴图象向左平移m（m＞0）个单位长度得到y=2sin[（x+m）+]=2sin（x+m+），∵所得的图象关于y轴对称，∴m+=kπ+（k∈Z），则m的最小值为．故选B4.已知，，，则a，b，c的大小关系为A.

B.

C.

D.参考答案：A，，，故，所以.故选A.

5.已知点是抛物线：上的一点，F是其焦点，定点，则的外接圆的面积为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B

6.x，y满足约束条件若z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为A．或－1

B．2或

C．2或1

D．2或－1参考答案：【知识点】简单线性规划．E5【答案解析】D

解析：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．

由z=y-ax得y=ax+z，即直线的截距最大，z也最大．

若a=0，此时y=z，此时，目标函数只在A处取得最大值，不满足条件，

若a＞0，目标函数y=ax+z的斜率k=a＞0，要使z=y-ax取最大值的最优解不唯一，

则直线y=ax+z与直线2x-y+2=0平行，此时a=2，

若a＜0，目标函数y=ax+z的斜率k=a＜0，要使z=y-ax取最大值的最优解不唯一，

则直线y=ax+z与直线x+y-2=0，平行，此时a=-1，

综上a=-1或a=2，故选：D【思路点拨】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，得到直线y=ax+z斜率的变化，从而求出a的取值．7.直线与圆相交于M、N两点，若，则k的取值范围是A.[,0]

B.（，][）C.[，]

D.[，0）参考答案：A略8.已知倾斜角为的直线与直线垂直，则的值为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B由题意得,选B.

9.（文科做）已知，那么用表示是（

）

A、

B、

C、

D、参考答案：A10.在平面直角坐标系中，点M（3，m）在角α的终边上，点N（2m，4）在角α+的终边上，则m=(

) A．﹣6或1 B．﹣1或6 C．6 D．1参考答案：D考点：任意角的三角函数的定义．专题：计算题；三角函数的求值．分析：直接利用任意角的三角函数的定义，列出关系式，然后求解即可．解答： 解：由题意，tanα=，tan（α+）==∴=，∴m=﹣6或1，当m=﹣6时，点M在第四象限的前半部分，而点N在第二象限，故选：D．点评：本题考查三角函数的定义的应用，两角和与差的三角函数，考查计算能力．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.

已知O为坐标原点,集合且

参考答案：答案:4612.已知为钝角，且，则=

．参考答案：

【知识点】二倍角的正弦公式C6解析：，即，又为钝角，，．故答案为。【思路点拨】由已知可得，又为钝角，，由二倍角的正弦公式从而得解．13.已知，且，则的最小值为

.参考答案：分析：由题意首先求得a-3b的值，然后结合均值不等式的结论整理计算即可求得最终结果，注意等号成立的条件.详解：由可知，且：，因为对于任意x，恒成立，结合均值不等式的结论可得：.当且仅当，即时等号成立.综上可得的最小值为.

14.一个几何体的三视图如图，则该几何体的表面积为．参考答案：15+【考点】由三视图求面积、体积．【专题】空间位置关系与距离．【分析】由已知中的三视图可得该几何体为以正视图为底面的棱柱，棱柱的高为1，进而根据柱体的表面积公式得到答案．【解答】解：由已知中的三视图可得该几何体为：以正视图为底面的棱柱；高为1，∴几何体的表面积为：2（1+1+1+）+（8+）=15+．故答案为：15+．【点评】本题考查的知识点为：由三视图求表面积，其中根据已知分析出几何体的形状是解答的关键．15.函数在定义域内的零点的个数为

参考答案：2个16.观察下列等式：，，，…，根据上述规律，第五个等式为_______.参考答案：17.在等差数列中，设数列的前项和为，则= 参考答案：设等差数列{an}的公差为d，依题意，三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.某市为了了解本市高中学生的汉字书写水平，在全市范围内随机抽取了近千名学生参加汉字听写考试，将所得数据进行分组，分组区间为：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，并绘制出频率分布直方图，如图所示．（Ⅰ）求频率分布直方图中的a值；从该市随机选取一名学生，试估计这名学生参加考试的成绩低于90分的概率；（Ⅱ）设A，B，C三名学生的考试成绩在区间[80，90）内，M，N两名学生的考试成绩在区间[60，70）内，现从这5名学生中任选两人参加座谈会，求学生M，N至少有一人被选中的概率；（Ⅲ）试估计样本的中位数落在哪个分组区间内（只需写出结论）．（注：将频率视为相应的概率）参考答案：【考点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】（Ⅰ）根据频率分布直方图中频率和为1，求出a的值，估计这名学生参加考试的成绩低于90（分）的概率；（Ⅱ）用列举法求出从这5位学生代表中任选两人的所有选法种数以及代表M，N至少有一人被选中的选法种数，求出对应的概率；（Ⅲ）求出样本的中位数落在那个区间内．【解答】解：（Ⅰ）根据频率分布直方图中频率和为1，得；a=0.1﹣0.03﹣0.025﹣0.02﹣0.01=0.015，∴估计这名学生参加考试的成绩低于90（分）的概率为；1﹣0.15=0.85；…（Ⅱ）从这5位学生代表中任选两人的所有选法共10种，分别为：AB，AC，AM，AN，BC，BM，BN，CM，CN，MN；代表M，N至少有一人被选中的选法共7种，分别为：AM，AN，BM，BN，CM，CN，MN；设“学生代表M，N至少有一人被选中”为事件D，∴P（D）=；

…∴学生代表M，N至少有一人被选中的概率为；（Ⅲ）∵0.01×10+0.2×10=0.3＜0.5，0.3+0.025×10=0.55＞0.5，∴样本的中位数落在区间[70，80）内．…19.函数g(x)＝x3＋ax2－bx(a，b∈R)，在其图象上一点P(x，y)处的切线的斜率记为f(x)．(1)若方程f(x)＝0有两个实根分别为－2和4，求f(x)的表达式；(2)若g(x)在区间－1,3上是单调递减函数，求a2＋b2的最小值．参考答案：(1)f(x)＝g′(x)＝x2＋ax－b.∵－2,4分别是f(x)＝x2＋ax－b＝0的两实根，∴a＝－(－2＋4)＝－2，b＝2×4＝8，∴f(x)＝x2－2x－8.(2)∵g(x)在区间－1,3上是单调递减函数，∴g′(x)≤0即f(x)＝x2＋ax－b≤0在－1,3上恒成立．∴即A点坐标为(－2,3)，∴a2＋b2的最小值为13.20.已知a＞0，b＞0，函数f（x）=|x+a|+|2x﹣b|的最小值为1．（1）求证：2a+b=2；（2）若a+2b≥tab恒成立，求实数t的最大值．参考答案：【考点】函数恒成立问题；绝对值不等式的解法．【分析】（1）法一：根据绝对值的性质求出f（x）的最小值，得到x=时取等号，证明结论即可；法二：根据f（x）的分段函数的形式，求出f（x）的最小值，证明即可；（2）法一，二：问题转化为≥t恒成立，根据基本不等式的性质求出的最小值，从而求出t的范围即可；法三：根据二次函数的性质判断即可．【解答】解：（1）法一：f（x）=|x+a|+|2x﹣b|=|x+a|+|x﹣|+|x﹣|，∵|x+a|+|x﹣|≥|（x+a）﹣（x﹣）|=a+且|x﹣|≥0，∴f（x）≥a+，当x=时取等号，即f（x）的最小值为a+，∴a+=1，2a+b=2；法二：∵﹣a＜，∴f（x）=|x+a|+|2x﹣b|=，显然f（x）在（﹣∞，]上单调递减，f（x）在[，+∞）上单调递增，∴f（x）的最小值为f（）=a+，∴a+=1，2a+b=2．（2）方法一：∵a+2b≥tab恒成立，∴≥t恒成立，=+=（+）（2a+b）?=（1+4++），当a=b=时，取得最小值，∴≥t，即实数t的最大值为；方法二：∵a+2b≥tab恒成立，∴≥t恒成立，t≤=+恒成立，+=+≥=，∴≥t，即实数t的最大值为；方法三：∵a+2b≥tab恒成立，∴a+2（2﹣a）≥ta（2﹣a）恒成立，∴2ta2﹣（3+2t）a+4≥0恒成立，∴（3+2t）2﹣326≤0，∴≤t≤，实数t的最大值为．21.（12分）已知函数，其中=，.（1）求函数在区间上的单调递增区间和值域；（2）在中，、b、c分别是角A、B、C的对边，，且的面积，求边的值.参考答案：解：（1）由得又∴单调增区间为。由

（2），又，由余弦定理得

22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分7分.在数列中，已知，前项和为，且.（其中）（1）求；（2）求数列的通项公式；（3）设，问是否存在正整数、（其中），使得、、成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组；