福建师范大学2023年8月课程考试《常微分方程》作业考核试题_第1页
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▆▆■■■■■■■■■■■■▆《常微分方程》试卷共2页（第2页）答案务必写在对应的作答区域内，否则不得分，超出黑色边框区域的答案无效！▆▆《常微分方程》试卷共2页（第1页）答案务必写在对应的作答区域内，否则不得分，超出黑色边框区域的答案无效！▆《常微分方程》期末考试A卷姓名：专业：学号：学习中心：（附答案）填空题（每个空格4分，共40分）是2阶微分方程，是线性方程（填“线性”或“非线性”）。给定微分方程，它的通解是，通过点（2，3）的特解是。微分方程为恰当微分方程的充要条件是。4、方程的通解为，满足初始条件的特解为。5、微分方程的通解为。6、微分方程的通解为，该方程可化为一阶线性微分方程组。二、求解下列微分方程（每小题8分，共32分）。1、；解：2、；解：由原式变形得：.两边同时积分得：.即上式为原方程的解。3、；解：这里特征根方程为：，有两个特征根，因此它对应的齐次方程的通解为：.考虑原方程，它的一个特解为：.根据解的结构基本定理，原方程的通解为：.4、.解：方程组的特征方程为即，即特征根为，对应特征向量应满足，可得同样可算出时，对应特征向量为∴原方程组的通解为三、（8分）考虑方程假设及在xOy平面上连续，试证明：对于任意及，方程满足的解都在上存在。解：证明：根据题设，可以证明方程右端函数在整个xOy平面上满足延展定理及存在与唯一性定理的条件.易于看到，为方程在(-∞,+∞)上的解.由延展定理可知足，任意，的解上的点应当无限远离原点，但是，由解的唯一性，又不能穿过直线，故只能向两侧延展，而无限远离原点，从而这解应在(-∞,+∞)上存在。四、（10分）设，求解方程组满足初始条件的解。解：det（E－A）=＝(+1)2(－3)＝0.∴＝－1（二重），＝3.对应的特征向量为u1＝，u2＝.∴＝＋.解得.＝.五、（10分）叙述一阶微分方程的解的存在唯一性定理的内容，并给出唯一性的证明。证明：见书。一阶微分方程（1）其中是在矩形域上的连续函数。定义1

如果存在常数，使得不等式

对于所有

都成立，则函数称为在上关于满足Lipschitz

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