导体和电介质中静电场

静电场中的导体导电能力极强：导体，如金属极微弱或不导电：绝缘体或电介质++

+

++

++++—

静电感应静电平衡条件感应电荷++++++++++++E00

E

=

E

+

E

＇=

0E0++++++++＇EE0E

=

0导体内电场强度外电场强度 感应电荷电场强度+++++导体是等势体eneτ静电平衡条件（1）导体内部任何一点处的电场强度为零；（2）导体表面处的电场强度的方向,都与导体表面垂直.E

+

dl\

-DU

=

E

dl

=

0导体内部电势相等ABABU

=

E

dl=

0导体表面是等势面

E

^

dlAB二 静电平衡时导体上电荷的分布+++++++++结论导体内部无电荷0eqSE

dS

=

0

=

iSq

=

0E

dS

=

0，

E

=

01

实心导体\

q

=

02

有空腔导体S

+空腔内无电荷S电荷分布在表面上

内表面上有电荷吗？E

dl

„

0U

=ABAB若内表面带电所以内表面不带电-A+结论电荷分布在外表面上（内表面无电荷）+

+B

+++++++

S+矛盾

iSq

=

0E

dS

，

导体是等势体U

=

E

dl

=

0ABAB空腔内有电荷S2

iS1q

=

0E

dS

=

0，Q

+

q1+

q-

q

SS2qi

=

0E

dS

=

0，电荷分布在表面上内表面上有电荷吗？q内=-q结论当空腔内有电荷+q

时,内表面因静电感应出现等值异号的电荷-q，外表面有感应电荷+q

（电荷守恒）+++

+++

+

++s

为表面电荷面密度作钱币形高斯面SE++3

导体表面电场强度与电荷面密度的关系0es

D

S

S

E

d

S

=e0s

D

SE

D

S

=E

=

se0表面电场强度的大小与该表面电荷面密度成正比E

=

0+++

++++++注意导体表面电荷分布与导体形状以及周围环境有关.4

导体表面电荷分布s

›

E

›s

fl,

E

fl

;0esE

=尖端放电现象s

›

E

›带电导体尖端附近电场最强带电导体尖端附近的电场特别大，可使尖端附近的空气发生电离而成为导体产生放电现象，即尖端放电.尖端放电现象的利与弊尖端放电会损耗电能,

还会干扰精密测量和对通讯产生危害

.

然而尖端放电也有很广泛的应用

.<电风实验>+

+

++++++++<避雷针>尖端放电现象的利用三 静电屏蔽1

屏蔽外电场E外电场空腔导体可以屏蔽外电场,使空腔内物体不受外电场影响.这时,整个空腔导体和腔内的电势也必处处相等.E空腔导体屏蔽外电场-

q接地空腔导体将使外部空间不受空腔内的电场影响.问：空间各部分的电场强度如何分布？接地导体电势为零q2

屏蔽腔内电场+++++++q

+R1R2+

q例

有一外半径

R1

=10cm

和内半径

R2

=

7cm的金属球壳，在球壳内放一半径

R3

=

5cm

的同心金属球，若使球壳和金属球均带有q

=10-8

C

的正电荷，问

两球体上的电荷如何分布？球心的电势为多少？解根据静电平衡的条件求电荷分布E1

=

0 (r

<

R3

)S232,

qe0E2

dS

=R

<

r

<

R作球形高斯面2S02q4π

e

r2E

=+

qS1R32Sr作球形高斯面S1R3E1

=

0

(r

<

R3

)2q(R3

<

r

<

R2

)E

=4π

e

r20根据静电平衡条件S33e0

=0E

dS

=qi4ie0

=

2q

e0r

>

R1,

S

E4

dS=

qi

i1042q(R

<

r)E

=4π

e

r2S3rR2

R1S4E3

=

0

(R1

<

r

<

R2

)

r+

q-

q+

2q¥0E

dlV

=O¥=

40R1RRR3

R2R1

E3dl

+

2

E2dl

+

dl

+

E

dl(r

<

R3

)E1

=

002qE

=4π

e

r2(R3

<

r

<

R2

)(R1

<

r

<

R2

)E3

=

01042q(R

<

r)E

=4π

e

r21230(

1

-

1

+

2

)

=

2.31·103

V3

E1qV

=O4π

e

R

R

R1RR2+

2q-

q

+

qR3电容—

孤立导体的电容VC

=

Q例如孤立的导体球的电容QV4π

e0

RC

=

Q

=

Q

=

4π e

R0QREER

=

6.4

·106

m,

C

»

7

·10-4

F地球单位1

F

=

1

C/V1μF

=

10

-6

F1pF

=

10

-12

F二 电容器电容器电容Q

=

QVA

-VB

UC

=电容的大小仅与导体的形状、相对位置、其间的电介质有关.与所带电荷量无关.三 电容器电容的计算-

QVB+

QVA1）设两极板分别带电–Q

；2）求E

；3）求

U

；4）求

C

.步骤ABABU

=

E

dldS1

平板电容器++++++Q-

Q------e0

e0

S（2）两带电平板间的电场强度E

=

s

=

Q（1）设两导体板分别带电–

Qe0

S（3）两带电平板间的电势差U

=

Ed

=

QdU0

dC

=

Q

=

e

S（4）平板电容器电容例1

平行平板电容器的极板是边长为

l

的正方形，两板之间的距离d

=1mm

.如两极板的电势差为100V，要使极板上储存–10-4

C

的电荷,边长l应取多大才行.解10-4=

F

=10-6

FU

100QC

=e0S

=

l

2l

=

Cd

=10.6mARBRlBl

>>

R平行板电容器电容d

=

RB

-RA

<<RA,dd0

A2π

e

lR

=

e0

SC

»ARUln

RB0C

=

Q

=

2π

e

lRRQBAln

RB2π

e0

l

RA

ldr

2π

e0

r=（3）U

=0(RA

<

r

<

RB

)2π

e

r（2）E

=

l

,（4）电容-

+-

+-

+-

+2

圆柱形电容器（1）设两导体圆柱面单位长度上分别带电–l1R2R例２ 球形电容器的电容球形电容器是由半径分别为R1和R2的两同心金属球壳所组成．解

设内球带正电（

+

Q），外球带负电（

-

Q）．＋＋＋＋＋--＋

-＋-

＋----rQE

=

e4π

e

r

2

r212R2RldrQE

dl

=U

=4π

e0

r0(R

<

r

<

R

)11

20R

R=

Q

(

1

-

1

)4π

eR2

fi

¥,C

=

4π

e0

R1孤立导体球电容*P2R+

l-

lE0E

=

E

+

E-+2π

e

x

2π

e

(d

-

x)=

l

+

l

R

R)dx01

1

x d

-

x+Edx

=U

=

(d

-R2π

e0

l

d

-Rπ

e0

R

π

e0

R=

l

ln

d

-

R

»

l

ln

dRUln

d0单位长度的电容C

=l

=π

e解设两金属线的电荷线密度为–l+-EEd例3

两半径为R

的平行长直导线中心间距为

，且

d

d,

>求>单R位长度的电容

.xo

Px

d

-

x三 电容器的串联和并联１

电容器的并联21C

=

C

+

C２

电容器的串联C1C2＋-C1C

21

=

1

+

1

＋C

C1

C2-电介质-

QQ+++++++-

-

-

-

-

-

-— 电介质对电容的影响 相对电容率reE

=

E0C

=

erC00reU

=

1

U相对电容率

er

>1电容率e

=e0erU00CCUQer

+

+

+

+

+

+

+-

-

-

-

-

-

--

Q二 电介质的极化无极分子电介质：（氢、甲烷、石蜡等）有极分子电介质：（水、有机玻璃等）-+-+

+

-+

+

+-

+

+

+

+-

+-+re-+

-

-+

-

-+-

-

-

-+

-

+-三 电极化强度pDV

P

=s

'

=

PnP

=

p

=

s

'

DSl

=

s

'DV

DSl表面极化电荷面密度lPDSp

:分子偶极矩P

的单位：C m-2P

:电极化强度看成电偶极子-++

-+

+

+-

+

+-+

+-

+-+-+

-

-+-

-+-

-+-

-+-

+-derr00

P

=（e

-1)e

E

=

ce

E0E0

=

s

0

/

e0E'

=

s

'/

eP

=

s

'E

=

E0

-

E

'

=

E0

/

er0EE'EP

~

E四 电介质中的电场强度

极化电荷与自由电荷的关系rre0

E0ee

-1P

=0reE'

=

er

-1

E0res

'

=

er

-1s介质的电极化率c

=

er

-1极化电荷与自由电荷的关系ers

'

=

er

-1s0-+

-

-+-

-+-

-+-

-+-

+-d-++

-+

+

+-

+

+-+

+-

+-+er0Q'Q0Q

=

??

Q'r0rQee

-1Q

'

=有电介质时的高斯定理真空中静电场的基本定理有电介质存在的静电场自由电荷+极化电荷环路定理依然成立lE

dl

=

0√niεi

=1q

in0e

1

Φ

=

E

dS

=S？0rr'Qee

-1Q

=1'00S(Q

-

Q

)

E

dS

=e

s

0-s

's

'+

+

+

+

+

+-

--+

+-+

+

+-

+

+-++

+

+-s

0

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-erS电容率e

=e0er电位移矢量D

=e0er

E

=eE

（均匀各相同性介质）e0erQ0S

E

dS

=

有介质时的高斯定理i

SD

dS

=

Q0

i

P

=（er

-1)e0

ED

=

e0er

E

电位移矢量D

=

e0er

E

=

P

+

e0

E

C

=

erC0E

=

E0

er电位移矢量D

=

P

+e0E（任何介质）

D

=

eE（均匀介质）有介质时的高斯定理iSD

dS

=

Q0

i

电容率极化电荷面密度e

=

e0ers

'

=

Pn（均匀介质）有介质时先求

D

fi

E

fi

U注意电介质内的电场强度E

,

电极化强度

P

,极板和电介质的电荷面密度,

电介质内的电位移

D

.例1

把一块相对电容率er

=3

的电介质,放在极板间相距d

=1mm

的平行平板电容器的两极板之间.放入之前,两极板的电势差是1000V

.试求两极板间解30-16

-1-110-3=10

kV

m=10

V

m=

V

mdU

1000E

=210

kV

m-1=

3.33·0rC

m-2-1)

=

5.89

·10-6P

=

(e

e

E0

0

0-2-6=

8.85·10

C

ms

=

e

Es

'

=

P

=

5.89

·10-6

C

m-20

r

0

0

0=

8.85·10-6

C

m-2D

=

e

e

E

=

e

E

=

s0

rE

=

E

e解iSQ0

i

D

dS

=0D

=

s0U

UdC

=

Q0=

s

0

SC

=

e0S

,\

s=

e0UDdUe0er

derE

==d1d2+s

0-s

0时，两介质分界面上的极化例2

一平行平板电容器充满两层厚度各为

d1和

d2的电介质，它们的相对电容率分别为

er1

和er2

,

极板面积为

S

.

求（1）电容器的电容；（2）当极板上的自由电荷面密度的值为s

0+

+-+

+-1+-

++

-+

+-+

+-

-s

'++s1

'+-

+-

-+

+-+-

-+-

-+-

-+-

-+-

+-

+s

2

'-

- -

-s

2

'S10

1SD

dS

=

s

S电荷面密度.D

=

s

01+EE2sDE1

=0

r20

r22e

e

e

e=

0

e0er1

e0er1D

=

s

0E

=解（1）2

21

1lE

dl

=

E

d

+

E

dU

=Q

d

de0S

er1er2= 0

(

1

+ 2

)UQe

e

e

Ser1d2

+er

2d1=

0

r1

r

2

C

=

0er1e

-1+

+-+

+-+

+

+

++-+-

+-d12d+s

01- -

-s

'+-

-+

-+

+s1

'-+

-

-+

-

-+-

+-

-

+-

+s

2

'2-s

'-s

01SE12E0r2r22see

-1s

'=（2）s1'=

r1

s00

r101see

ee=DE

=se0er2=

0

e0er20

r1DE2

=求（1）电介质中的电场强度、电位移和极化强度；（２）电介质内、外表面的极化电荷面密度；（３）此圆柱形电容器的电容．例3

常用的圆柱形电容器，是由半径为R1

的长直圆柱导体和同轴的半径为R2

的薄导体圆筒组成，并在直导体与导体圆筒之间充以相对电容率为er

的电介质.设直导体和圆筒单位长度上的电荷分别为+l和-l

.1R2rR-

l+

lS

D

dS

=

ll解（1）D2π

rl

=

ll2π

rD

=

lD2π

e0er

rle0er=E

=(R1

<

r

<

R2

)lrr0r2π

e

re

-1P

=

(e

-1)e

E

=R1R2r-

l+

l（２）由上题可知r

11

r

0

1

r2π

e

Rs

'

=

(e

-1)e

E

=

(e

-1)

l

r

2r22π

e

R=

(e

-1)

l

s

2

'

=

(er

-1)e0

E0

r

112π

e

e

RE

=

l

1(r

=

R

)2π

e0er

R2

l

E2

=(r

=

R2

)D0

r

0

rlE

=

=e

e

2π

e

e

rR1R2r-

l+

l真空圆柱形电容器电容（３）由（１）可知2π

e

e

rE

=

l

(R1

<

r

<

R2

)R

2R1d

r

=

U

=

E2

π

e0

er

rld

rRln

2

2π

e0

er

R1l0

r=10

rRUC

=

Q

=

2π

e

e

l

ln

R2rC0=

eln

2

R1RlC=

2π

e0er单位长度电容R1R2r-

l+

l静电场的能量+

+

+

+

+

+

+

+

+E-

-

-

-

-

-

-

-

-Q2—

电容器的电能CdW

=

U

dq

=

q

dq21

1Q2We

=

2C

=

2

QU

=

2

CU电容器贮存的电能QCW

=0qdq

=

2C1W

=

1

QU

=

1

CU

22

2U+dqUC

=

Q二 静电场的能量能量密度e2W物理意义电场是一种物质，它具有能量.电场空间所存储的能量V

VW

=2w

dV

=ee1

eE

2

dV112电场能量密度

we

=

2

eE

=

2

ED2

d=

1

CU

2

=

1

eS

(

Ed

)22=

1

eE

2

SdR1R2的电介质，问此电容器贮存的电场能量为多少？例1

如图所示,球形电容器的内、外半径分别为

R1和R2，所带电荷为–Q

．若在两球壳间充以电容率为解1

Q

E

=

e4π

e

r

2

rrdr21Q

2=32

π

2

er

4we

=

2

eEQ

2dW

e

=

we

dV

=

8π

er

2

dr1

1R2R

21Q

2drQ

2(

-

)=W

e

=

dW

e

=8π

e

r

8π

e

R1

R22

11

1

1R

RQ

2Q

2WeR2

-

R14πe=

8

π

e

(

R

-

R

)

=

21

22

CQ2e2

1R

RR

-

RC

=

4π

e

2

1

（球形电容器电容）讨论1Q

2W

e

=

8π

eR（1）

W