整体思想的解题策略

1整体思想的解题策略人们在考虑问题时，通常把一个问题分成假设干个简单的小问题，尽可能地分散难点，然后再各个击破，分而治之。本文所要介绍的解题方法与上述习惯方法恰恰相反。在解题时，细察命题的外形，把握问题的特征，展开联想，将各个局部因素合而为一，创设整体或整体处理，从而到达问题的解决，此方法称为整体思想方法。这种方法运用得当，常能化难为易，使解题思路出现豁然开朗的情景，到达快捷、简便的解题目的。一、构造整体在解题中，注意到问题的特征、创设整体，从而使问题得到解决。例1：证明××…×＜证：设M=××…×，N=××…×，显然M＜N那么MN=(××…×)(××…×)=∵M2＜MN∴M2＜故M＜评注：本解法抓住M，N这两个整体，使问题得到解决。此题还可以用数学归纳法证明，但显然较为繁琐。与例2拣：设昏三个席方程条ax丛2躬+b百x+抬c=再0鞋，b刺x邮2啊+c未x+爆a=溉0菊，欺cx艳2版+a横x+着b=俱0记有公跟共实盲数解妖，求及实数辟a恋、俱b、创c分之间鸽的关更系。娘解：粗设三斥个方把程的各公共汤实数键根为放x冒0程，个那么寺ax伞0蒙2至+b男x睡0同+c渗=0鱼对①显bx啊0附2排+c跟x恐0盾+a谈=0善蛙②腰cx锋0霉2良+a改x宿0帜+b撕=0详劳③铸①激+运②稠+因③炼(a复+b五+c抖)(趴x肤0漫2之+x卵0晌+1丢)往=0瓶∵断x应0六2江+x瞒0起+1饲=贫(x挑0梢+垫)+余＞0钩，愿∴选a+纲b+妙c=意0由评注于：本秋题欲押求阔a茅、袜b柱、盲c保关系烦，似废乎难贷以下揪手，朱假设能予构造角a+辅b+雕c挨这一由整体驰，使适问题疾的解卸决豁夜然开芬朗。畏二驱、整丙体求涝解姻解题恒过程架中，石视所臭求问杠题为乳一整录体，渐根据没条件墙的结溉构特汪征，集合理袍变形河，直泡接得谋到问艳题的劣答案碌。澡例3鞭：设失有四卫个数栗,歌其中炉每三报个数谊之和逃分别细为执22选、2吐0、众17顽、2酱5，凝求此冶四个错数。博解：永设此慈四个央数之从和为祸x健，那么奴得方堵程圆(x剖－牵22女)+疯(x倾－炎20浅)+仿(拌x－帝17丽)+遍(x蒙－桃25蒙)螺=裳x揭，解弯得挨x=要28隙∴声四数宽依次趋为8盟、3贺、6耗、1藏1疾评注泡：本鸭题解坝法考做虑到怖四数陡之和俘——唤问题钟的整德体，忠可使亡问题呼中四好个数抛变为分只是批一个槽未知原数，摆从而芒使问畜题得罪到有艳效的姑解决齿。本赤题假设蕉按通具常解栏题习祸惯，围须分乔别设下四个心数，房然后阿列出滔四个翼方程塌所组容成方衔程组中，解犹题较哈繁。顿例4兔：已备知遭2s诞in愚α括－焦co疯s句α智=1盖，求革的值钥解：更设疗=软k患，那么漂(1扇－革k)惊si颠n暂α毁+(尘1+旁k)搞co收s私α控=k仁－佣1锈①捏又政2s烈in钞α弹－券co首s矛α师=1摄浅②超解扩①②刃得搏si忍n瓣α险=炒嘱co巨s版α忧=萍(k千≠匆3)冬由晶(猪)赶2煤+泡(卷)礼2迁=1加解得栽k=唱0端或葛k=乖2跨故原孝式的指值为垦0或传2婶评注捉：本读解法罢利用扛=绸k慰这一恐整体揉进行泳求解陈，能称简捷哄解决两问题亦。本匹题假设和由已卷知条秤件艺2s困in蛙α泊－蛋co愉s荣α贿=1芦及要si星n错2完α滥+c察os柱2睬α辞=1眉联立磨解得瓦si婚n镰α巩、蠢co外s香α捷的值跪，再兔代入理求值泰，计佩算较敢为繁淋琐。何例锯5、雪三棱省锥S瞧-A汪BC皆的个护侧面械互相塌垂直充，它热们的详面积痕分别渐是抵6m唇2或,4浴m芳2肝,价和孝3m代2复，求牵它的裤体积竭。S团解妄如奉图，仁设S渡-A瓜BC李的三茎侧棱裙长S草分别奥为僻xm靠,y园m,摩zm卫,程体积冷为Z嫌，雨那么由豆题意港得CA思xy盈=6轻,浓yz蛾=4稍,刷zx穿=3CAB听∴涝得天(x拌yz壳)利2绢=(仍24溜)谈2岛,孩组间那么祸V=吨xy该z新=降×粱24杯=4周m扎3B推注郑此题杀没用示解方做程组恼的方非法，恨先求边x,昨y,腥z键，而祥将舱xy疏z追视为踩一整忘体求剩值，雅故简皇捷而无巧妙匀。朝例景6、僻球面特内接汇圆台舞的高置为灶h划，球版心到柄母线杆的距里离为辛p,她那么球趋内接帝圆台鄙的侧扔面积DCCD厨S=钳2管π桃phDCCD惑分析睬与证笛明：绞如图盏，需久求的BABA讲是S惊=勉π抚(r变’哨+r坑)l敢饺①没,歌但终r枕’烟,r电,l索均未附知，BABA屠下面傅寻找朋它们返与已密知量膊h,吨p称的关求系。棕为此那么作辅挑助线佳，将珠r病’妇,r狱,l另,h咸,p甚都集者中到汗有联适系的觉图形浆之中引。立作D择D的’但⊥亩AB府测D激D绒’化=h鞋作E杠O浪⊥丝AD武散E为焰AD薄的中框点〔渣垂直梦于弦拖的半陡径平塘分弦途〕把作E阻E铁‘以⊥考OO械’怒E萍E斜‘巴=晃在R哥t渐△厚DD纳‘腊A和别R锐t末△志EE渴‘痛O中喂DA帜⊥耐OE恋DD循‘素⊥娃EE构‘株∠惕AD滩D蝇‘页=扁∠旺OE疤E蝴‘养∠专AD叠D固‘蠢，碑∠乐OE吨E串‘素为锐辨角盗△谋DD取‘体A查∽△呢EE骨‘农O短怎即脚〔疲r+史r锹’局〕爷l=玉2p啦h晕②乖②具代入枕①刘得咬S通=土2培π告ph宁注惹按常旗规解革法，镇必须隔把宜r,奥r扯’江,l迷分别币用佩p,赢h达表示橡出来港，但遥这样汁做相夫当困驱难，累且几有乎是钩不可惰能的堤。此充时我偶们便蔑该调蜜整思最路，卡用整汗体思蓬想，征将〔煌r+扑r丽’评〕罪l护视为皂一整唯体来发求值旁，这丰样问假设题便秤巧妙晒的得喉到解贷答。损三床、整朱体换担元林在解忌题中句，往脸往巧铁设某既一整劣体为哪辅助胁元或骑未知发元，炎或将沫某未联知元好整体影用另亏一些燃未知竹元整闭体代给换，练寻求置解题舅思路娇。循例父7姨：等本差数攻列槐{a拒n纪}侍、蓬{b筒n垒}私的前击n冻项和表分别猾为零S糟n唉和国T险n服，假设毯=渴求笼的值己。膛解：够∵勺，句∴热=雄=痛=舱=哨=掌，惨∴签评注独：本揪解法酷是根牵据等式差数愁列的煎性质筋，莫m堤、正n玉、研p捧、迎q甚∈叔N乐，且蓝m+竹n=像p+卧q凑时，矿那么我a皂m叨+a杏n饼=a炒p庆+q间q谅，粪再将律其作欠为一芒个整丘体代樱入，苗灵活摩又简剂便。达例丈8、界：已驴知抖f酸〔明x岩〕照=x葵5澡+a脆x阁3尼+b慈x述8壁，且拢f往〔掩2照〕介=1虏0愚，求辜f前〔爪2渗〕

找解：成设闸g首〔张x滋〕揪=f梨〔誓x啄〕仙+8五=x哪5闷+a膊x悠3螺+b破x

掘注意亲到及g衣〔量x廊〕绕=飞g滨〔嫁x悠〕，鱼即乡g驴〔慧x窗〕是拳奇函铸数，俗因此额，抗g坏〔狼2缝〕疮=葡g勾〔滴2聋〕

葬∴醋f术〔伴2蜓〕割=g辫〔辱2墓〕翠8=滥g贷〔阀2仓〕炒8=臭[组f贱〔尘2艘〕并+8予]锤8殖=吧2饰6

逆狭晌评注长：本望题将浆f(心2宣)蔬看作纵一个事整体艇，注叙意到药g碧〔五x啄〕控=f怀〔抗x秧〕盖+8师=勉x垒5亭+a控x壤3坚+b脱x

位是一泼个奇叼函数努。使补计算满过程笑大大蚕简化胳。将宅x做5灰+a厦x扁3压+b糠x看才作整羡体而黎用g承〔殖x吓〕代妈换，析过程聋简捷禽明了泡。如折用一贿般思物路那么腔会一斯筹莫绢展,旋这是搬因为眨，其稀一，胖a,灶b未督知,巷其二便，要港解5矩次方盈程,驴而5绝次方费程无脚法解向.茅四互、整笛体变巧形驴解题宽中，牌将条损件等盒式看搁成一料个整幅体，沿根据稠题目钓特点皮进行稍适当伤变形贵，以住助解颜题进涌行。焦例帖9皱：求桨函数侍f(拉x)避=3垄si膝n(毯x+叠20顷°夜)背+附si扫n(狐x+瑞80住°倘)袄的最陵大值悠解：卖f(摇x)虏=3睛si对n(享x+笨20钞°仍)宿+趴si忙n[誉(x速+2甚0犹°姨)霉+6臂0学°碌]罪=3搬si摄n(滋x+塑20免°红)+桑si携n(蔬x+不20闭°羽)+盲殖co尿s(愤x+晒20镜°刃)冈=孝si执n(狡x+毯20汤°幅)+革万co辆s(宅x+宽20颠°第)=果之si底n(帆x+星20逃°这+维φ乱)(鲜其中妥φ幕=蜻ar户c细ta延n牲)语因此蓝f(花x)厘的最三大值俘为筐评注临：此津题假设蜻按角么形式逃展开朝,脸就没水有思锈路了屠。本欠解法庸抓住财x+澡8丢0雄°萌=〔导x+置20刑°宪〕每+6锅0首°彼这一括整体液，巧诞妙变撑形，背使得亲问题城得到慕解决突。沉例绝10睁：已玻知Z裁是虚铸数，俯Z模2预+2感是实晨数，弃且锈ar忠g(匙3校－谎z)停=轨，求洒复数喉Z。懂解：心将转Z抹2猎+厦2邻视为峰一个垂复数熔，利膛用萄Z墙2宵+琴2兔∈次R此∴射Z阀2障+渣2贱=连2辆+2伐Z，稀故咐(Z蜜－六)(超Z+僚)=廉2(床Z捞－冈)角∵党Z是撑虚数旧经预∴挎Z录－族≠痰0谣∴办Z+凭=2锁故可错设费Z=偶1+崭yi射(y别∈享R，判且灰y券≠帽0梁)舅∴拒ar治g(榆3倾－仪Z)钟=a盼rg宣(2娱－讲yi碧)=捷寿，故械y=寿－错2，帮于是刑Z=芝1－束2i估评注率：本贝解法萝将Z辛2酸+2谁将为成一个搬整体斥，然洒后利替用复蜻数为淋实数威的充坛要条酱件是打Z=巧，从塞而得粗到问阳题的魔解决勇。可驴以发污现，裹运用广整体良思维画方法案，分迹析复季数问朴题常射能得桶到事只半功玻倍之霉效。刃五职、整势体代帅入遗在问奉题解势决过分程中质，往荷往涉窄及到滴较多伸的几帝个变倦量，谨但我丸们不奇必分迁别求峡出各起个量瞧的具圆体值巡，而嗓是将豆它们鄙的某窃些关像系作御为一驱个整屑体，袍到达俱顺利洗而又多简捷汪地解缺决问宾题的慈目的捕。挺例脸11勺：三脸棱锥忠的三丸个侧院面两舍两互虑相垂抹直，剪它们央的侧挥面积辆分别袋是睡6c往m追2华，吊4c饱m冬2呼，3牵cm守2显，求嚷此三辱棱锥准的体存积。雄解：绕设三屠条棱忠长分冒别为狱x摘、擦y、著z初，那么匆xy赢=6弓，振xz渔=4帮，绒yz均=窗3乱∴洲V=响xy捎z=连=党=能cm楚2凝评注吴：本越解法酬着重投抓住会xy哭=6涉，归xz雾=4授，范yz勾=3确，而齿不是铜具体常求出忌x饿、扑y、哭z鼻的值陡，从润而达逢到简标捷解威决问皮题的霜目的午。肺例肆12岁：已疮知草P男是椭躺圆伐上一钢点，箩F黄，屠F神是焦稻点，每∠虎F李PF渴=3壁0才°膨，求环F远PF霉的面穗积。纯解：躲易知趁a=豆5,证b=狡4,茎c=蝴3颤在赌F野PF凑中，坚由余境弦定粮理可浊知缠=妹+辩－傍2|瞒P牧F累||鸽P穗F弦|c加os透30撤°陕=(贵|P承F众|+雪|俩P置F钉|)经－俭2|鬼P热F贞||监P酒F物|桃－嚷2|举P尝F谅||乡P魄F畅|c赌os战30总°望由椭柜圆定密义可辣知私|P巴F夜|+循|怜P煎F仁|=眯10队，从功而有纳|P团F询||玩P叫F劝|待=1方6〔党－1挂〕秋因此钞，鄙S杠=殊|P草F敲||恋P超F比|=孕8退〔龟－1材〕壁例1址3、猪解不挎等式经：坐4x颤2亦-1构0x闲-阀＞0闪分析杆本班题按蓬一般像的解聪法，压移项枝，使室不等紫式一陈边为去有理隐项，逮一边酿为无欺理项睡，然坡后两管边同元时平短方，尼去无铃理项夸，问娘题将征变得肥复杂阴，但洋将雄视为免一整武体求住解，掀问题选便得投到简钓洁、搅有效置的解田答。划解：淡令麻t=护，那么危原不特等式误化为鹿局辱溜除迁2靠t浅2倒-2曾t-灵21原＞0债雄佣解川之得迫振筋看t持＜正〔舍她〕吵或思久t那＞锻3膊蜡即黎万＞3畏尘即膛葱2x尤2邪-5汉x-谎7怖＞0淋份解之宗得健钓x膀＞赠或蝴柜x掌＜-杂1胡例1猜4、惹解方共程组齿右x+祖y=炭2袋森揭音给维按闸xy误-z当2特=1爽分析己两秘个方啦程，咬求三浮个未呢知数逐，似嚼不可疲求，剖但由按于殊x+塘y=丢2羞，所新以可免令拦x=庭1+与t,救y=慨1-致t泊,怜并将异其视像为整饲体，舱用均棕值整驴体代剑换便系可。既解：很令糊x=口1+匠t,愿y颠=1野-t刘岛〔优t声为实乒数〕么∴够叉(1越-t迁)(筋1+帅t)训-z另2锈=1逆∴戒竿t达2春+z层2蛛=0从升次∴家t彻=0吼岔且贱z广=0校∴轧序原方奋程组侮的解至为葡仅x=缝1禾y喉=1逐z=柜0姐六验、整左体思挠维厚解决袜问题寻过程约中，课需要怨将要哥解决步问题斜看作邮一个沃整体雾，通秤过研鞋究问侍题的听整体睁形式颗，整毅体结暴构，伸整体晚功能胡，以缠便达确到解曲题目扰的。妨例殃15趴：双填曲线址过原猴点，挽实轴届长为浇2，汗它的疮一个板焦点荣F倘1该(4到,0锹)千，求倦双曲脱线中罢心的挤轨迹谣方程埋：赏解：课设双某曲线你另一艺个焦岭点为颂F赞2抹，那么亲|O民F探2助|－雁|O移F档1虹|=聋±寒2a型=斩±访2愤设双睛曲线把中心会为并P(彼x,沸y)毕，那么质另一乐个焦牺点草F物2脆(2园x糕－卷4,停2y朋)黎∴闸，化病简得女(x扯－童2)骗2收+y晓2讨=9凡或平(x曾－瓜2)读2塞=1涂评注宿：题才设给妇定双胳曲线卧的一步个焦要点和坡一支怠上的键一个疾特殊逃点，猜如果殃仅用视这些凡条件鬼，按咐常规锤方法植很难晌求得创中心尤的轨轨迹方慰程。披但假设微整体证研究朴所给绿双曲敌线及兔两焦蛙点与孙中心拾的位柴置关殿系，舍再利痒用原础点在逢双曲枪线上垄，那么题解题杏思路悠豁然挂开朗第。庆例1韵6蜂：椭侄圆唱上有骗两点章P、色Q，舞O是令坐标渗原点司，假设就OP被、O免Q斜歇率之法积为腊－区。漫⑴画求证蹈：烧|O渣P|喂2驰+|猜OQ惯|灾2轻为定邀值爱⑵瞒求P巴Q的密中点撑M的衬轨迹五方程竖解：调⑴难设P可、Q庸两点江坐标期分别猴为P妙(x惊1颜、洁y牺1唇)斧，踩Q(冠x隆2倘、疲y惯2着)乔∵吧P、诞Q分涛别在乐椭圆殖上，蛋且K源OP乔·油K巩OQ刘=湿－①②③杰∴孤，故①②③俗①×诱②罪得1饺6喂y徐1尺2肥y肯2段2咸=1酷6邻2墨－况16蹈(x习1绩2剖+x好2留2配)乡－丝x壳1抚2脾x援2形2派嫂④半③办代入牺④但得谦x塞1榆2好+x述2玻2刻=1帆6眨①还+跃②泡得如y犁1奥2并+y虏2跟2食=8舅－究(此x请1占2尤+x圣2戚2闻)=焦4绒∴触|O位P|麦2泄+|贡OQ毒|援2胞=典x酬1浊2饰+y闹1鸡2个+边x侦2巩2傍+肃y纪2喝2咬=2仗0浙⑵镇设P胃、Q奸中点路为M庆(x趁，觉y)体，那么钻有璃x煤1长+x够2胳=2艇x粱骗y阅1宅+y反2卫=2霞y批①震+湿②代+购③厅x田2得菠肺4(匹y疼1通2齐+血y党2要2然+赔2维y恭1浅y优2览)=关32且－喂(x奏1拳2缝+坟x锤2正2天+2肚