代数式的条件求值求最值及求字母取值范围的技巧（教师版）

专题02代数式的条件求值求最值及求字母取值范围的技巧（解析版）

专题诠释■代数式的求值、求最值及求范围是中考最常见的题型，七最重要的技巧就是代数式的恒等变形。

恒等变形所用的核心知识是整式的乘除、因式分解、方程、函数、不等式等；运用到的主要方法是整体代

入，配方法，作差比较法等。通过恒等变形可以求值，求最值，确定字母的范围，比较大小等。

笫一都分爵用韶析+变武圳

类型一通过代数式的恒等变形求代数式的值

22

典例1（大城县校级四模）设/H2+H2=4/?I/?,则竺一巴•的值等于（）

mn

A.2V3B.V3C.V6D.3

思路引领：由〃2=4〃z〃得（〃7-〃）2=2加小（〃2+〃）2=6加7,根据7%>0、ft>0可得-〃=弋2m71、

1----八、、m2-n2（m+n）（m-n）,,…一口

tn+n=V6mn,代入到rl------=-------------计算可得.

mnmn

解：*/病+层=,

tn2-4，〃〃+〃2=0,

；・（7W-n）2=2mn,（m+n）2=6〃〃？,

•，心0,〃>0,

-n=yj2mn,tn+n=y/6mn

m2-n2（7n+n）（7n-n）、6mn72mn_

则------=-------------=------------=273,

mnmnmn

故选：A.

总结提升:本题主要考查完全平方公式和分式的求值,依据完全平方公式灵活变形并依据条件判断出〃?+〃、

tn-n的值是关键.

变式训练

1.（达州中考）已知：n?-2m-1=0,-1=0且加〃W1,则--------的值为.

n

121

思路引领：将〃2+2〃-1=0变形为丁_一一1=0,据此可得加，一是方程X2-2x7=0的两根，由韦达定

nznn

理可得小+-=2,代入————=m+1+工可得.

nnn

解：由/+2〃-1=0可知〃WO.

1

又nvo-2m-1=0,且1,即mH-.

n

］

一是方程x2-2x-1=0的两根.

n

・•・〃上?+—1=2c.

n

mn+n+1i

:.-------------=m+14--=2+1=3,

nn

故答案为:3.

1

总结提升：本题主要考查根与系数的关系，解题的关键是将方程变形后得出〃?，一是方程/-2x-1=0

n

的两根及韦达定理.

2.(2020秋•锦江区校级期末)已知2a-36+1=0,则代数式6a-»+I=.

思路引领：首先由已知可得2a-3匕=-1,将2a-3b=-1代入64-96+1=3(2a-3b)+1即可.

解：；2“-36+1=0,

2a-3b—~1,

.•.6〃-9b+l=3(2a-3b)+1=3X(-1)+1=-2,

故答案为：-2.

总结提升：本题主要考查了代数式求值，运用整体代入思想是解答此题的关键.

3.(2022秋•吉县期中)请阅读下面解题过程：

已知实数a、6满足“+6=8,"=15,且a>b,求a-6的值.

解：因为a+b=8,ah=15,

所以：(a-b)2—a2-2ab+b2—c^+lab+b1-4ab=(a+b)2-4ab=S2-4X15=4因为a>b,所以a-b

>0,所以a-6=2.

请利用上面的解法，解答下面的问题.

已知实数x满足》一］=孤，且xVO,求的值.

思路引领：直接利用完全平方公式将原式变形得出7+5=10,进而求出答案.

解：’."一］=而，

(x-L)2=8,

X

《-2=8>

**•JCH---9=10,

(xd—)-y+2=12,

XX2

.•.x+]=±2V3,

V.r<0,

-=-2A/3.

X

总结提升：此题主要考查了完全平方公式应用，得出了+3的值是解题关键.

类型二通过代数式的恒等变形求代数式的值

典例2(2021秋•下城区期中)已知实数小,〃满足〃2-层=1,则代数式加2+2几2+4m-2的最小值等于.

思路引领：根据题意把原式变形，根据配方法把原式写成含有完全平方的形式，根据偶次方的非负性解

答.

解：・・・〃？-〃2=1,

.\n2=ni-1,/九21，

则用2+2次+4加-2

=m2+2m-2+4加-2

=/772+6/??-4

=w2+6/??+9-13

=(〃?+3)2-13,

•・，心1,

:.(巾+3)2-1323,即代数式层+2”2+4切-2的最小值等于3.

总结提升：本题考查的是配方法的应用，配方法的理论依据是公式J±2aH庐=(a+h)2.

变式训练

1.(2022•蓝山县校级开学)若小，〃是方程/-2or+l=0且的两个实数根，则(加-1)?+(〃-1)2

的最小值是.

思路引领：根据根与系数的关系求出m+n与mn的值，然后把(w-1)2+(〃-1)之整理成m+n与mn

的形式，代入进行计算即可求解.

解：由题意,寻=2af/Tin=1,

则(〃L1)2+(〃-1)2

=n?+〃2-2(m+n)+2

=(川+〃)2-2nin~2(tn+n)+2

2

=4a-4af

=4(。-今2-L

Va^l,

・・・a=l时，(桁-1)?+(72-1)2的最小值为o.

故答案为0.

总结提升：本题考查了根与系数的关系：若打，X2是一元二次方程依2+6X+C=0(〃N0)的两根时，Xl+X2=

Y，XIX21也考查了二次函数的最值问题.

2.(2022秋•海淀区校级月考)阅读下列材料，并解答问题：

工2—x+3

材料：将分式------拆分成一个整式与一个分式(分子为整数)的和的形式.

X+1

解：由分母x+1,可设/-x+3=(x+1)(x+〃)+b；

贝lj/-x+3=(x+1)(x+〃)+b=x2+ajc+x+b=x2+(Q+1)x+a+b.

・・•对于任意上述等式成立，

••・丁：厂U解得：

(Q+b=33=5

.%2—x+3(x+1)(%—2)+55

/.------------=-----------------------=x-2d—

x+1X+1工+1

这样，分式^~~f就拆分成一个整式x-2与一个分式一二的和的形式.

x+1x+1

入2+5%—4

(1)将分式--------拆分成一个整式与一个分式(分子为整数)的和的形式；

X-1

2X2-X-12

(2)已知整数使分式---------的值为整数，直接写出满足条件的整数的值.

x-3

思路引领：(1)利用题干中的方法进行变形即可得出结论；

2x2—X—12

(2)利用题干中的方法将分式---------拆分成一个整式与一个分式(分子为整数)的和的形式，利用

x-3

整除性质即可得出结论.

解：(1)由分母x-1,可设/+5x-4=(x-1)(x+a)+b,

贝IJ/+5尤-4,

=x2-^ax-x-a+。.，

=/+(a-I)x-a+b.

•:对于任意X上述等式成立,

a—1=5

—a+/?=-4

解得：］a=6

b=2’

X2+5X-4

X-1

(x-l)(x+6)+2

-x=4'

2

=x+6+—zr.

x-1

故答案为："6+"

(2)由分母x-3,可设Zr2-x-12=(x-3)(2x+〃)+〃,

则2?-x-⑵

=2x+ax-6x-3a+bf

=2^+(a-6)x-3。+/?,

•••对于任意x上述等式成立,

.(Q-6=-1

*'t—3a+b=—12

解得｛;:上

.2X2-X-12

••,

%—3

_(x-3)(2x+a)+b

=x^3'

(x-3)(2x+5)+3

x^3，

=2x+5+刍

2X2—X—12

为整数,分式的值为整数，

3

•・•二为整数,

Ax=4或6或0或2.

总结提升：本题考查了分式的加减法，整式的加减，分式的值，掌握题干中的方法并熟练应用是关键.

类型三通过代数式的恒等变形求代数式的字母的取值范围

典例3(2021•杭州三模)已知2a-3x+l=0,3b-2x-16=0

（I）用含x的代数式分别表示a,b；

（2）当aW4V人时，求x的取值范围.

思路引领：（1）直接利用已知将原式变形求出答案:

（2）利用“W4〈〃得出关于x的不等式求出答案.

解：（1）由2a-3x+l=0,得。=苦匚，

由m-2x76=0,得b=2鸯16；

(2)'：a^4<h,

,3x-lx,2x+16

..a=2<4,b=——>4,

解得：-2<xW3.

总结提升：此题主要考查了不等式的性质，直接将原式变形是解题关键.

变式训练

4.平面直角坐标系中，已知点（a,b）在双曲线y=—（k>0）±,且满足/=2b+m,及=2a+ma'b,

X

求k的取值范围。

答案：0<k<l

类型四通过代数式的恒等变形比较代数式的大小

典例4（2019春•灌云县期末）已知4=“+2,8=“2-3〃+7,C=a1+2a-18,其中a>2.

（1）求证：B-A>0,并指出A与B的大小关系：

（2）指出A与C哪个大？说明理由.

思路引领：（1）根据完全平方公式把原式变形，根据非负数的性质解答；

（2）把C-A的结果进行因式分解，根据有理数的乘法法则解答.

(1)证明：B-A=(J-3a+7)-(。+2)

—a1-3a+7-a-2

=a7-4A〃+5C

=(/-4〃+4)+1

=(a-2)2+l,

•.*(a-2)2》0,

(a-2)2+i2i,

：.B-A>0,

：.B>A；

(2)解：C-A=(/+2〃-18)-(n+2)

=d+2〃-18--2

=a1+a-20

=(a+5)(a-4)

Vd>2,

・,.a+5>0,

当2V〃V4时，〃-4V0,

：.C-A<()9即A",

当a>4时，a-4>0,

：.C-A>0,即AVC

当a=4时，C-A=0,即4=。.

总结提升：本题考查的是配方法的应用、因式分解的应用，掌握完全平方公式、偶次方的非负性是解题

的关键.

针对训练

1.(2021秋•福清市期末)阅读以下材料：

利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式一些问题，如次+2〃-4=/+2a+12一12-4=

(a+1)2-5

22

(a+1)220,：.a+2a-4=(a+1)--5,

因此，代数式J+2a-4有最小值-5.

根据以上材料，解决下列问题：

(1)代数式/-2a+2的最小值为；

(2)试比较/+扶+八与6a-2b的大小关系,并说明理由；

(3)已知：a-b—2,ab+c2,-4c+5=0>求代数式a+b+c的值.

思路引领：(1)将代数式/-2a+2配方可得最值；

(2)作差并配方，可进行大小比较；

(3)变形后得：a=b+2,代入M+c2-4c+5=0中，再利用配方法即可解决问题.

解：(I)a2-2a+2=(ci2-2a+])+1=(a-I)2+l,

,?(a-I)2>0,

(a-1)2+12],

即代数式a2-2a+2的最小值为1；

故答案为：1；

(2)/+/+]]>6。-2b,理由如下:

«2+/72+11-(6a-2b)

=/+/+[[-6a+2b

=(。2-6。+9)+(62+2ZJ+1)+1

=(a-3)2+(6+1)?+l,

；(a-3)22o,31)22o,

：.a2+b2+U>6a-2b；

(3)'：a-b=2,

，a=6+2,

■:ab+c2-4c+5=0,

：.b(b+2)+c2-4c+5=0,

,(万+1)2+(c-2)2=0,

.•.〃+l=0,c-2=0,

:.b=-1,c=2,

.'.a=-1+2=1,

.•.a+b+c=l-1+2=2.

总结提升：本题考查非负数的性质、配方法的应用，解题的关键是熟练掌握配方法，利用配方法可以确

定最值问题，属于中考常考题型.

第二部分专典理优训练

1.(2022秋•遵义月考)设力,〃是方程，+x-2022=0的两个实数根，则〃?2+2"+〃的值为()

A.2020B.2021C.2022D.2023

思路引领：利用一元二次方程根的定义得到，层=-优+2022,则切2+2加+"=〃?+”+2022,再根据根与系数

的关系得到，"+〃=-1,然后利用整体代入的方法计算.

解：：机是方程/+x-2022=0的实数根，

-2022=0,

.•・加2=-m+2022,

・••廿+2m+〃=-加+2022+2团+〃=团+〃+2022,

：，"，n是方程?+%-2022=0的两个实数根，

•\m+n=~1,

.•.，，+2团+〃=-1+2022=2021.

故选：B.

总结提升：本题考查了根与系数的关系：若xi,x2是一元二次方程“/+fec+c=0(a#0)的两根时，xi+m=

bc

——,X\9X2=

CLCl

2.(2021春•鼓楼区校级期中)若直线y=k(x-1)+3经过点(a,b+2)和(a+1,3〃-1),则代数式M

-4kb+4b2的值为.

思路引领：由直线y=A(x-1)+3经过点(a,6+2)和(a+1,36-1),利用一次函数图象上点的坐标

特征可得出％=26-3,进而可得出2匕-%=3,再将其代入必-4妨+4射=(23-%)2中即可求出结论.

解：,直线y=Z(jt-1)+3经过点(a,b+2)和(a+1,3fe-1),

.(k(a—l)+3=b+2

(fc(Q+1-1)+3=3b-11

:・k=2b-3,

：.2b-k=3f

：・必-434层=(2b-k)2=32=9.

故答案为：9.

总结提升：本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及完全平方公式，牢记直线上任意一点的坐标都

满足函数关系式y=kx+b是解题的关键.

3.(2022春•定远县期中)已知"=1,因为(〃+b)2=a2+2ah+h2=a2+b2+2@

(a-b)2=a2-2ab+b2=a2+b2-2(5)

所以由①得。2+庐=(。+。)2-2.由②得。2+从=2+2.

试根据上面公式的变形解答下列问题：

(1)已知〃-/?=2,ah={,则下列等式成立的是.

①.2+32=6;

②〃4+庐=38；

③(。+力)2=8.

(2)已知“+6=2,ab=I.

①求代数式/+廿的值；

②求代数式/+/的值；

③猜想代数式/"+y"(〃为正整数)的值，直接写出答案，不必说明理由.

思路引领：(1)根据完全平方公式分别计算即可；

(2)根据完全平方公式得到①②的值都是2,猜想③的值也是2.

解：(1)①/+//=(a-b)2+2ab=22+2X1=6,故该选项正确；

@a4+b4=(a2+b2)2-2a2/?2=62-2(ab)2=36-2X12=34,故该选项错误；

(3)(a+b)--(a-b)2+4a/>=22+4X1=8»故该选项正确.

故答案为：①③；

(2)①/+必=(a+b)2-2"=22-2Xl=2；

②/+/=(/+>)2_2a2z>2=22-2(而)2=22-2Xl2=2；

③•.•①②的答案都是2,

猜想：a+a=2.

总结提升：本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式的结构特点是解题的关键.

4.(2022•襄城区模拟)已知实数«>b满足3"X32〃=27,求代数式(2a-b)2-3(a-b)(«+/>)+8Cab

-I)的值.

思路引领：根据整式的加减运算以及乘除运算进行化简，然后将〃的值代入原式即可求出答案.

解：V3MX32h=27,

...34+26=33,

**•〃+2。=3,

原式=4c』-4ab+b2-3(a2-/?2)+8ab-8

=4a2-Aab+b2-3a2+3b2+8ab-8

=a2+4ab+4b2-8

=(a+2b)2-8,

当a+2/?=3时，

原式=32-8

=9-8

总结提升：本题考查整式的化简求值，解题的关键是熟练运用整式的加减运算以及乘除运算，本题属于

基础题型.

5.（2021秋•忠县期末）解答下面各题:

（1）当x取何值时，代数式，-4/6有最小值;

a-21

（2）化简：-（a-

a2-la+1

（3）当。为（1）中所求x的值时，算出（2）的结果.

思路引领：（1）仿照阅读材料中的方法把代数式配方后，利用非负数的性质确定出最小值时对应的x的

值;

（2）先计算括号里的，通分后将除法化为乘法，再将分子分母分解因式约分后可得结论;

（3）将。=2代入计算即可.

解：(1)x2-4.r+6=(x-2)2+222；

，当x=2时，/-4x+6有最小值;

a-22a—1)

(2)

a2-l

n—7a2—i2a—1

.+(----------)

Q2-Ia4-1a+i

a—2.a2—1—2a+l

(a-l)(a+l)'a+1

a-2_a+1

(a-l)(a+l)a(a-2)

]

a(a—1)

11

(3)当a=2时,

a(a-l)2

总结提升：此题考查了配方法的应用和分式的混合运算，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式和

分解因式是解本题的关键.

6.（2022秋•北京期末）已知：P=x+2,。=箫.

（1）当x=l时，计算P-Q的值；

（2）当x>0时，判断P与。的大小关系，并说明理由;

（3）设）=%—卷若x、y均为非零整数，求孙的值.

思路引领：（1）将x=l代入计算P-Q的值即可;

(2)先求差，再比较差与0的大小关系.

(3)先表示y,再求x,y的整数值，进而可以解决问题.

/)Kn时

(—

W:XX

PQ-

-X+2

8

3-

——1.

3，

(2)当x>0时，P2Q,理由如下:

•••尸-2=/2_墨

_0+2)2-8工

—x+2

_(%-2)2

一式+2'

Vx>0,

.(x-2)2(%-2)2

>0或=0,

**x+2%+2

.•.当x>0且x#2时，P>Q；当x=2时，P=Q；

(3)告，P=x+2,Q=器,

.4Q

-y=P~12

48x

~x+212(x+2)

_12-2%

—3(x+2)

_-2(x+2)+16

=-3(x+2)-

2.16

一十3(x+2)，

：x、y均为非零整数，

；.x=-3时，y=-6,xy=18；

x=-6时，y=-2,xy=12；

综上所述：冲的值为18或12.

总结提升：本题考查分式运算和比较大小，正确进行分式的加减运算是求解本题的关键.

7.(2022春•西乡塘区校级期末)阅读材料并解决下列问题:

材料1若一元二次方程a/+bx+C=O(4WO)的两根为XI、X2,则Xl+X2=-，X1X2=

71771

材料2已知实数机，〃满足机2-1=0,〃2_〃一]=0,且加力〃，求一+一的值.

mn

解：由题知机，几是方程-1=0的两个不相等的实数根，根据材料1,得加十几=1,-1,

.nmm2+n2(m+ri)2-2mn1+2

—+-=----------=---------------------=-------=-3.

mnmnmn-1

根据上述材料解决下面的问题：

(I)一元二次方程57+10X-1=0的两根为XI,X2f则Xl+A2=-2，X\X2=-F.

(2)已知实数〃2,〃满足3m2-3〃2-1=0,3〃2-3〃-1=0,且〃2¥〃，求m2〃+加，的值.

(3)已知实数P，4满足p2=7p-2,2/=7q-1,且pW%,求p?+4/的值.

思路引领：(1)5f+i0x-I=0中，。=5,b=10,c=-1,则Xl+X2=-'=-2,X1X2=^=

(2)由题意/n,〃可以看作3x2-3x-1=0的两个不等的实数根，由此可得结论；

(3)由题意知p与加即为方程，-7x+2=0的两个不等的实数根，由此可得结论.

解：在中，

(1)57+10x-1=0a=5fb=l。,c=-I,

..b、c1

.•X]+X2=---a-=­2,X]X2=-a=-r5*

故答案为：~2,—春；

(2)V/n,〃满足3加2--1=0,3^2-3n-1=0,m#n,

：.m,〃可以看作3/-3x-1=0的两个不等的实数根，

・.・7%+〃=।1,〃?〃=一可1,

・22/\1.1

..m~n+mn=mn(m+n)=—^xl=—

(3)由题意知p与2q即为方程?-7x+2=0的两个不等的实数根,

:•p+2q=7,2Pq=2,

；.p2+4q2=(p+2q)2-4/?<?=72-2X2=45.

总结提升：本题考查根与系数的关系，解题的关键是掌握根与系数的关系，灵活运用所学知识解决问题.

8.(2022•吴中区模拟)张老师在黑板上书写了一个代数式的正确计算结果，随后用字母A代替了原代数式

的一部分：S-/1)一系=罟・

（1）求代数式A,并将其化筒;

（2）当A=5时，求x的值;

（3）当犬=迷+1时，求A的值.

思路引领：（1）根据被除式=商乂除式，被减式=差+减式，然后根据分式的乘法和加法运算法则进行计

算即可解答;

2%4-1

⑵利用⑴的结论可得肯=5,然后按照解分式方程的步骤进行计算即可解答;

（3）把x的值，代入4=碧＞进行计算即可解答.

解：（1）由题意得: