有理数基本概念

第二章《有理数及其运算》知识点（一）有理数：（1）整数与分数统称 按定义分类：有理数J按符号分类：有理数彳零注：①正数和零统称为 ；②负数和零统称为 ；正整数和零统称为 ;④负整数和零统称为 .注意:_都大于零,都小于零“丁即不是，也不是.（3）用正数、负数表示相反意义的量：如果用正数表示某种意义的量，那么负数表示其 意义的量，如果负数表示某种意义的量,则正数表示其 意义的量.如：若-5米表示向东走5米，则+3米表示向 走3米；若+6米表示上升6米，则-2米表示 ；（二）数轴⑴概念：规定了 、 和 的直线。注：① 、 、 称为数轴的三要素，三者缺一不可.（2）数轴的画法及常见错误分析：画一条水平的 ；在这条直线上适当位置取一实心点作为 :确定向右的方向为 ，用 表示；有理数与数轴的关系一切有理数都可以用数轴上的 表示出来■在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数 ，正数都大于 ，负数都小于 ，正数大于一切负数.注意：数轴上的点不都是有理数，如“.相反数相反数：只有 的两个数互称为相反数■特别地，0的相反数是 ;若a与b互为相反数，则a+b=___,反之亦然.相反数的性质：代数意义：只有 的两个数叫做互为相反数，特别地，O的相反数是0•相反数必须 出现，不能单独存在.例如：+5和互为相反数，或者说+5是的相反数，一5是的相反数，而单独的一个数不能说是 ■另外，定义中的“只有”指除 以外，两个数 ，注意应与“只要符号不同”区分开•例如+3与一3互为相反数，而+3与一2虽然 ……不同，但它们不是相反数.几何意义：一对相反数在数轴上应分别位于 两侧，并且到原点的 相等•这两点是关于 对称的.求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“ ”号即可.一般地，数a的相反数是 ;这里以a表示任意一个数，可以为 、、负数，也可以是任意一个代数式.注意一a不一定是■注意：当a>0时,—a0(正数的相反数是数)；当a=0时，一a0(0的相反数是当aV0时，-a0(负数的相反数是)・

互为相反数的两个数的和为 ，即若a与b互为 ,则a+b=0,反之，若a+b=O,则a与b互为 ・多重符号的化简：一个正数前面不管有多少个“+”号，都可以全部 ;一个正数前面有 个“一”号，也可以把“一”号全部去掉；一个正数前面有 个“一”号，则化简后只保留一个“一”号，即' 负 正”(其中“奇偶”是指正数前面TOC\o"1-5"\h\z的" ”号的个数的 “负正”是指化简的最后结果的 .绝对值绝对值的代数意义及几何意义绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是 ;一个负数的绝对值是它的 ;0的绝对值是 .绝对值的几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的与 的距离■数a的绝对值记作 .注意：取绝对值也是一种 ，这个 符号是“ ”，求一个数的绝对值，就是根据性质 绝对值符号.绝对值具有 性，取绝对值的结果总是 .任何一个有理数都是由 部分组成： 和它的 ，如：一5,符号是 ，绝对值是 .字母a的绝对值的分类,(a-0)或,(a-0)或a=<,(a<0)或,(a>0),(a<0)< ,(a=0)或网=< ,(a<0)利用绝对值比较两个负有理数的大小规则：两个负数，绝对值大的反而 步骤：①计算两个负数的 .

比较这两个 的大小.写出正确的判断结果.如果几个非负数的和为0那么这几个非负数都必为 例如：若a+b+c=°，贝临—，b—，c— 知识点二：有理数运算（一）有理数比较大小两数同』同正:同负:两数同』同正:同负:大的数大大的反而小1、1、比较大小两数异号（一正一负）— 其中有时〔负数与0―小于0TOC\o"1-5"\h\z［负数与0： 、于）2、数形结合利用数轴比较有理数大小。（二）有理数的加减法（1） 有理数加法法则同号两数相加，取相同的 ，并把绝对值 .绝对值不相等的异号两数相加，取 的加数的符号，并用较大的 减去较小的 .一个数同0相加，仍得 .（2） 有理数加法的运算步骤法则是运算的依据，根据有理数加法的运算法则，可以得到加法的运算步骤：确定和的 ；求和的绝对值，即确定是两个加数的绝对值的 .（3） 有理数加法的运算律：两个加数相加，交换加数的位置， 不变•即a+b=b+a（加法 律）三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，不变.即（a+b）+c=a+（b+c）（加法 律）（4） 有理数加法的运算技巧分数与小数均有时，应先化为 形式.带分数可分为 与 两部分参与运算.多个加数相加时，若有互为相反数的两个数，可先结合得 若有可以凑整的数，即相加得整数时，可先结合 .若有同分母的分数或易通分的分数，应先结合在一起. 相同的数可以先结合在一起.（5） 有理数减法法则：减去一个数，等于 ，即a-b=a+（ ）（6） 有理数减法的运算步骤把减号变为加号（改变运算符号）把减数变为它的相反数（改变性质符号）把减法转化为加法，按照加法运算的步骤进行运算.（7） 有理数加减混合运算的步骤把算式中的减法转化为加法； ②省略加号与括号；利用运算律及技巧简便计算，求出结果.注意：根据有理数减法法则，减去一个数等于加上 ，因此加减混合运算可以依据上述法则转变为只有 的运算，即变为求几个正数，负数和0的和，这个和称为代数和■为了书写简便，可以把加号与每个加数外的括号均省略，写成省略加号和的形式，有理数的乘除法有理数乘法法则两数相乘，同号得 ,异号得 ,并把 相乘.任何数同 相乘，都得0.有理数乘法的运算律两个数相乘，交换因数的位置，积相等■即ab= (乘法结合律)三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等.即abc= (乘法结合律)一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加.即a(b+c)= (乘法分配律)有理数乘法法则的推广几个不等于0的数相乘，积的符号由 的个数决定，当 的个数是偶数时，积为 ； 的个数是奇数时，积为 .几个数相乘，如果有一个因数为0,则积为 .在进行乘法运算时，若有带分数，应先化为 ，便于约分;若有小数及分数，一般先将小数化为 ，或凑整计算；利用乘法分配律及其逆用，也可简化计算.有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的 。即aFb=a• (b¥0)两数相除，同号得 ，异号得 ，并把绝对值 , 除以任何一个不等于0的数，都得0.倒数及有理数除法

①乘积为 的两个数互为倒数。倒数是 出现的，单独一个数不能称为倒数；互为倒数的两个数的乘积一定 ; 没有倒数；求一个非零有理数的倒数，只要把它的分子和分母 即可(正整数可以看作分母为1的分数)。注意：a,b互为倒数，则ab=_；a,b互为负倒数，则ab=_。反之亦然.②有理数除法的运算步骤：首先确定商的 ,有理数的乘方首先确定商的 ,有理数的乘方然后再求出商的绝对值.(1)概念：求n个相同因数的积的运算，叫做结果叫做 ，在an中，a叫做 ，n叫做 (2)含义：an中，a为底数，n为指数，即表示a的个数，an表示有 相乘•例如：35表示3X3X3X3X3,(-3)5表示(-3)X(-3)X(-3)X(-3)X(-3),特别注意负数及分数的乘方，应把底数加上括号.如(-2)7表示 相乘，而-27则TOC\o"1-5"\h\z表示7个2相乘的积的 。当n为奇数时，(-a)n= ;而当n为偶数时，(-a)n= .注意：负数的奇次幂是 ，负数的 幂是正数。正数的任何次幂都是 ,0的任何次幂都是 ，任何不为0的数的0次幂都是 .⑶“奇负偶正”口诀的应用:口诀“奇负偶正”在多处知识点中均提到,具体的应用有如下几点:①多重负号的化简，这里奇偶指的是“一”号的个数，例如：一[一(-3)]= ,-[+(-3)]= .有理数乘法，当多个非零因数相乘时，这里奇偶指的是负因数的个数，正负指结果中积的符号，例如：（一3）X（—2）X（—6）= ，而（一3）X（—2）X6= .有理数乘方，这里奇偶指的是指数，当底数为负数时，指数为奇数，则幂为 ;指数为偶数，则幂为 ，例如：（—3）2= ,（—3）3= .（4）有理数混合运算的运算顺序：①先乘方，再乘除，最后加减；②同级运算，从左到右进行；如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行■加减法为一级运算，乘除法为二级运算，乘方及开方（以后学）称为三级运算•同级运算，按从左到右的顺序进行；不同级运算，应先算 级运算，然后 级，最后 级；如果有括号，先算括号里的，有多重括号时，应先算—括号里的，再算括号里的,最后算 括号里的.以上运算顺序可以简记为“从左到右，从高（级）到低（级）从小（