专题11直角三角形探究

专题11直角三角形探究垂直是常见的两直线的位置关系，常常以直角三角形为载体来编制综合题，作为压轴题出现．一是以直角三角形为背景，结合动点、动线和动面，来探究函数图象问题，探究最值问题，探究开放性问题；二是探究直角三角形，如两线垂直关系、等腰直角三角形等的存在性问题．解题时需要画出各种状态图形，观察分析图形，把复杂的图形分解成两直线垂直的基本图形，利用勾股定理、三角函数等知识，把各相关线段代数化，转化为函数问题、方程问题来解决，分析问题时还需注意对图形的分类，一般以直角顶点来分类．1．在Rt△ABC

中，∠A＝90°，有一个锐角为60°，BC＝6.若点P在直线AC

上(不与点A，C

重合)，且∠ABP＝30°，求CP

的长．解析：根据题意画出图形，分4种情况进行讨论，利用直角三角形的性质解答．解：如图1，当∠C＝60°时，∠ABC＝30°，与∠ABP＝30°矛盾；如图2，当∠C＝60°时，∠ABC＝30°，∵∠ABP＝30°，∴∠CBP＝60°，∴△PBC

是等边三角形，∴CP＝BC＝6；如图3，当∠ABC＝60°时∠C＝30°，∵∠ABP＝30°，∴∠PBC＝60°﹣30°＝30°，∴PC＝PB，∵BC＝6，∴AB＝3，∴PC＝PB＝3cos30°

3

2＝

3

＝2

3；如图4，当∠ABC＝60°时，∠C＝30°，∵∠ABP＝30°，∴∠PBC＝60°＋30°＝90°，∴PC＝BC÷cos30°＝4 3.综上可知，CP

的长为

6

或

2

3或

4

32．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCO

是梯形，其中A(6，0)，B(3，3)，C(1，3)，动点P

从点O

以每秒2

个单位的速度向点A运动，动点Q也同时从点B

沿B→C→O的路线以每秒1个单位的速度向点O运动，当点P到达A

点时，点Q也随之停止，设点P，Q运动的时间为t(秒)．以O，P，Q为顶点的三角形能构成直角三角形吗？若能请求出t

的值；若不能，请说明理由．解：根据题意可知，0≤t≤3.当0≤t≤2时，点Q

在BC

边上运动，此

时

OP

＝

2t

，

OQ

＝ （

3）2＋（3－t）2

，

PQ

＝（

3）2＋[2t－（3－t）]2.过C

作CD⊥OA

于D，∴OD＝1，CD＝

3∴tan∠COP＝CDOD＝

3，∴∠COP＝60°.∵∠POQ＜∠COP＝60°，∴若△OPQ

为直角三角形，只能是∠OPQ＝

90

°或∠OQP

＝

90

°

.若∠OPQ＝90°，则

OP2＋PQ2＝OQ2，即

4t2＋(

3)2＋[2t－(3－t)]2＝(

3)2＋(3－t)2，解得

t＝1

或

t＝0(舍去)．若∠OQP＝90°，则

OQ2＋PQ2＝OP2，即(

3)2＋(3－t)2＋(

3)2＋[2t－(3－t)]2＝4t2，解得

t＝2；当

2＜t≤3时，点Q

在CO

边上运动，此时，OP＝2t＞4，∠POQ＝∠COP＝60°OQ＜OC＝2，∴此时△OPQ

不可能为直角三角形．综上可知，当t＝1按直角顶点分类画出图形，利用直角三角形的勾股定理、三角形相似来解决．3．(2017·预测)抛物线y＝－x2＋4ax＋b(a＞0)与x

轴相交于O，A

两点(其中O

为坐标原点)，过点P(2，2a)作直线PM⊥x

轴于点M，交抛物线于点B，点B

关于抛物线对称轴的对称点为C(其中B，C

不重合)，连结AP

交y

轴于点N，连结BC

和PC.如图a＞1

时，若AP⊥PC，求a

的值．AM

PM解析：利用△PCB∽△APM，得PB

＝CB，列出方程即可解决问题．解：∵AP⊥PC，∴∠APC＝90°，∵∠CPB＋∠APM＝90°，∠APM＋∠PAM＝90°，∴∠CPB＝∠PAM，∵∠PBC＝∠AMP＝90°6a－4

4a－4∴△PCB∽△APM，∴

PB

＝CB，∴

＝AM

PM

4a－2

2a，整理得a2－4a＋2＝0，解得

a＝2±

2，∵a＞1，∴a＝2＋

2234．(2017·预测)如图，抛物线

y＝－1

＋

x＋2

与

x

轴交于点

A，点

B，2x

2与y

轴交于点C，点D

与点C

关于x

轴对称，点P

是x

轴上的一个动点．设点P

的坐标为(m,0)，过点P

作x

轴的垂线l

交抛物线于点Q.求直线BD

的解析式；在点P的运动过程中，是否存在点Q，使△BDQ是以BD为直角边的直角三角形？若存在，求出点Q

的坐标；若不存在，请说明理由．解析：△BDQ

是以BD

为直角边的直角三角形，但不知直角顶点，需要分类讨论：当以点B

为直角顶点时，则有DQ2＝

BQ2＋BD2.当以D点为直角顶点时，则有BQ2＝

DQ2＋BD2.解方程即可得到结果．122

2解：(1)当x＝0

时，y＝－x

＋x3

＋2＝2，∴C(0，2)．当y＝0

时，－x2＋3x＋4＝0，解得x1＝－1，x2＝4.∴A(－1,0)，B(4,0)．∵点D

与点C

关于x

轴对称，∴D(0,－2)．设直线BD

为y＝kx－2，把B(4,0)代入2得0＝4k－2，∴k＝

.21

∴BD

的解析式为

y＝1

－2x1232

2(2)∵P(m,

0)，点

Q

的坐标为(m,

－

m

＋

m

＋2)，BQ2＝(m－4)21

32

2

2

2132

2

2

22

2,

2＋(－m

＋m

＋2)，DQ

＝m

＋[(－m

＋m

＋2)＋2]

BD

＝20.①当以点B

为直角顶点时，则有DQ2＝

BQ2＋BD2.∴m2＋[(21

32

2—

m

＋

m

＋21

32

21

22)＋2]2＝

(m－4)2＋(－m

＋m

＋2)2＋20，解得m

＝3，m

＝4.∴点Q

的坐标为(4,0)(舍去)，(3，2)；②当以D

点为直角顶点时，则有BQ221

31232

2

2

2＝

DQ2＋

BD2.∴(m－4)2＋(

－

m

＋

m

＋2)2＝

m2＋[(－

m

＋

m

＋2)＋2]2＋20，解得m1＝－1，m2＝8.∴点Q

的坐标为(－1,0)，(8，－18)．即所求点Q

的坐标为(3，2)，(－1,0)，(8，－18)(二)动点在抛物线上5．(2017·预测)如图，抛物线L：y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A，B(3，0)两点(A在B的左侧)，与y轴交于点C(0，3)，已知对称轴x＝1.(1)求抛物线L的解析式；(2)设点P是抛物线L上任意一点，点Q在直线l：x＝－3上，△PBQ能否成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若能，求出符合条件的点P的坐标；若不能，请说明理由．当P点在x轴上方和下方时，注意等腰直角三角形的图形特点，利用全等得出线段的等量关系，利用勾股定理转化为方程．解：(1)∵抛物线的对称轴x＝1，B(3，0)，∴A(－1，0)．∵抛物线y＝ax2＋bx＋c

过点C(0，3)，∴当x＝0

时，c＝3.又∵抛物线y＝ax2＋bx＋c

过点A(－1，0)，B(3，0)，∴∴a－b＋3＝0，

a＝－1，9a＋3b＋3＝0，

b＝2，∴抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3(2)设P(m，－m2＋2m＋3)，Q(－3，n)，①当P

点在x

轴上方时，过P

点作PM

垂直于直线l，交直线l

于M

点，过B

点作BN

垂直于MP的延长线于N

点，如图所示：∵B(3，0)，△PBQ

是以点P

为直角顶点的等腰直角三角形，∴∠BPQ＝90°，BP＝PQ，则∠PMQ＝∠BNP＝

90°，∠MPQ＝∠NBP，在△PQM

和△BPN

中，∠PMQ＝∠BNP，∠

MPQ＝∠NBP，PQ＝BP，∴△PQM≌△BPN(AAS)，∴PM＝BN，∵

PM＝BN＝－m2＋2m＋3，根据B

点坐标可得PN＝3－m，且PM＋PN＝6，∴－m2＋2m＋3＋3－m＝6，解得m＝1或m＝0，∴P(1，4)或P(0

3)；②当P

点在x

轴下方时，过P

点作PM

垂直直线l

于M

点，过B

点作BN

垂直于MP

的延长线与N

点，同理可得△PQM≌△BPN，∴PM＝BN，∴PM＝6－(3－m)＝3＋m，BN＝m2－2m－3，则3＋m＝m2－2m－3，解得m＝3＋

33

3－

33或

.∴P(

，3＋

33

－

33－92

2

2

2)或(3－

332，33－92)．综上可得，符合条件的点P

的坐标是(1，4)，(0，3)，(3＋

332，—

33－92)和(3－

332，33－92)6．(2017·预测)如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2＋bx＋c过A，B，C三点，点A的坐标是(3，0)，点C的坐标是(0，－3)，动点P在抛物线上．(1)b

＝

－2

，c

＝

－3 ，点B的坐标为

(－1，0)

；(2)是否存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由；解：(2)存在．第一种情况，当以C为直角顶点时，过点C作CP1⊥AC，交抛物线于点P1.过点P1作y轴的垂线，垂足为M.∵OA＝OC，∠AOC

＝90°，∴∠OCA＝∠OAC＝45°.∵∠ACP1＝90°，∴∠MCP1

＝90°－45°＝45°＝∠C

P1M，∴MC＝MP1.由(1)可得抛物线为y＝x2－2x－3.设P1(m，m2－2m－3)，则m＝－3－(m2－2m－3)，解得m1＝0(舍去)，m2＝1，∴m2－2m－3＝－4.则P1的坐标是(1，－4)；第二种情况，当以A为直角顶点时，过点A作AP2⊥AC，交抛物线于点P2，过点P2作y轴的垂线，垂足是N

，AP2

交y

轴于点F.∴P2N∥x

轴．由∠CAO

＝

45°，∴∠OAP2＝45°，∴∠FP2N＝45°，AO＝OF＝3，∴P2N＝NF.设P2(n，n2－2n－3)，则－n＝(n2－2n－3)－3，解得n1＝3(舍去)，n2＝－2，∴n2－2n－3＝5，则P2的坐标是(－2，5)．综上所述，符合条件的点P的坐标是(1，－4)或(－2，5)(三)动点在圆周上7．在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点分别为O(0，0)，A(5，0)，B(m，2)，C(m－5，2)．是否存在这样的m，使得在边BC上总存在点P，使∠OPA＝90°？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．解析：由题意得到BC＝5，且与x轴平行，使∠OPA＝90°，即求点P在OA为直径的圆周上．解：由题意知BC∥OA.以OA

为直径作⊙D，与直线BC

分别交于点E，F，则∠OEA＝∠OFA＝90°.作DG⊥EF

于G，连DE，则DE＝OD＝2.5，DG＝2，EG＝GF，∴EG＝

DE2－DG2＝1.5，∴点E(1，2)，点F(4m－5≤4，2)．∴当m≥1，

即

1≤m≤9

时，边

BC

上总存在这样的点

P，使∠OPA＝90°8．如图，AB是⊙O的直径，弦BC＝2

cm，∠ABC＝60°.(1)求⊙O的直径；若D是AB延长线上一点，连结CD，当BD长为多少时，CD与⊙O相切；若动点E以2

cm/s的速度从A点出发沿着AB方向运动，同时动点F以1cm/s的速度从B点出发沿BC方向运动，设运动时间为t，连结EF，当t为何值时，△BEF为直角三角形．解：(1)⊙O的直径为4

cm

(2)当BD长为2 cm时，CD与⊙O相切

(3)根据题意得BE＝4－2t，BF＝t.如图①，当EF⊥BC时，△BEF∽△BAC，∴BE∶BA＝BF∶BC，即(4－2t)∶4＝t∶2，解得t＝1；如图②，当EF⊥BA时，△BEF∽△BCA，∴BE∶BC＝BF∶BA，即(4－2t)∶2＝t∶4，解得t＝1.6，∴当t＝1

s或t＝1.6

s时，△BEF为直角三角形(四)动点在双曲线上4

k9．如图①，在▱AOBC

中，sin∠AOB＝5，反比例函数

y＝x(k＞0，x＞0)的图象经过点A，与BC

交于点F.若OA＝10，求反比例函数的解析式；若点F

为BC

的中点，且S△AOF＝12，求OA

的长和点C

的坐标；在(2)的条件下，过点F

作EF∥OB，交OA

于点E(如图②)，点P

为直线EF

上的一个动点，连结PA，PO，是否存在这样的点P，使以P，O，

A

为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出所有点P

的坐标；若不存在，请说明理由．45解：(1)过点A作AH⊥OB于H，∵sin∠AOB＝

，OA＝10，∴AH＝8k6OH＝6,∴A点坐标为(6，8)，根据题意8＝

，可得k＝48，∴反比例函48数的解析式为y＝

x

(x＞0)45(2)设OA＝a(a＞0)，过点F

过FM⊥x

轴于M，∵sin∠AOB＝

，∴AH＝431

4

3

65a，OH＝

a，∴S△AOH＝

· a·

a＝5 2

5

5

252△a

，∵S

＝12,

∴SAOF

▱AOBC＝24，∵F

为BC

的中点，∴S△OBF2＝6

，∵BF＝

a1，∠FBM＝∠AOB同理可得FM52

310121

2

3

32

5

10

502＝

a，BM＝

a，∴S△BMF＝

BM·FM＝

·

a·

a＝

a

，∴S△FOM＝S△OBF＋

S△BMF502＝6＋

a

，3

kx∵点A，F

都在y＝的图象上，∴△AOHS

＝S12△FOM＝

k6252，∴

a

＝35026＋

a

，∴a＝10

103

33，∴OA＝

3，∴AH＝833，OH＝23，∵S▱AOBC＝OB·AH＝24，∴OB＝AC＝3

38∴C(5

3，33)

(3)存在．有三种情况：当∠APO＝90°时，在OA

的两侧各有一点P，分别为P1(8

423

3

33，

3)，P2(－

3，433)；当∠PAO＝390°时，P

(934

443，3

3)；当∠POA＝90°时，P

(—16943，3

3)在动态背景下的直角三角形存在性问题，解题关键是按直角顶点分类，画出各种状态图，转化为方程解决．列方程的方法常常用到勾股定理、三角形相似等．10．(2017·预测)如图，对称轴为直线x＝－1的抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴相交于A，B两点，与y轴的交于C点，其中A点的坐标为(－3，0)．(1)求抛物线的表达式；(2)若将此抛物线向右