函数的单调性与导数

关于函数的单调性与导数第1页，讲稿共18页，2023年5月2日，星期三温故知新第2页，讲稿共18页，2023年5月2日，星期三问题1:导数的几何意义？如果函数在一个点处的导数值大于零，在此点附近，函数图象呈上升状；

函数在一个点处的导数值，就是函数图象以该点为切点的切线的斜率如果函数在一个点处的导数值小于零，在此点附近，函数图象呈下降状.第3页，讲稿共18页，2023年5月2日，星期三x1x2f(x1)f(x2)f(x)在D上是增函数;f(x)在D上是减函数;当x1<x2

f(x1)<f(x2)f(x1)f(x2)x1x2f(x1)>f(x2)<<><设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域内某个区D上的任意两个自变量的值x1,x2,问题2:函数单调性的定义是怎样描述的?abxy=f(x)abxy=f(x)方法:定义法；配方法；图象法等。第4页，讲稿共18页，2023年5月2日，星期三思考:那么判断下列函数的单调性?发现问题:用单调性定义讨论函数单调性虽然可行,但十分麻烦,是否有更为简捷的方法呢?下面我们考察单调性与导数有什么关系:尤其是在不知道函数图象时.(1)f(x)=x3＋3x;(2)f(x)=x2－2x－3;(3)f(x)=sinx－x,x(0,);(4)f(x)=2x3＋3x2－24x＋1方法:定义法；配方法；图象法等。第5页，讲稿共18页，2023年5月2日，星期三高台跳水运动员的高度h随时间t变化的函数

h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10高台跳水运动员的速度v随时间t变化的函数运动员从起跳到最高点,以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别?vtObv(t)=h(t)＝①h(t)↗②h(t)↘①h(t)>0②

h(t)＜0－9.8t＋6.5第6页，讲稿共18页，2023年5月2日，星期三再观察下面一些函数的图象,探讨导函数的正负与其对应函数的单调性的关系:f(x)>0f(x)↗f(x)<0f(x)↘f(x)>0f(x)↗f(x)>0f(x)↗f(x)<0f(x)↘f(x)<0f(x)↘f(x)=1f(x)=2xf(x)=3x2f(x)=(x≠0)第7页，讲稿共18页，2023年5月2日，星期三导数f(x0)表示函数f(x)在点(x0,f(x0))处的切线的斜率f(x0)>0f(x1)<0f(x)在x1附近↘f(x)在x0附近↗O(x0,f(x0))(x1,f(x1))在某个区间(a,b)内,一般地,函数的单调性与其导函数的正负有如下关系:如果f(x)>0函数y=f(x)在这个区间内单调递增;如果f(x)<0函数y=f(x)在这个区间内单调递减;xy如果在某个区间内恒有f(x)=0,那么函数f(x)有什么特性?f(x)=c第8页，讲稿共18页，2023年5月2日，星期三例1.已知导函数f

(x)的下列信息:当1<x<4时,f

(x)>0;当x>4时,或x<1时,f

(x)<0当x=4,或x=1时,f

(x)=0.试画出函数f(x)图象的大致形状解当1<x<4时:f

(x)>0,f(x)在此区间内单调递增;当x>4或x<1时:f

(x)<0,f(x)在这两区间内单调递减;当x=4,或x=1时:f

(x)=0,这两点为“临界点”.第9页，讲稿共18页，2023年5月2日，星期三解:(1)f(x)=3x2+3所以f(x)=x3+3x在xR上单调递增(2)f(x)=2x－2当f(x)>0，例2.判断下列函数的单调性,并求出单调区间:(1)f(x)=x3＋3x;(2)f(x)=x2－2x－3;(3)f(x)=sinx－x,x(0,);(4)f(x)=2x3＋3x2－24x＋1=3(x2+1)>0=2(x－1)即x>1时，f(x)单调递增;当f(x)<0,即x<1时，f(x)单调递减;Oxy所以函数的单调递增区间为单调递减区间为第10页，讲稿共18页，2023年5月2日，星期三(3)f(x)=____________

f(x)在x∈(0,)内单调递减.cosx-1例2.判断下列函数的单调性,并求出单调区间:(1)f(x)=x3＋3x;(2)f(x)=x2－2x－3;(3)f(x)=sinx－x,x(0,);(4)f(x)=2x3＋3x2－24x＋1<0第11页，讲稿共18页，2023年5月2日，星期三例2.判断下列函数的单调性,并求出单调区间:(1)f(x)=x3＋3x;(2)f(x)=x2－2x－3;(3)f(x)=sinx－x,x(0,);(4)f(x)=2x3＋3x2－24x＋1(4)f(x)=______________当f(x)>0,当f(x)<0,6x2+6x-24f(x)单调递增f(x)单调递减即

时，即时，所以函数的单调递增区间为、递减区间为第12页，讲稿共18页，2023年5月2日，星期三

④解不等式f

(x)<0，解集在定义域内的部分为减区间;求函数单调区间的步骤：

①确定函数y=f(x)的定义域;

②求出函数的导数f

(x);

③解不等式f

(x)>0，解集在定义域内的部分为增区间;求函数的单调区间实质就是解导数不等式f

(x)>0或f

(x)<0第13页，讲稿共18页，2023年5月2日，星期三练习判断下列函数的单调性,并求出单调区间（课本P26练习1）(1)单调递增区间为,单调递减区间为(2)单调递增区间为,单调递减区间为(3)单调递增区间为,单调递减区间为(4)单调递增区间为,单调递减区间为第14页，讲稿共18页，2023年5月2日，星期三例3.

如图,水以恒速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中,请分别找出与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图象.你能从导数的角度解释增减快慢的情况吗?如果一个函数在某一个范围内导数的绝对值较大,那么函数在这个范围内变化得快,这时,函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下);反之,函数的图象就“平缓”第15页，讲稿共18页，2023年5月2日，星期三abcOxy试画出导函数图像的大致形状。xyOabcy=f(x)y练习第16页，讲稿共18页，2023年5月2日，星期三小结导数f(x)>0导数f(x)<0单调递增

单调递减

1.函数单调性与导数符号的关系