福建省三明市水南中学2021-2022学年高一数学文期末试题含解析

福建省三明市水南中学2021-2022学年高一数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知一个球的直径为，则该球的表面积是A．

B．

C．

D．参考答案：D2.把一根长度为6的铁丝截成任意长度的3段，则这三段能构成三角形的概率为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：D3.已知方程，其中、、是非零向量，且、不共线，则该方程（

）A.至多有一个解

B.至少有一个解

C.至多有两个解

D.可能有无数个解参考答案：A4.直线3x+2y-3=0与6x+my+1=0互相平行，则m的值为（

）。

A

-9

B

3

C

4

D

-4参考答案：C略5.函数的零点个数为（

）A．0

B．1

C.2

D．3参考答案：C为偶函数零点个数为

6.如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中与的位置关系为（

）A、相交

B、平行

C、异面而且垂直

D、异面但不垂直参考答案：D略7.设全集U=R，集合M={x|y=}，N={y|y=3﹣2x}，则图中阴影部分表示的集合是（） A．{x|＜x≤3} B．{x|＜x＜3} C．{x|≤x＜2} D．{x|＜x＜2}参考答案：B【考点】Venn图表达集合的关系及运算． 【专题】计算题． 【分析】首先化简集合A和B，然后根据Venn图求出结果． 【解答】解：∵M={x|y=}={x|x≤} N={y|y=3﹣2x}={y|y＜3} 图中的阴影部分表示集合N去掉集合M ∴图中阴影部分表示的集合{x|＜x＜3} 故选：B． 【点评】本题考查了求Venn图表示得集合，关键是根据图形会判断出阴影部分表示的集合元素特征，再通过集合运算求出． 8.已知数列{an}满足，则（

）A. B.C. D.参考答案：C【分析】由可知，再根据这个不等关系判断选项正误【详解】由题得，则有，，故选C。【点睛】本题考查数列的递推关系，用到了放缩的方法，属于难题。9.已知直线l过圆x2+（y﹣3）2=4的圆心，且与直线x+y+1=0垂直，则l的方程是（）A．x+y﹣2=0 B．x﹣y+2=0 C．x+y﹣3=0 D．x﹣y+3=0参考答案：D【考点】直线与圆的位置关系．【分析】由题意可得所求直线l经过点（0，3），斜率为1，再利用点斜式求直线l的方程．【解答】解：由题意可得所求直线l经过点（0，3），斜率为1，故l的方程是y﹣3=x﹣0，即x﹣y+3=0，故选：D．【点评】本题主要考查用点斜式求直线的方程，两条直线垂直的性质，属于基础题．10.直线与圆交于两点，若，则实数的取值范围是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若向量的模为，则

.参考答案：12.某学校高一第一学期结束后，对学生的兴趣爱好进行了一次调查，发现68％的学生喜欢物理，72％的学生喜欢化学．则该学校同时喜欢物理、化学两门学科的学生的比例至少是

．40%参考答案：40%13.在锐角中，则的值等于

，的取值范围为

.

参考答案：2，14.将关于x的方程（）的所有正数解从小到大排列构成数列{an}，其，，构成等比数列，则

．参考答案：方程（）的所有正数解，也就是函数与在第一象限交点的横坐标，由函数图象与性质可知，在第一象限内，最小的对称轴为，周期又，，构成等比数列，解得故答案为

15.已知log54=a，log53=b，用a，b表示log2536=．参考答案：+b考点：对数的运算性质．专题：函数的性质及应用．分析：利用对数的运算性质和运算法则求解．解答：解：∵log54=a，log53=b，∴log2536=log56=log52+log53=+log53=．故答案为：+b．点评：本题考查对数的化简、运算，是基础题，解题时要注意对数的运算性质和运算法则的合理运用．16.已知函数f（x）=，若函数F（x）=f（x）﹣x只有一个零点，则实数m的取值范围是．参考答案：﹣2≤m＜﹣1【考点】函数零点的判定定理．【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】令x2+4x+2=x，可得x=﹣2或﹣1，利用函数F（x）=f（x）﹣x只有一个零点，即可求出实数m的取值范围．【解答】解：由题意，令x2+4x+2=x，∴x2+3x+2=0，可得x=﹣2或﹣1，∵函数F（x）=f（x）﹣x只有一个零点，∴实数m的取值范围是﹣2≤m＜﹣1．故答案为：﹣2≤m＜﹣1．【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，函数的零点，难度中档．17.若，，则tanαtanβ=．参考答案：【考点】GP：两角和与差的余弦函数．【分析】由已知利用两角和与差的余弦函数公式可得cosαcosβ﹣sinαsinβ=，cosαcosβ+sinαsinβ=，联立解得cosαcosβ，sinαsinβ，利用同角三角函数基本关系式即可计算得解．【解答】解：∵，，∴cosαcosβ﹣sinαsinβ=，cosαcosβ+sinαsinβ=，∴联立，解得：cosαcosβ=，sinαsinβ=，∴tanαtanβ==．故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD（Ⅰ）证明：平面PBD⊥平面PAC（Ⅱ）设AP=1，AD=，∠CBA=60°，求A到平面PBC的距离．参考答案：【考点】点、线、面间的距离计算；平面与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）推导出BD⊥AC，BD⊥PA，从而BD⊥平面PAC，由此能证明平面PBD⊥平面PAC．（Ⅱ）由VA﹣PBC=VP﹣ABC，能求出A到平面PBC的距离．【解答】证明：（Ⅰ）∵四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∴BD⊥AC，∵PA⊥平面ABCD，∴BD⊥PA，∵AC∩PA=A，∴BD⊥平面PAC，∵BD?平面PBD，∴平面PBD⊥平面PAC．解：（Ⅱ）∵AP=1，AD=，∠CBA=60°，∴AC=，，∵PC=PB=，∴=，设A到平面PBC的距离为h，∵VA﹣PBC=VP﹣ABC，∴，解得h=．∴A到平面PBC的距离为．19.已知角，且满足条件，，求：（Ⅰ）的值；（Ⅱ）m的值与此时θ的值．参考答案：【考点】GH：同角三角函数基本关系的运用．【分析】（Ⅰ）把要求的式子切化弦可得+，同分可得=sinθ+cosθ，由已知条件得到结果．（Ⅱ）把sinθ+cosθ=

平方可得sinθcosθ

的值，由此求得m的值，根据sinθ和cosθ

一个等于，另一个等于，求出θ的值等．【解答】解：（Ⅰ）=+=﹣==sinθ+cosθ=．（Ⅱ）把sinθ+cosθ=

平方可得1+2sinθcosθ=，∴sinθcosθ=，∴=，∴m=．

此时，sinθ和cosθ

一个等于，另一个等于，故θ的值等于或．20.已知函数（1）若的值域为R，求实数a的取值范围；（2）若，解关于x的不等式.参考答案：（1）当时，的值域为当时，的值域为，的值域为，解得或的取值范围是或................................................4分（2）当时，，即恒成立，................................6分当时，即（ⅰ）当即时，无解：.......................................................8分（ⅱ）当即时，；....................10分（ⅲ）当即时①当时，..................................12分②当时，....................................................14分综上（1）当时，解集为（2）当时，解集为（3）当时，解集为（4）当时，解集为..................................................16分21.(本题满分12分)已知等差数列不是常数列，，成等比数列．（Ⅰ）求数列的通项公式．（Ⅱ）设，是数列的前项，求．参考答案：（Ⅰ）设等差数列的公差是，因数列不是常数列，则，∵等比，∴，又