函数的单调性定义

关于函数的单调性定义第1页，讲稿共21页，2023年5月2日，星期三问题提出德国有一位著名的心理学家艾宾浩斯，对人类的记忆牢固程度进行了有关研究.他经过测试，得到了以下一些数据：时间间隔t刚记忆完毕20分钟后60分钟后8-9小时后1天后2天后6天后一个月后记忆量y(百分比)10058.244.235.833.727.825.421.1以上数据表明，记忆量y是时间间隔t的函数.艾宾浩斯根据这些数据描绘出了著名的“艾宾浩斯遗忘曲线”,如图.123tyo20406080100第2页，讲稿共21页，2023年5月2日，星期三函数的单调性思考1:当时间间隔t逐渐增大你能看出对应的函数值y有什么变化趋势？通过这个试验，你打算以后如何对待刚学过的知识?思考2:“艾宾浩斯遗忘曲线”从左至右是逐渐下降的，对此，我们如何用数学观点进行解释？tyo20406080100123第3页，讲稿共21页，2023年5月2日，星期三画出下列函数的图象，观察其变化规律：

1、从左至右图象上升还是下降____? 2、在区间________上，随着x的增大，f(x)的值随着______．f(x)=x(-∞,+∞)增大上升第4页，讲稿共21页，2023年5月2日，星期三1、在区间____上，f(x)的值随着x的增大而______．2、在区间_____上，f(x)的值随着x的增大而_____．

f(x)=x2(-∞,0](0,+∞)增大减小画出下列函数的图象，观察其变化规律：

图象在y轴左侧”下降“图象在y轴右侧”上升“第5页，讲稿共21页，2023年5月2日，星期三x…-4-3-2-101234…f(x)=x2…16941014916…第6页，讲稿共21页，2023年5月2日，星期三思考：如图为函数f(X)在定义域I内某个区间D上的图象，对于该区间上任意两个自变量x1和x2，当x1<x2时，f(x1)与f(x2)的大小关系如何？思考:我们把具有上述特点的函数称为增函数，那么怎样定义“函数f(x)在区间D上是增函数”？yxox1x2f(x1)f(x2)y=f(x)对于函数定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2，若当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)则称函数f(x)在区间D上是增函数.

第7页，讲稿共21页，2023年5月2日，星期三考察下列两个函数:xyoxoy二者有何共同特征？ f(x)=-xf(x)=x2(x<0)第8页，讲稿共21页，2023年5月2日，星期三思考：如图为函数f(X)在定义域I内某个区间D上的图象，对于该区间上任意两个自变量x1和x2，当x1<x2时，f(x1)与f(x2)的大小关系如何？思考:我们把具有上述特点的函数称为减函数，那么怎样定义“函数f(x)在区间D上是减函数”？对于函数定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2，若当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)则称函数f(x)在区间D上是减函数.

xyox1x2f(x1)f(x2)y=f(x)第9页，讲稿共21页，2023年5月2日，星期三一、函数单调性定义

一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数．

1．增函数第10页，讲稿共21页，2023年5月2日，星期三

一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是减函数．2．减函数

第11页，讲稿共21页，2023年5月2日，星期三

如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间.

二．函数的单调性定义第12页，讲稿共21页，2023年5月2日，星期三（1）对于某函数，若在区间(0，+∞)上，当x＝1时，y＝1；当x＝2时，y＝3

，能否说在该区间上y随x的增大而增大呢?问题：xy21013思考第13页，讲稿共21页，2023年5月2日，星期三（2）若x＝1，2，3，4，时，相应地y＝1，3，4，6，能否说在区间(0，+∞)上，y随x的增大而增大呢？xy10342第14页，讲稿共21页，2023年5月2日，星期三（3）若有n个正数x1<x2<x3<······<xn，它们的函数值满足:y1<y2<y3<······<yn．能否就说在区间(0，+∞)上y随着x的增大，而增大呢？

若x取无数个呢?

xyx10x2x3xny1y2y3yn第15页，讲稿共21页，2023年5月2日，星期三思考:一般地，若函数在区间A、B上是单调函数，那么在区间上是单调函数吗？注意：

1、函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；2、必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1<x2时，总有f(x1)<f(x2)或f(x1)>f(x2)

分别是增函数和减函数.第16页，讲稿共21页，2023年5月2日，星期三yoxoyxyoxyoxyox在增函数在减函数在增函数在减函数在(-∞,+∞)是减函数在(-∞,0)和(0,+∞)是减函数在(-∞,+∞)是增函数在(-∞,0)和(0,+∞)是增函数yox第17页，讲稿共21页，2023年5月2日，星期三例1、下图是定义在区间[-5，5]上的函数y=f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每个区间上，它是增函数还是减函数？解：函数y=f(x)的单调区间有 [-5,-2),[-2,1),[1,3),[3,5]

其中y=f(x)在区间[-5,-2),[1,3)是减函数， 在区间[-2,1),[3,5]上是增函数。第18页，讲稿共21页，2023年5月2日，星期三例2、物理学中的玻意耳定律告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减小时，压强p将增大。试用函数的单调性证明之。证明：根据单调性的定义，设V1，V2是定义域(0，+∞)上的任意两个实数，且V1<V2，则由V1，V2∈

(0，+∞)且V1<V2，得V1V2>0,V2-V1>0又k>0,于是

所以，函数是减函数.也就是说，当体积V减少时，压强p将增大.取值定号变形作差结论第19页，讲稿共21页，2023年5月2日，星期三三．判断函数单调性的方法步骤

1任取x1，x2∈D，且x1<x2；2作差f(x1)－f(x2)；3变形（通常是因式