湖北省荆门市浏河中学2021年高三数学理期末试卷含解析

湖北省荆门市浏河中学2021年高三数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数f（x）=min，其中min（p，q}表示p，q两者中较小的一个，则满足f（x）＜1的x的集合为（）A．（0，） B．（0，）∪（4，+∞） C．（0，2） D．（0，2）∪（16，+∞）参考答案：D【考点】对数值大小的比较．【分析】先根据“设min{p，q}表示p，q两者中的较小的一个”求得函数f（x），再按分段函数用分类讨论解不等式．【解答】解：①当3﹣log2x＜log2x时，即x＞4时f（x）=3﹣log2x，②当3﹣log2x＞log2x时，即x＜4时f（x）=log2x，∴f（x）＜1；当x＞4时，f（x）=3﹣log2x＜1，此时：x＞16；当x＜4时f（x）=log2x＜1，此时：0＜x＜2；综上不等式的解集为：（0，2）∪（16，+∞）．故选：D．2.若变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为（）A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：C【考点】7D：简单线性规划的应用．【分析】先根据约束条件画出可行域，设z=2x+y，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线z=2x+y过可行域内的点B时，从而得到m值即可．【解答】解：作出可行域，作出目标函数线，可得直线与y=x与3x+2y=5的交点为最优解点，∴即为B（1，1），当x=1，y=1时zmax=3．故选C．3.函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期是π，若其图象向右平移个单位后得到的函数为奇函数，则函数f（x）的图象(

) A．关于点对称 B．关于x=对称 C．关于点（，0）对称 D．关于x=对称参考答案：A考点：正弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：由条件利用正弦函数的周期性求得ω，再根据奇偶性求出φ，可得函数的解析式；再根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律、正弦函数的图象的对称性，得出结论．解答： 解：由函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期是π，可得=π，求得ω=2．把f（x）的图象向右平移个单位后得到的图象对应函数为y=sin=sin（2x+φ﹣），再根据得到的函数为奇函数，可得φ﹣=kπ，k∈z，即φ=kπ+，故φ=﹣，f（x）=sin（2x﹣）．令x=，求得f（x）=0，可得函数f（x）的图象关于点对称，故选：A．点评：本题主要考查正弦函数的周期性、奇偶性，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．4.已知是两个不同的平面，是一条直线，给出下列说法：①若，，则；②若，，则；③若，，则；④若，，则.其中说法正确的个数为（

）A．3

B．2

C．1

D．0参考答案：C①若，，则或,不正确；②若，，则或，不正确；③若，，则，正确；④若，，则或或与相交且与不垂直，不正确，故选C.

5.设a=log32，b=log2，c=，则（）A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．a＞c＞b D．c＞a＞b参考答案：D【考点】对数值大小的比较．【分析】利用对数函数的单调性即可得出．【解答】解：∵a=log32∈（0，1），b=log2＜0，c=＞1，则c＞a＞b，故选：D．6.某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是（

）A．

B．

C．

D．

参考答案：B由三视图可知该几何体为三棱锥，三棱锥的高为2，底面三角形的高为3，底面边长为3，所以底面积为，所以该几何体的体积为，选B.7.将函数的图象上向左平移个单位，再向上平移3个单位，得到函数的图象，则解析式为（

）

参考答案：B8.已知复数z满足z+|z|=1+i，则z=A．－i

B．i

C． 1－i

D．1+i参考答案：B9.设集合A={x|2x≤4}，集合B={x|y=lg（x﹣1）}，则A∩B等于（）A．（1，2） B．[1，2] C．[1，2） D．（1，2]参考答案：D【考点】对数函数的定义域；交集及其运算．【分析】解指数不等式求出集合A，求出对数函数的定义域即求出集合B，然后求解它们的交集．【解答】解：A={x|2x≤4}={x|x≤2}，由x﹣1＞0得x＞1∴B={x|y=lg（x﹣1）}={x|x＞1}∴A∩B={x|1＜x≤2}故选D．10.若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．2 B．1 C． D．参考答案：B【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由题意可知图形的形状，求解即可．【解答】解：本题考查立体图形三视图及体积公式如图，该立体图形为直三棱柱所以其体积为．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.观察下列式子：1+＜，1++＜，1+++＜，…据以上式子可以猜想：1++++…+＜．参考答案：1++++…+＜【考点】归纳推理．【分析】由已知中的不等式：我们可以推断出：右边分式的分母与左右最后一项分母的底数相等，分子是分母的2倍减1，即可得答案．【解答】解：由已知中的不等式，我们可以推断出：右边分式的分母与左右最后一项分母的底数相等，分子是分母的2倍减1，∴1++++…+＜．故答案为：1++++…+＜．【点评】归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．12.函数y=sinx﹣cosx﹣sinxcosx的最大值为．参考答案：+【考点】三角函数的最值．

【专题】三角函数的求值．【分析】令sinx﹣cosx=t∈[﹣，]，可得y=（t+1）2﹣1，再利用二次函数的性质求得它的最大值．【解答】解：令sinx﹣cosx=t∈[﹣，]，则t2=1﹣2sinxcosx，函数y=sinx﹣cosx﹣sinxcosx=t﹣=t2+t﹣=（t+1）2﹣1，故当t=时，函数y取得最大值为t=+，故答案为：+．【点评】本题主要考查二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于基础题．13.已知函数若在R上为增函数，则实数的取值范围是

__________．参考答案：略14.已知函数f(x)=，①方程f（x）=﹣x有

个根；②若方程f（x）=ax恰有两个不同实数根，则实数a的取值范围是．参考答案：①1，②

【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；根的存在性及根的个数判断．【分析】①画出函数的图形，即可得到解的个数；②由题意，方程f（x）=ax恰有两个不同实数根，等价于y=f（x）与y=ax有2个交点，又a表示直线y=ax的斜率，求出a的取值范围．【解答】解：①函数，与y=﹣x的图象如图：可知方程f（x）=﹣x有1个根．②函数，∵方程f（x）=ax恰有两个不同实数根，∴y=f（x）与y=ax有2个交点，又∵a表示直线y=ax的斜率，∴y′=，设切点为（x0，y0），k=，∴切线方程为y﹣y0=（x﹣x0），而切线过原点，∴y0=1，x0=e，k=，∴直线l1的斜率为，又∵直线l2与y=x+1平行，∴直线l2的斜率为，∴实数a的取值范围是[，）故答案为：①1，②．15.已知面积和三边满足：，则面积的最大值为________．参考答案：16.函数的图像经过四个象限，则实数a的取值范围是_________.参考答案：【分析】当时显然不成立，当时，分和两种情况讨论原函数的单调性，求出极值，当，只需要极大值大于0，极小值小于0，即可求出的范围，同理当时，也可解出的范围。【详解】，当时，，为单调递增函数，显然不成立，当时，当时，，为单调递增函数，

当，时，单调递减函数由题意得，即解得，又，所以同理当时，解得，所以，17.已知n=（2x+1）dx，数列{}的前n项和为Sn，数列{bn}的通项公式为bn=n﹣35，n∈N*，则bnSn的最小值为．参考答案：﹣25【考点】定积分；数列的求和．【分析】由题意，先由微积分基本定理求出an再根据通项的结构求出数列{}的前n项和为Sn，然后代入求bnSn的最小值即可得到答案【解答】解：an=（2x+1）dx=（x2+x）=n2+n∴==﹣∴数列{}的前n项和为Sn=++…+=1﹣+﹣+…+﹣=1﹣=，bn=n﹣35，n∈N*，则bnSn=×（n﹣35）=n+1+﹣37≥2×6﹣37=﹣25，等号当且仅当n+1=，即n=5时成立，故bnSn的最小值为﹣25．故答案为：﹣25三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设，函数。(Ⅰ)若a＝2，求曲线在点(1，f(1))处的切线方程；(Ⅱ)若函数有两个不同的零点，求a的取值范围。参考答案：19.如图所示，该几何体是由一个直三棱柱和一个四棱锥组合而成，其中，,．（Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）若四棱锥的高2，求二面角的余弦值．

参考答案：（Ⅰ）证明：直三棱柱中，平面，………………2分

所以，又，，………………3分

所以平面．………………4分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知平面，以为原点，，，方向为，，轴建立空间直角坐标系，，则，，，，，，．………………6分

设平面的一个法向量，则取，则，所以．………………8分

设平面的一个法向量，则取，则，，所以．………………10分

所以………………11分

因为二面角的平面角是锐角，所以所求二面角的余弦值为．………………12分

20.为了调查某大学学生在周日上网的时间，随机对名男生和名女生进行了不记名的问卷调查,得到了如下的统计结果：表1：男生上网时间与频数分布表上网时间（分钟）人数525302515表2：女生上网时间与频数分布表上网时间（分钟）人数1020402010

（Ⅰ）若该大学共有女生750人,试估计其中上网时间不少于60分钟的人数；（Ⅱ）完成表3的列联表，并回答能否有90%的把握认为“学生周日上网时间与性别有关”？（Ⅲ）从表3的男生中“上网时间少于60分钟”和“上网时间不少于60分钟”的人数中用分层抽样的方法抽取一个容量为5的样本，再从中任取两人，求至少有一人上网时间超过60分钟的概率.表3：

上网时间少于60分钟上网时间不少于60分钟合计男生

女生

合计

附：，其中0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.0010.4550.7081.3232.0722.7063.845.0246.6357.87910.83参考答案：解:(1)设估计上网时间不少于60分钟的人数,依据题意有,解得:,所以估计其中上网时间不少于60分钟的人数是225人…………4分(2)根据题目所给数据得到如下列联表:

上网时间少于60分钟上网时间不少于60分钟合计男生【6040100女生7030100合计13070200

其中

因此,没有90%的把握认为“学生周日上网时间与性别有关”………………8分(3)因为上网时间少于60分钟与上网时间不少于60分钟的人数之比为,所以5人中上网时间少于60分钟的有3人,记为

上网时间不少于60分钟的有2人,记为从中任取两人的所有基本事件为:(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),共10种,其中“至少有一人上网时间超过60分钟”包含了7种,

…………12分略21.（本小题满分13分）已知等差数列前三项的和为，前三项的积为.（Ⅰ）求等差数列的通项公式；（Ⅱ）若，，成等比数列，求数列的前项和.参考答案：解：（Ⅰ）设等差数列的公差为，则，，由题意得

…2分解得或

…4分

所以由等差数列通项公式可得，或.故，或.

…6分（Ⅱ）当时，，，分别为，，，不成等比数列；…7分当时，，，分别为，，，成等比数列