初中数学函数模块3-1函数基础知识讲义（含答案解析）

函数基础知识题型练

题型一：有序数对的概念

有顺序的两个数a与6组成的数对，叫做有序数对.

①有序数对表示位置

例1.1如图，写出表示下列各点的有序数对：

4,);阳5,2)；

。(，)；。(，)；

£(,);尸(，)；

G(,)；"(,)；

解:/(3,3)；5(5,2)；

C(7,3)；£>(10,3)；

£(10,5)；F(7,7)；

G(5,7)；"(3,6)；

/(4,8).

故答案：3；7,3；10,3；10,5；7,7；5,7；3,6；4,8

变式1.1

工.同学们喜欢看电影，在电影院内，要确定一个座位般需要一个数据，“3排5号”

与“5排3号”的含义一.(填“相同”或“不相同”)如果记“10排20号”为

(10,20),那么(20,10)表示—,“11排9号”可表示为—.

【答案】①.两，②.不相同，③.20排10号,④.(11,9).

【解析】

【分析】在平面直角坐标系中，要用两个数据即一个有序数对才能表示一个点的位

置，在电影院内，相当于在平面直角坐标系内，确定一个座位需要2个数据，一个

用来确定排，一个用来确定号.

【详解】故依据题意又：(1)两，(2).不相同，(3)20排10号，(4)(11,9).

【点睛】本题是数学在生活中应用，平面位置对应平面直角坐标系，可以做到在生

活中理解数学的意义.

②有序数对表示路线

例L2如图，小鱼家在/(10,8)处，小云家在3(4,4)处，从小鱼家到小云家可以按下面的

两条路线走：

路线①：(10,8)->(10,7)->(8,7)T(8,6)T(6,6)-»(6,5)T(4,5)-»(4,4).

路线②：(10,8)f(4,8)-(4,4).

第7排

第5排

第3排

第1排

第1第3第5第7第9

列列列列列

(1)请你在图上画出这两条路线，并比较这两条路线的长短;

(2)请你依照上述方法再写出一条路线.

【详解】

解：(1)路线①②如图所示.根据平移的性质可知它们的长度相等.

(2)(答案不唯一)画出路线③：(10,8)f(10,4)-(4,4),如图所示:

2.如图，小明从家到达学校要穿过一个居民小区，小区的道路均是正南或正东方向，

则小明走下列线路不能到达学校的是()

A.(0,4)-(0,0)f(4,0)

B.(0,4)-(4,4)-*(4,0)

C.(0,4)f(3,4)-(4,2)-(4,0)

D.(0,4)f(1,4)-(1,l)f(4,1)-(4,0)

【答案】C

【解析】

【分析】根据点的坐标的定义结合图形对各选项分析判断即可得解・

【详解】A、(0,4)-(0,0)->(4,0)都能到达，故本选项错误；

B、(0,4)-(4,4)-(4,0)都能到达，故本选项错误；

C、(3,4)-(4,2)不都能到达，故本选项正确；

D、(0,4)—(1,4)-(1,1)—(4,1)—(4,0)都能到达，故本选项错误.

故选C.

【点睛】本题考查了坐标确定位置，熟练掌握点的坐标的定义并准确识图是解题的

关键.

题型二：平面直角坐标系

平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系.水平的数轴称为X轴或横

轴，习惯上取向右为正方向；竖直的数轴称为y轴或纵轴取向上方向为正方向；两坐标轴的

交点为平面直角坐标系的原点.

平面上的任意一点都可以用一个有序数对来表示.

①平面直角坐标系中点的坐标的几何含义（到坐标轴的距离）

例2.1已知点42—。,。+1）到y轴的距离是3,则。的值为（）

A.-1B.2C.-1或5D2或-4

【详解】

解：•.•点4（2-+1）到y轴的距离是3,

.'.2—a=3或2—a——3,

二。=-1或5,

故选：C.

变式2.1

3.已知点P（a+5,a-1）在第四象限，且到x轴的距离为2,则点P的坐标为（）

A.（4,-2）B.（-4,2）C.（-2,4）D.（2,-4）

【答案】A

【解析】

【详解】解：由点P在第四象限，且到x轴的距离为2,则点P的纵坐标为-2,

即a-1=-2解得a=-1

.•.a+5=4则点P的坐标为（4,-2）.

故选A.

【点睛】本题考查点的坐标.

②各象限点的坐标特点

建立了平面直角坐标系以后，坐标平面就被两条坐标轴分为了I、II、III、IV四个部分，分

别叫做第一象限、第二象限、第三象限和第四象限.坐标轴上的点不属于任何象限.其中：

四个象限的符号特点分别是：第一象限（+,+）；第二象限（一，十）；第三象限（一，一）；

第四象限(+,-).

例1.2下列各点在第二象限的是()

4(一百,0)B.(-2,1)C.(0,-1)D.(2,-1)

【详解】

A、(-73,0)在x轴上，故本选项不合题意；

8、(-2,1)在第二象限，故本选项符合题意：

。、(0,-1)在V轴上，故本选项不合题意；

D、(2,-1)在第四象限，故本选项不合题意.

答案：B.

变式1.2

4.如图，小手盖住的点的坐标可能是().

A.(-3,4)；B.(5,2)；C.(-3,-6)；D.(6,-4).

【答案】P

【解析】

【分析】先判断手所在的象限，再判断象限横纵坐标的正负即可.

【详解】因为小手盖住的点在第四象限，第四象限内点的坐标横坐标为正，纵坐标

为负.只有选项D符合题意，

故选D.

【点睛】考查每个象限点的坐标特征，掌握每个象限点的坐标特征是解题的关键.

③已知点所在的象限求参数

例2.3若点尸(机』)在第二象限内，则点0(-加,0)在()

4x轴正半轴上8.x轴负半轴上CV轴正半轴上DV轴负半轴上

【详解】

•.•点2(〃?」)在第二象限，

/.7W<0，则一加>0,

...点。（一”,0）在X轴正半轴上，

故选

变式2.3

5.在平面直角坐标系内，点P（加-3,加-5）在第四象限，则加的取值范围是（）

A.-5<m<3B.-3<m<5C.3<m<5D.-5<〃？<—3

【答案】C

【解析】

【详解】解：点P（加-3,〃，-5）在第四象限，根据第四象限点的坐标特征,

解得：3<m<5

故选C.

④点坐标规律探索

例2.4如图，一个粒子在第一象限内及x轴，y轴上运动，第一分钟内从原点运动到（1,0）,

第二分钟从（1,0）运动到（1,1）,而后它接着按图中箭头所示的与x轴，夕轴平行的方

向来回运动，且每分钟移动1个长度单位.在第2020分钟时，这个粒子所在位置的坐标是

()

A.（4,45）B.（45,4）C.（44,4）D.(4,44)

【详解】

粒子所在位置与运动的时间的情况如下：

位置：（1,1）运动了2=1X2分钟，方向向左，

位置：（2,2）运动了6=2X3分钟，方向向下，

位置：（3,3）运动了12=3X4分钟，方向向左,

位置：(4,4)运动了20=4X5分钟，方向向下;

总结规律发现，设点(〃，〃),

当〃为奇数时，运动了"(n+D分钟，方向向左；

当”为偶数时，运动了〃(»+1)分钟，方向向下；

744X45=1980,45X46=2070

.•.到(44,44)处，粒子运动了44X45=1980分钟，方向向下，

故到2020分钟，须由(44,44)再向下运动2020—1980=40分钟,

44-40=4,至1J达(44,4).

故选：C.

变式2.4

6.如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中方向排列，如(L0),

(2.0),(2,1),(3,2),(3,1),(3,0),……,根据这个规律探索可得，第120个点的

坐标为()

,・(5<)

叶/i

『3)『3)

/1;(32(142)«I(52)

•(Xl)*(3,1)1(4,1)-(5,1)

__,』！」」》

o(L0)(2,0)(3,0)(4,0)(5,0)

A.(16,0)B.(15,14)C.(15,0)D.(14,13)

【答案】C

【解析】

【分析】经过观察每个列的数的个数是有规律的分别有1,2,3,4…，〃个，而且

奇数列点的顺序是由上到下，偶数列点的顺序由下到上，这样就不难找到第120个

点的位置，进而可以写出它的坐标.

【详解】把第一个点(1,0)作为第一列，(21)和(2,0)作为第二列，依此类推，则第

一列有一个数，第二列有2个数，…，第〃列有〃个数.则〃列共有驾D个数，

2

并且在奇数列点的顺序是由上到下，偶数列点的顺序由下到上.

因为120=1+2+3+...+14+15,则第120个数一定在第15歹1J,由上到下是第15个

数.因而第120个点的坐标是(15,0).

答案：C.

【点睛】本题考查了点与坐标的关系，需要细心观察才能找到规律，通过此类题目

的训练可以提高分析问题的能力以及归纳能力，属于常考题型.

题型三：坐标方法的简单应用

例3.1如图，象棋盘上“将”位于点(2,-1),“象”位于点(4,-1),则“炮”位于点()

A.(1,2)B.(2,-1)C.(-1,2)D.(2,1)

【详解】

如图所示：“炮”位于点(—1,2),

例3.2如图所不，三角形/8C三个顶点的坐标分别是/(2,—2),B(1,2),C(-2,

-1).求三角形/8C的面积.

X

【详解】

过点4C分别作平行于y轴的直线，过点48分别作平行于x轴的直线，它们的交点为

D,E,F,得到正方形/OEF,则该正方形的面积为4X4=16

三角形4BD、三角形BCE、三角形NC尸的面积分别是：-xlx4=2,』x3x3=4.5,

22

-xlx4=2.

2

所以三角形/8c的面积为16-2-4.5-2=7.5

变式3.1

7.如图，若点E的坐标为（-1,1）,点F的坐标为（2,-1）,则点G的坐标为

【答案】8

【解析】

【分析】由点E,点F的坐标，先确定坐标轴，然后在确定点G的坐标即可.

【详解】由点E的坐标为（-1,1）,在第二象限，向右移动1个单位即为y轴，向

下移动1个单位为x轴，建立如图直角坐标系，如图所示：点G到x轴距离为2,

贝U|y|=2,到y轴的距离也是2,|x|=2,由点G在第一象限，点G的坐标为（2,2）,

故选择：B.

【点睛】本题考查已知点的位置确定坐标问题，关键是坐标系的建立，利用已知点

平移的办法找坐标轴，掌握点在象限的特征.

变式3.2

8.如图，在平面直角坐标系中，四边形各个顶点的坐标分别为/(-1,3),

3(-3,2),Q-4,0),。(0,0)

(1)求四边形的面积；

(2)如果把四边形N8CO各个顶点的横坐标加2,纵坐标减1,所得四边形的面积

又是多少？试画出四边形.

【解析】

【分析】(1)把四边形/8CO分割为两个三角形和一个直角梯形，然后根据三角形面

积公式和梯形的面积公式进行计算；

(2)由于把四边形各个顶点的横坐标加2,纵坐标减1,则相当于把四边形四

边形工8。向右平移2个单位，再向下平移1个单位，利用平移的性质得到平移后

的四边形的面积不变.

【详解】解：(1)四边形/8CD的面积=ax1x2+5x(2+3)x2+或x1*3=彳；

(2)把四边形ZBCD各个顶点的横坐标加2,纵坐标减1,所得四边形的面积与原四

边形的面积相等,为果

如图，四边形49为所求.

【点睛】此题考查坐标与图形性质、三角形的面积、图形平移的性质，正确掌握坐

标系中图形面积的割补计算法及图形的平移的规律是解题的关键.

题型四：用坐标表示地理位置

利用平面直角坐标系绘制区域内一些地点分布情况平面图的过程如下：

(1)建立坐标系，选择一个适当的参照点为原点，确定x轴、y轴的正方向：

(2)根据具体问题确定适当的比例尺，在坐标轴上标出单位长度：

(3)在坐标平面内画出这些点，写出各点的坐标和各个地点的名称.

①坐标表示位置

例4.1如图是某电视塔周围的建筑群平面示意图，这个电视塔的位置用力表示.某人由点8

出发到电视塔，他的路径表示错误的是(注：街在前，巷在后)()

1街2街3街4街5街6街7街

A.(2,2)-(2,5)-(5,6)B.(2,2)-(2,5)-(6,5)

C.(2,2)-(6,2)-(6,5)D.(2,2)-(2,3)-(6,3)-(6,5)

【详解】

A选项:由图象可知(2,2)-(2,5)-(5,6)不能到达点4正确.

8选项:由图象可知(2,2)―(2,5)f(6,5)能到达点4与题意不符.

C选项：由图象可知(2,2)-(6,2)-(6,5)到达点Z,与题意不符.

。选项:由图象可知(2,2)f(2,3)f(6,3)(6,5)到达点Z正确，与题意不

符.

故选N.

变式4.1

q.如图是丁丁画的一张脸的示意图，如果用（-2,2）表示左眼，用（0,2）表示右眼,

那么嘴的位置可以表示成（）.

A.(1,0)B.(-1,0)C.(-1,1)D,(1,-1)

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意建立平面直角坐标系，由坐标系中点的特征解题即可.

【详解】建立平面直角坐标系，如图，

嘴的坐标为（-1,0）

故选：B.

【点睛】本题考查坐标确定位置，其中涉及建立直角坐标系，各象限点的坐标的特

征等，是常见考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键.

②用方向角和距离确定物体的位置

例4.2一艘海上搜救船借助雷达探测仪寻找到事故船的位置，雷达示意图如图所示，搜救

船位于图中点。处，事故船位于距。点40海里的A处，雷达操作员要用方位角把事故船相

对于搜救船的位置汇报给船长，以便调整航向，下列四种表述方式中正确的为（）.

A.事故船在搜救船的北偏东60°方向B.事故船在搜救船的北偏东30。方向

C.事故船在搜救船的北偏西60°方向D.事故船在搜救船的南偏东30。方向

【详解】

如题图所示，事故船在搜救船的北偏东30°方向.

故选B.

变式4.2

1（9.如图，点5相对于点A的方向是（）.

A.南偏东43°B.北偏西47°C,西偏北47°D,东偏南47°

【答案】8

【解析】

【分析】先根据题意得出N1的角度，再根据方位即可得到答案.

【详解】解：如图所示：在N的正西方于点C.

N

由题意可得，NC48=43。，

所以，Z1=90°-ACAB=90°-43°=47°,

故由点8相对于点A的方向是：北偏西47。，

故选：B.

【点睛】此题主要考查了方向角，根据题意得出N1的度数是解题关键.

题型五：用坐标表示平移

在平面直角坐标系中，将点（x,y）向右（或左）平移。个单位长度，可以得到对应点（x

y）（或（x-a,y））；将点（x,y）向上（或下）平移8个单位长度，可以得到对应点

（x,夕+6）（或（x,y-b）'）.

在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加（或减去）一个正数。，相应的

新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或

减去）一个正数“，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度.

①已知图形的平移求点的坐标

例5.1如图，在平面直角坐标系中，线段N6的两个端点是工（1,3）,5（2,1）.将线段

沿某一方向平移后，若点A的对应点4的坐标为（-2,0）,则点8的对应点8'的坐标为

A.(—3,2)B.(-1,-3)C.(-1,-2)D.(0,-2)

【详解】

•••4(1,3)平移后得到©(-2,0)

横坐标减小3,纵坐标减小3,

.•㈤(2-3,1-3)

即方(一1,—2)

故选：C.

变式5.1

工工.如图所示，41,0)、点B在V轴上，将三角形。48沿x轴负方向平移，平移后

的图形为三角形。EC,且点C的坐标为(。,加，且”"-2+J2-6-3.

(1)直接写出点C的坐标;

(2)直接写出点£的坐标；

【答案】(1)(-3,2)；(2)(-2,0)

【解析】

【分析1(1)根据二次根式的被开方数是非负数求出。、6值，即可得出答案;

(2)根据平移的性质即可得出点£坐标；

【详解】解：⑴•.•a="-2+J2-6-3,

:.b—2,a=-3,

:点C的坐标为(a，b),

二点。的坐标为:(-3,2)；

故答案为:(-3,2)；

(2)•••点8在歹轴上，点C的坐标为：(一3,2),

，8点向左平移了3个单位长度,

•••刈⑼向左平移3个单位得到：（-2,0）

二点E的坐标为：（一2,0）,

故答案为：（-2,0）.

【点睛】本题考查坐标与图形变换-平移、二次根式的性质，熟练掌握图形变换过程

中点的坐标特征是解答的关键.

②已知点平移前后的坐标判断平移方式

例5.2将某个图形的各个顶点的横坐标都减去2,纵坐标保持不变，可将该图形（）

A.向左平移2个单位B.向右平移2个单位

C.向上平移2个单位。.向下平移2个单位

【详解】

由于图形各顶点的横坐标都减去2,

故图形只向左移动2个单位，

故选4

变式5.2

12.在平面直角坐标系中，将某个图象上各点的横坐标都加上3,得到一个新图形,

那么新图形与原图形相比（).

A.向右平移3个单位B.向左平移3个单位

C.向上平移3个单位D.向下平移3个单位

【答案】A

【解析】

【分析】根据把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a,相应的新

图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度可直接得到答案.

【详解】若将原图形上的每个点的横坐标都加上3,纵坐标保持不变，

则所得图形的位置与原图形相比向右平移3个单位，

故选A.

【点睛】此题主要考查了坐标与图形变化-平移，关键是掌握点的坐标的变化规律：

横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减.

题型六：变量与函数的概念

在某个变化过程中，有两个变量X和y,如果给X一个值，N就有唯一确定值与它对应，那

么x是自变量，y叫做x的函数.其中x叫自变量，y叫因变量.在一个变化过程中，发生

变化的量叫变量，有些数值是不随变量而改变的，称它们为常量.

自变量，函数一个与它量有关联的变量，这一量中的任何一值都能在它量中找到对应的固定

值.

因变量，随着自变量的变化而变化，且自变量取唯一值时，因变量有且只有唯一值与其相对

应.

函数定义

解：A,由图像可知，对于x的每一个取值，y不是有唯一确定的值与之对应，曲线不能表

示V是X的函数，符合题意；

B、由图像可知，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，曲线能表示歹是x的

函数，不符合题意；

C、由图像可知，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，曲线能表示V是x的

函数，不符合题意；

D、由图像可知，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，曲线能表示V是x的

函数，不符合题意；

故选：A.

变式6.1

13.如图，有一个球形容器，小海在往容器里注水的过程中发现，水面的高度力、

水面的面积S及注水量%是三个变量.下列有四种说法：①S是修的函数；②k是S

的函数；③〃是S的函数；④S是〃的函数.其中所有正确结论的序号是（）

A.①③B.①④C.②③D.②④

【答案】8

【解析】

【分析】由函数的概念求解即可.

【详解】①：由题意可知，对于注水量%的每一个数值，水面的面积S都有唯一值

与之对应，所以「是自变量，S是因变量，所以S是忆的函数，符合题意；

②：由题意可知，对于水面的面积S的每一个数值，注水量%的值不一定唯一，所

以/不是S的函数，不符合题意；

③：由题意可知，对于水面的面积S的每一个数值，水面的高度力的值不一定唯一,

所以人不是S的函数，不符合题意；

@：由题意可知，对于水面的高度〃的每一个数值，水面的面积S都有唯一值与之

对应，力是自变量，S是因变量，所以S是〃的函数，符合题意；

所以正确的的序号有①④，

故选：B.

【点睛】此题考查了函数的概念，解题的关键是熟记函数的概念.

②求自变量的取值范围，

函数自变量的范围一般从三个方面考虑：

（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；

（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；

(3)当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数.

例6.2函数y=X耳中自变量x的取值范围是()

4X2一38.X2一3且xwlC.xwlDxW—3且

解答：解：•・,Jx+3-0,

・・・x+320,

—3,

Vx-1^0,

.•.xWl,

・・・自变量x的取值范围是：X2一3且xWl

故选二

变式6.2

14.函数y=£^+(x-2)°的自变量尤的取值范围是()

A.x>-lB.x>2C.x>-l且x#2D.X*-1且XH2

【答案】C

【解析】

【分析】根据被开方数大于等于0,分母不为0以及零次基的底数不为0,列式计算

即可得解.

【详解】解：函数y=7三+(x-2)°的自变量X的取值范围是：

x+1>0且x—2工0,

解得：x>-l且XH2,

故选：C.

【点睛】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：

(1)当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；

(2)当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；

(3)当函数表达式是二次根式时，被开方数非负.

③求自变量的值或函数值

例6.3已知函数丁=|x-l|+2.

(1)求自变量等于5时的函数值：

(2)求函数值等于5时的自变量值.

【详解】

解：(1)当x=5时，^=|5-1|+2=4+2=6；

(2)当y=5时，5=|x-l|+2,解得：x=4或-2.

变式6.3

工5.已知变量s与/的关系式是s=3-12,则当，=_2时，s=

【答案】-8

【解析】

【分析】直接把t=-2代入关系式s=3/-:已计算即可.

2

【详解】解：当t=-2时，s=3x(-2)-7-x(-2)2=-6-2=-8,

2

故答案为：-8.

【点睛】此题主要考查了函数值，关键是掌握当已知函数解析式时，求函数值就是

求代数式的值.

题型七：函数的表示方法

①用表格表示变量间的关系，

例7.1下表是某报纸公布的世界人口数据情况：表中的变量()

年份19571974198719992010

人口数30亿40亿50亿60亿70亿

4仅有一个，是时间(年份)8.仅有一个，是人口数

C.有两个，一个是人口数，另一个是时间(年份)。.一个也没有

【详解】

解；观察表格，时间在变，人口在变，故C正确；

故选：C.

变式7.1

16.某汽车生产厂对其生产的A型汽车进行油耗试验，试验中汽车为匀速行驶，在

行驶过程中，油箱的余油量y（升）与行驶时间t（小时）之间的关系如表：

t（小时）0123

y（升）12011210496

由表格中y与t的关系可知，当汽车行驶小时，油箱的余油量为0.

【答案】15

【解析】

【分析】由表格可知油箱中有油120升，每行驶1小时，耗油8升，则可求解.

【详解】解：由表格可知，每行驶1小时，耗油8升，

,.二=0时,y=120,

油箱中有油120升,

.,.120-8=15小时，

...当行驶15小时时，油箱的余油量为0,

故答案为：15.

【点睛】本题考查了变量与常量，注意贮满120L油的汽车，最多行驶的时间就是油

箱中剩余油量为0的时的t的值.

②用关系式表示变量间的关系，

例7.2圆的周长公式是C=2〃r,那么在这个公式中，关于变量和常量的说法正确的是

（）

42是常量，C、兀、厂是变量B.2^贝是常量，C、r是变量

C2是常量，r是变量D2是常量，C、r是变量

【详解】

解：圆的周长计算公式是c=2C和『是变量，2、兀是常量，

故选：B.

变式7.2

工7.一名老师带领x名学生到动物园参观，已知成人票每张30元，学生票每张10

元，设门票的总费用为y元，则y与x的关系式为（）.

A.y=10x+30B.y=40xC.y-10x-30D,y=20x

【答案】A

【解析】

【分析】根据总费用=1名老师的门票费用+x名学生的门票费用解答即可.

【详解】解：根据题意，得：y=10x+30.

故选：A.

【点睛】本题考查了利用关系式表示变量之间的关系，找准题中的等量关系：总费

用=老师票价+学生票价是解题关键.

③用图象表示变量间的关系.

例7.3为积极响应党和国家精准扶贫的号召，某扶贫工作队步行前往扶贫点开展入户调

查.队员们先匀速步行一段时间，途中休息几分钟后加快了步行速度，最终按原计划时间到

达目的地.设行进时间为/（单位：min）,行进的路程为s（单位：m）,则能近似刻画s与

f之间的函数关系的大致图象是（）

【详解】

解：根据题意得，队员的行进路程s（单位：m）与行进时间，（单位：min）之间函数关系

的大致图象是

5*0

故选：A

变式7.3

18.今年“五一”节，小明外出爬山，他从山脚爬到山顶的过程中，中途休息了一

段时间，设他从山脚出发后所用时间为〃分钟），所走路程为s（米），s与，之间的

函数关系如图所示，则下列说法中，错误的是（）

A.小明中途休息用了20分钟

B.小明在上述过程中所走路程为7200米

C.小明休息前爬山的速度为每分钟60米

D.小明休息前后爬山的平均速度相等

【答案】B

【解析】

【分析】根据函数图象可知，小明40分钟爬山2400米，40〜60分钟休息，60-100

分钟爬山（4800-2400）米，爬山的总路程为4800米，根据路程、速度、时间之间

的关系进行解答即可.

【详解】A、小明中途休息的时间是：60-40=20分钟，故本选项正确；

B、小明在上述过程中所走路程为4800米，故本选项错误；

C、小明休息前爬山的速度为粤=60（米/分钟），故本选项正确；

D、因为小明休息后爬山的速度是塔2^=60（米/分钟），所以小明休息前后爬

100—60

山的平均速度相等，故本选项正确；

故选B.

【点睛】本题考查了函数图象，读懂函数图象，从图象中获取必要的信息是解决本

题的关键.

题型八：函数的图象

①函数图象识别

例8.1一支蜡烛长20厘米，点燃后每小时燃烧5厘米，燃烧时剩下的高度〃（厘米）与燃

烧时间f（时）的函数关系的图象是（）

解：设蜡烛点燃后剩下/?厘米时，燃烧了f小时，

则人与f的关系是为〃=20—5/,由关系是不难发现，f越大，〃越小，

符合此条件的只有D

故选：D.

变式8.1

13六月P市连降大雨，某部队前往救援，乘车行进一段路程之后，由于道路受阻,

汽车无法通行，部队短暂休整后决定步行前往，则能反映部队离开驻地的距离S（千

米）与时间t（小时）之间的函数关系的大致图像是（）

【答案】A

【解析】

【分析】根据题意，结合图象分析问题.

【详解】由题意知I,这个过程应分为三部分：①从驻地出发乘汽车走的一段距离,

②部队休整了一段时间，

③部队步行的距离；

首先可排除的是D选项；由于部队是从驻地出发，那么S的初始值应该是0,可以

排除B选项；

由常识知汽车的速度要大于步行的速度，故①的倾斜度要大于③的倾斜度，所以C

选项可以排除；

故选A.

【点睛】考点：函数的图象.

②从函数的图象获取信息

例8.2某通讯公司推出三种上网月收费方式.这三种收费方式每月所收的费用y（元）与上

网时间x（小时）的函数关系如图所示，则下列判断错误的是（）

4每月上网不足25小时，选择Z方式最省钱

艮每月上网时间为30小时，选择8方式最省钱

C.每月上网费用为60元，选择8方式比/方式时间长

D每月上网时间超过70小时，选择C方式最省钱

【详解】

解：由题意可知：

/、每月上网不足25小时，选择力方式最省钱，故本选项不合题意；

B、每月上网时间为30小时，选择工方式的费用为：30+5X[（120-30）+（50-25）]

=48（元），8方式为50元，C方式为120元，所以选择4方式最省钱，故本选项符合题意;

C、每月上网费用为60元，选择8方式比4方式时间长，故本选项不合题意；

D、每月上网时间超过70小时，选择C方式最省钱，故本选项不合题意；

故选：B.

变式8.2

2。如图是某人骑自行车出行的图象，从图象中可以得到的信息是（)

A.从起点到终点共用了50机，〃B.20~30加〃时速度为0

C.前20min速度为4km/hD.40min与5Qmin时速度是不相同的

【答案】8

【解析】

【分析】分别根据函数图象的实际意义可依次判断各个选项是否正确.

【详解】A、从起点到终点共用了60加加，故本选项错误；

B、20〜30加"时速度为0,故本选项正确；

C、前20min的速度是5km/h,故本选项错误；

D、40"〃力与50min时速度是相同的，故本选项错误.

故选：B.

【点睛】本题考查了函数图象的读图能力.要理解函数图象所代表的实际意义是什

么才能从中获取准确的信息.

③用描点法画函数图象

描点法画函数图像的步骤：1.列表2.描点3.连线

指出以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象.

r

"rrrTTtnnT

-rrTT-inn-t-r

-rrv«

・卜♦♦♦■TTT+

■“♦uv-

-LI；J4

•C』」」」」一

_」」1B_1，111

oI2J4$

【详解】

如图:

变式8.3

21.已知一根长为20m的铁丝围成一个长方形，若宽为X,长为九

（1）写出n关于x的函数解析式；

（2）画出所对应的函数图象.

【答案】（1）V=10-x,（2）画图见解析

【解析】

【分析】（1）利用长方形的周长公式可直接列出函数关系式；

（2）先求解自变量x的取值范围，再利用描点法画函数图象即可得到答案.

【详解】解：（1）由题意得：2（x+y）=20,

y=10-x,

(2)vy=10-x,

\x>0,且10-x>0,

解得：0VXV10,

列表：

X010

y=10-x100

【点睛】本题考查的是列一次函数关系式，利用描点法画一次函数的图象，求解自

变量的取值范围是易错点.

④动点问题的函数

例8.4如图，矩形488中，AB=\,8c=2,点P从点8出发，沿8-C-。向终点。匀

速运动，设点尸走过的路程为x,的面积为S,能正确反映S与x之间函数关系的图

象是（）

【详解】

解：由题意知，点P从点8出发，沿8-C-O向终点。匀速运动，则

当0<xW2,s=—x,

2

当2vxW3,s=1,

由以上分析可知，这个分段函数的图象开始是直线一部分，最后为水平直线的一部分.

故选：C.

变式8.4

22.如图，在矩形N8CD中，AB=\,BC=2,动点P从点C出发，沿路线C—。一工

作匀速运动，那么aBC尸的面积S与点P运动的路程x之间的函数图象大致是()

【答案】B

【解析】

【分析】根据点P在线段CD、线段DA两种情况确定S关于P的变化规律，确定

出当点P与点D重合时，S的值即可判断.

【详解】解：当点P在线段CD上运动时，4BCP的面积S随x的增大而增大，

当点P与点D重合时，SABCP=-XBCXCD=-x2x1=1,

22

当点P在线段DA上运动时，4BCP的面积S不随x的变化而变化，

所以符合题意的是B,

故选B.

【点睛】本题主要考查动点问题的函数图象和矩形的性质，能根据点P的不同位置

确定出变化趋势，且求出特殊点的值是解决此类问题的关键.

实战练：

23.已知有序数对(2xT,5-3y)表示出的点为(5,2),则x=,y=

【答案】①.3,②.1

【解析】

【分析】根据有序数对表示的点的意义，可得关于X、夕的方程，解方程可得答案.

【详解】解：由2x-l=5,得x=3；由5-3尸2,得产1.

【点睛】本题考查了有序实数对的意义，利用有序数对表示的点的意义列出关于X、

y的方程是解题关键.

24.已知点A在x轴上方，y轴左侧，到x轴的距离是3,到y轴的距离是4,那

么点A的坐标是.

【答案】（一4,3）.

【解析】

【分析】到x轴的距离表示点的纵坐标的绝对值；到y轴的距离表示点的横坐标的

绝对值.

【详解】解：根据题意可得点在第二象限，第二象限中的点横坐标为负数，纵坐标

为正数.

所以点A的坐标为（一4,3）

故答案为：（一4,3）.

【点睛】本题考查点的坐标，利用数形结合思想解题是关键.

2S.平面直角坐标系中，已知点A的坐标为（〃?，3）.若将点A光向下平移2个单位,

再向左平移1个单位后得到点8（1，〃），则〃?+〃=

【答案】3

【解析】

【分析】先写出点A向下平移2个单位后的坐标，再写出向左平移1个单位后的坐

标.即可求出〃?、n,最后代入〃?+“即可.

【详解】点A向下平移2个单位后的坐标为（阳，3-2）,即（加,1）.再向左平移1个单

位后的坐标为（〃?-U）.

m+n=2+1=3.

故答案为：3.

【点睛】本题考查坐标的平移变换以及代数式求值.根据坐标的平移变换求出〃7、〃

的值是解答本题的关键.

26.将点P（加-1,2加+4）向上平移2个单位后落在x轴上，则加=—.

【答案】-3

【解析】

【分析】点坐标向上平移2个单位，就是纵坐标加上2,落在x轴上，就是纵坐标

为0,求出m的值.

【详解】解：点m+4）向上平移2个单位得尸'（掰-1,2机+6）,

•••平移后落在x轴上，

2/»+6=0,解得m——3.

故答案是：-3.

【点睛】本题考查点坐标的平移，解题的关键是掌握点坐标平移的方法.

27.点A（n+2,1-n）不可能在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】C

【解析】

【分析】确定出n+2为负数时，1-n一定是正数，再根据各象限内点的坐标特征解

答.

【详解】解：当n+2<0时，n<-2,所以，l-n>0,即点A的横坐标是负数时，

纵坐标一定是正数，所以，点A不可能在第三象限，有可能在第二象限；

当n+2>0时，n>-2,所以，1-n有可能大于0也有可能小于0,即点A的横坐

标是正数时，纵坐标是正数或负数，所以，点A可能在第一象限，也可能在第四象

限：

综上所述：点A不可能在第三象限.

故选：C.

【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号

是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+,+）;第二象限（-,+）;

第三象限（-,-）；第四象限（+,-）.

2

28.已知函数^=-自变量x的取值范围是()

x+2

A.xW2B.xW-2C.x>-2D.x>2

【答案】8

【解析】

【分析】根据分母不为零函数有意义，可得答案.

【详解】解：由题意，得

x+2和，

解得H-2.

故选：B.

【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，利用分母不为零得出不等式x+2邦是

解题关键.

2

2Q.函数~~八自变量x的值可以是()

x(x+l)(x-2)

A.-1B.0C.1D.2

【答案】C

【解析】

【分析】根据分母不能等于零，可得答案.

【详解】解:由题意，

xY0

得卜+1H0,

x—2H0

XHO

解得1,

xw2

故选C.

【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，利用分母不能等于零得出不等式是解

题关键.

5(9.点P的坐标是(2-a,3a+6),且点P到两坐标轴的距离相等，则点尸坐标是()

A.(3,3)B.(3,-3)C.(6,-6)D.(3,3)或(6,-6)

【答案】P

【解析】

【分析】由点P到两坐标轴的距离相等，建立绝对值方程|2-。|=|3。+6],再解方程

即可得到答案.

【详解】解：•••点P到两坐标轴的距离相等，

|2-4=|3<?+6|,

2—a=3a+6或2—a+3a+6=0,

当2-a=3a+6H、j,-4a-4,

a=-1,

；.尸(3,3),

当2-。+3a+6=0时,

a=-4,

・••尸(6,-6),

综上：P的坐标为：尸(3,3)或P(6,—6).

故选D.

【点睛】本题考查的是平面直角坐标系内点的坐标特点，点到坐标轴的距离与坐标

的关系，一元一次方程的解法，掌握以上知识是解题的关键.

31.已知函数关系式y=-2x+3,当自变量x增加1时-，函数值()

A.增加1B.减少1C.增加2D.减少2

【答案】P

【解析】

【分析】本题中可令x分别等于a,a+1；求出相应的函数值，再求差即可解决问题.

【详解】令x=a,则y=-2a+3；令*=2+1,则y=-2(a+1)+3=-2a+l所以y减少2：

故选D.

【点睛】本题只需进行简单的推理即可解决问题.

32.矩形的周长为18cm,则它的面积S(cm2)与它的一边长x(cm)之间的函

数关系式是()

A.S=x(9-x)(0<x<9)B.S=x(9+x)(0<xW9)

C.S=x(18-x)(0<xsJ9)D.S=x(l8+x)(0<x<9)

【答案】A

【解析】

【分析】易得矩形另一边长为周长的一半减去已知边长，那么矩形的面积等于相邻

两边长的积.

【详解】由题意得：矩形的另一边长为上等=9-x,

2

所以S=x(9-x)(0<x<9).

故选A.

【点睛】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式；掌握矩形的边长与所给

周长与另一边长的关系是解决本题的突破点.

33.如图，动点P从点Z出发，按顺时针方向绕半圆。匀速运动到点8,再以相同

的速度沿直径BA回到点/停止，线段OP的长度d与运动时间t的函数图象大致是

()

d

A./~\

0

d

C.-----X/

0

【答案】8

【解析】

【分析】根据P点半圆O、线段OB、线段0A这三段运动的情况分析即可.

【详解】解：①当尸点半圆。匀速运动时，。尸长度始终等于半径不变，对应的函

数图象是平行于横轴的一段线段，排除4答案；

②当P点在。8段运动时，0P长度越来越小，当P点与。点重合时。P=0,排

除C答案；

③当。点在04段运动时，。。长度越来越大，5答案符合.

故选艮

【点睛】木题主要考查动点问题的函数图象，熟练掌握是解题的关键.

54.象棋在中国有着三千多年的历史，由于用具简单，趣味性强，成为流行极为广

泛的益智游戏.如图，是一局象棋残局，已知表示棋子“隼”的点的坐标为棋

子“炮”的点的坐标为（L3）,则表示棋子“焉”的点的坐标为（）

A.（-4,3）B.（3,4）

C.（-3,4）D.（4,3）

【答案】P

【解析】

【分析】直接利用已知点的坐标确定原点的位置，进而得出棋子，焉”的点的坐标.

由题意可得，“帅”的位置为原点位置,

则棋子“焉”的点的坐标