山西省太原市第四十三中学2021-2022学年高三数学理期末试题含解析

山西省太原市第四十三中学2021-2022学年高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.

为了解某商品销售量y（件）与销售价格x（元/件）的关系，统计了（ｘ，ｙ）的10组值，并画成散点图如图１，则其回归方程可能是A.

B.

C.

D.

图1

参考答案：B略2.已知等比数列的公比，则下面说法中不正确的是（

）A．是等比数列

B．对于，，C．对于，都有

D．若，则对于任意，都有参考答案：D3.下列函数中，在其定义域内既是偶函数又在上单调递增的函数是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：C4.已知函数在[－2,2]上的最大值为5，则实数a的取值范围是（

）A．[－2ln2,+∞)

B．[0,ln2]

C.(－∞,0]

D．[－ln2,+∞)参考答案：D时，，，或，，当时，，，时，，符合题意；时，，因此在上是增函数，，符合题意；时，，在上是减函数，，所以，，综上有，故选D.

5.把5张分别写有数字1，2，3，4，5的卡片混合，再将其任意排成一行，则得到的数能被2或5整除的概率是（）A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8参考答案：C考点：古典概型及其概率计算公式．专题：对应思想；分析法；概率与统计．分析：能被2或5整除的数字，个位数必须是2或4或5，只需考虑个位数字即可．解答：解：将5个数字任意排成一行，个位数字共有1，2，3，4，5五种情况，而能被2或5整除的数字个位数共有2，4，5三种情况，∴P==0.6．故选：C．点评：本题考查了排列组合在概率中的应用，属于基础题6.已知x∈（﹣，0），cosx=，则tan2x=(

) A． B． C． D．参考答案：D考点：二倍角的正切．专题：计算题．分析：由cosx的值及x的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出sinx的值，进而求出tanx的值，然后把所求的式子利用二倍角的正切函数公式变形后，将tanx的值代入即可求出值．解答： 解：由cosx=，x∈（﹣，0），得到sinx=﹣，所以tanx=﹣，则tan2x===﹣．故选D点评：此题考查了同角三角函数间的基本关系，以及二倍角的正切函数公式．学生求sinx和tanx时注意利用x的范围判定其符合．7.函数的图像恒过定点，若点在直线上，则的最小值为(

)A．

B．

C．

D．参考答案：B8.对于事件A，P（A）表示事件A发生的概率。则下列命题正确的是A

如果，那么事件A、B互斥B

如果，那么事件A、B对立C

是事件A、B对立的充要条件D

事件A、B互斥是的充分不必要条件参考答案：D9.若单位向量a，b满足，则a与a-b的夹角大小为

A．

B．

C．

D．参考答案：A10.下列命题中，真命题的个数有（

）．①②的充分条件是③函数是单调递增函数；④和互为反函数．

A．0个B．1个C．2个D．3个参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.记Sn为数列{an}的前n项和，若，则_____________．参考答案：－63【分析】首先根据题中所给的，类比着写出，两式相减，整理得到，从而确定出数列为等比数列，再令，结合的关系，求得，之后应用等比数列的求和公式求得的值.【详解】根据，可得，两式相减得，即，当时，，解得，所以数列是以-1为首项，以2为公比的等比数列，所以，故答案是.点睛：该题考查的是有关数列的求和问题，在求解的过程中，需要先利用题中的条件，类比着往后写一个式子，之后两式相减，得到相邻两项之间的关系，从而确定出该数列是等比数列，之后令，求得数列的首项，最后应用等比数列的求和公式求解即可，只要明确对既有项又有和的式子的变形方向即可得结果.12.曲线：（为参数）上的点到曲线：（为参数）上的点的最短离为

．参考答案：113.已知向量=（sin55°，sin35°），=（sin25°，sin65°），则向量与的夹角为

．参考答案：30°略14.若向面积为16的△ABC内任投一点P，则△PBC面积小于4的概率为

；参考答案：略15.将7名学生分配到甲、乙两个宿舍中,每个宿舍至少安排2名学生,那么互不相同的分配方案共有________种.参考答案：11216.（不等式选讲选做题）若存在实数使成立，则实数的取值范围是

.．参考答案：略17.已知变量，满足，则的最大值是

.A.4 B.7

C.10

D.12参考答案：C三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在正项等差数列中，，且成等比数列.

（1）求数列的通项公式及前项和；

（2）记，求数列的前项和.参考答案：（1）设等差数列的公差为d.依题意得即结合可化简得，解得d=4(负值舍去).(3分)（4分）(6分).（2）当n为偶数时，=(9分)当n为奇数时,n+1为偶数，，(11分)综上所述，（12分）19.已知函数f（x）的定义域为[﹣2，2]，若对于任意的x，y∈[﹣2，2]，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＞0时，有f（x）＞0．（Ⅰ）证明：f（x）为奇函数；（Ⅱ）判断f（x）在[﹣2，2]上的单调性，并证明；（Ⅲ）设f（1）=1，若f（x）＜logam（a＞0且a≠1）对?x∈[﹣2，2]恒成立，求实数m的取值范围．参考答案：【考点】抽象函数及其应用．【专题】函数的性质及应用．【分析】（Ⅰ）令x=y=0可得f（0）=0，令y=﹣x及奇函数的定义即得证；（Ⅱ）根据函数单调性的定义即可判断f（x）在[﹣2，2]上的单调性，并证明；（Ⅲ）结合函数单调性和奇偶性的性质以及对数函数的性质将不等式恒成立进行转化即可得到结论．【解答】解：（Ⅰ）令x=y=0可得f（0）=0，令y=﹣x则f（0）=f（x）+f（﹣x）=0，即f（﹣x）=﹣f（x），则函数f（x）是奇函数．（Ⅱ）f（x）在[﹣2，2]上为单调递增函数．…任取﹣2≤x1＜x2≤2，则f（x1）﹣f（x2）=f（x1）﹣f[（x2﹣x1）+x1]=f（x1）﹣[f（x2﹣x1）+f（x1）]=﹣f（x2﹣x1），因为当x＞0时，f（x）＞0，且x2﹣x1＞0，所以f（x2﹣x1）＜0，所以f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）．所以函数f（x）在[﹣2，2]上为单调递增函数．…（III）因为f（x）在[﹣2，2]上为单调递增函数，所以f（x）max=f（2）=f（1+1）=f（1）+f（1）=2，若f（x）＜logam（a＞0且a≠1）对?x∈[﹣2，2]恒成立，则等价为f（x）max＜logam（a＞0且a≠1）对?x∈[﹣2，2]恒成立，即2＜logam（a＞0且a≠1）对?x∈[﹣2，2]恒成立，若a＞1，则m＞a2，此时实数m的取值范围是（a2，+∞），若0＜a＜1，则0＜m＜a2，此时实数m的取值范围是（0，a2）．【点评】本题主要考查抽象函数的应用，以及函数奇偶性和单调性的判断和应用，利用定义法是解决本题的关键．20.已知函数.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的单调递增区间.参考答案：（Ⅰ）.

（3分）（Ⅱ）

（5分）

.

（9分）

函数的单调递增区间为，

由，

（11分）

得.

所以的单调递增区间为.

（13分）21.（本小题满分12分）已知数列满足，，令.（Ⅰ）证明：数列是等差数列；（Ⅱ）求数列的通项公式．参考答案：(Ⅰ)，，即，是等差数列．………6分(Ⅱ)，，…………

10分

，．…………

12分22.如图几何体E﹣ABCD是四棱锥，△ABD为正三角形，∠BCD=120°，CB=CD=CE=1，AB=AD=AE=，且EC⊥BD，（Ⅰ）设AC，BD相交于点O，求证：直线EO⊥平面ABCD；（Ⅱ）设M是棱AE的中点，求二面角D﹣BM﹣C的平面角的余弦值．参考答案：【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）推导出AC⊥BD，从而EO⊥AC，EO⊥BD，由此能证明直线EO⊥平面ABCD．（2）以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OE为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角D﹣BM﹣C的平面角的余弦值．【解答】证明：（1）∵△ABD为正三角形，∠BCD=120°，CB=CD=CE=1，∴AC⊥BD，且CO=，AO=，连接EO，则，∴EO⊥AC，又∵O是BD中点，故EO⊥BD，∵AC∩BD=O，∴直线EO⊥平面ABCD．解：（2）如图，以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，O