福建省宁德市树人中学2021年高三数学理上学期期末试题含解析

福建省宁德市树人中学2021年高三数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知集合,，，则为（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：A2.已知，，则的值为（

）

A.

B.

C.

D.参考答案：B.考点：三角恒等变形.3.已知函数的图象关于y轴对称，且当成立 a=（20.2）···,则a,b,c的大小关系是 （

） A．

B．

C．

D．参考答案：A因为函数关于轴对称，所以函数为奇函数.因为，所以当时，，函数单调递减，当时，函数单调递减。因为，，，所以，所以，选A.4.若展开式中第四项与第六项的系数相等，则展开式中的常数项的值等于（

）A.

8

B.16

C. 80

D.

70参考答案：D略5.已知，，则“”是“”的（

）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件参考答案：C【分析】利用充分必要条件结合不等式性质即可得解【详解】∵，，∴，∵，∴，∴，反之，时，，∵，∴.故选C【点睛】本题考查充分必要条件的判断，考查推理能力结合不等式性质求解是关键6.集合的，具有性质“若，则”的所有非空子集的个数为（

）A.

3

B.

7

C.

15

D.

31参考答案：B7.若非零向量，满足||=||，且（﹣）⊥（3+2），则与的夹角为（）A． B． C． D．π参考答案：A【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角．【分析】根据向量垂直的等价条件以及向量数量积的应用进行求解即可．【解答】解：∵（﹣）⊥（3+2），∴（﹣）?（3+2）=0，即32﹣22﹣?=0，即?=32﹣22=2，∴cos＜，＞===，即＜，＞=，故选：A【点评】本题主要考查向量夹角的求解，利用向量数量积的应用以及向量垂直的等价条件是解决本题的关键．8.为虚数单位，复平面内表示复数的点在

（

）A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限参考答案：C9.某中学高中一年级有人，高中二年级有人，高中三年级有人，现从中抽取一个容量为人的样本，则高中二年级被抽取的人数为A．

B．

C．

D．参考答案：D10.已知在同一坐标系中，函数的图象是下图中的（

）参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.一个四棱锥的三视图如图所示，那么这个四棱锥最长棱的棱长为__________．参考答案：将该四棱锥放在正方体中，，，故该四棱锥中最长棱长为．12.如图，已知F1，F2是椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点，点P在椭圆C上，线段PF2与圆x2+y2=b2相切于点Q，且点Q为线段PF2的中点，则椭圆C的离心率为．参考答案：【考点】圆与圆锥曲线的综合．【分析】本题考察的知识点是平面向量的数量积的运算，及椭圆的简单性质，由F1、F2是椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点，点P在椭圆C上，线段PF2与圆x2+y2=b2相切于点Q，且点Q为线段PF2的中点，连接OQ，F1P后，我们易根据平面几何的知识，根据切线的性质及中位线的性质得到PF2⊥PF1，并由此得到椭圆C的离心率．【解答】解：连接OQ，F1P如下图所示：则由切线的性质，则OQ⊥PF2，又由点Q为线段PF2的中点，O为F1F2的中点∴OQ∥F1P∴PF2⊥PF1，故|PF2|=2a﹣2b，且|PF1|=2b，|F1F2|=2c，则|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2得4c2=4b2+4（a2﹣2ab+b2）解得：b=a则c=故椭圆的离心率为：故答案为：．13.已知实数满足如果目标函数的最小值为,则实数________参考答案：514.

曲线y=x3在点（1，1）切线方程为___________________．参考答案：15.某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5cm，秒针均匀地绕点O旋转，当时间t=0时，点A与钟面上标12的点B重合，将A、B两点的距离d(cm)表示成t(秒)的函数，则d=______________其中．参考答案：．试题分析：由题意知，秒针转过的角度为，连接AB，过圆心向它作垂线，把要求的线段分成两部分，根据直角三角形的边长求法得到．故应填．考点：在实际问题中建立三角函数模型．16.已知数列的前n项和为，数列的前n项和为

。参考答案：n·2n略17.设函数f（x）=ax3+bx2+cx，若1和﹣1是函数f（x）的两个零点，x1和x2是f（x）的两个极值点，则x1?x2=_________．参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.某市随机抽取部分企业调查年上缴税收情况（单位：万元），将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），年上缴税收范围是[0，100]，样本数据分组为[0，20），[20，40），[40，60），[60，80），[80，100]．（I）求直方图中x的值；（Ⅱ）如果年上缴税收不少于60万元的企业可申请政策优惠，若共抽取企业1200个，试估计有多少企业可以申请政策优惠；（Ⅲ）从企业中任选4个，这4个企业年上缴税收少于20万元的个数记为X，求X的分布列和数学期望．（以直方图中的频率作为概率）参考答案：【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列．【分析】（I）由直方图可得：20×（x+0.025+0.0065+0.003×2）=1，解得x即可．（II）企业缴税收不少于60万元的频率=0.003×2×20=0.12，即可得出1200个企业中有1200×0.12个企业可以申请政策优惠．（III）X的可能取值为0，1，2，3，4．由（I）可得：某个企业缴税少于20万元的概率=0.0125×20=．因此X～B（4，），可得分布列为P（X=k）=，（k=0，1，2，3，4），再利用E（X）=4×即可得出．【解答】解：（I）由直方图可得：20×（x+0.025+0.0065+0.003×2）=1，解得x=0.0125．（II）企业缴税收不少于60万元的频率=0.003×2×20=0.12，∴1200×0.12=144．∴1200个企业中有144个企业可以申请政策优惠．（III）X的可能取值为0，1，2，3，4．由（I）可得：某个企业缴税少于20万元的概率=0.0125×20=0.25=．因此X～B（4，），∴分布列为P（X=k）=，（k=0，1，2，3，4），∴E（X）=4×=1．19.已知{an}是单调递增的等差数列，首项a1=3，前n项和为Sn，数列{bn}是等比数列，首项b1=1，且a2b2=12，S3+b2=20．

（Ⅰ）求{an}和{bn}的通项公式．

（Ⅱ）令Cn=Sncos（anπ）（n∈N+），求{cn}的前n项和Tn．参考答案：解：（Ⅰ）设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，则a2b2=（3+d）q=12，①

S3+b2=3a2+b2=3（3+d）+q=9+3d+q=20，即3d+q=11，变形可得q=11-3d，②

代入①可得：（3+d）（11-d）=33+2d-3d2=12，（3d+7）（d-3）=0，

又由{an}是单调递增的等差数列，有d＞0．则d=3，q=11-3d=2，

an=3+（n-1）×3=3n，bn=2n-1…（6分）

（Ⅱ）

…（8分）

当n是偶数，Tn=c1+c2+c3+…+cn=-S1+S2-S3+S4-…-Sn-1+Sn

=…（10分）

当n是奇数，

综上可得…（12分）略20.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD，PA=2，AB=1．设M，N分别为PD，AD的中点．（1）求证：平面CMN∥平面PAB；（2）求三棱锥P﹣ABM的体积．参考答案：【分析】（1）推导出MN∥PA，从而MN∥平面PAB，再推导出CN∥AB，从而CN∥平面PAB，由此能证明平面CMN∥平面PAB．（2）点M到平面PAB的距离等于点C到平面PAB的距离，三棱锥P﹣ABM的体积V=VM﹣PAB=VC﹣PAB=VP﹣ABC，由此能求出结果．【解答】证明：（1）∵M，N分别为PD，AD的中点，∴MN∥PA．又∵MN?平面PAB，PA?平面PAB，∴MN∥平面PAB．在Rt△ACD中，∠CAD=60°，CN=AN，∴∠ACN=60°．又∵∠BAC=60°，∴CN∥AB．∵CN?平面PAB，AB?平面PAB，∴CN∥平面PAB．又∵CN∩MN=N，∴平面CMN∥平面PAB．…（6分）解：（2）由（1）知，平面CMN∥平面PAB，∴点M到平面PAB的距离等于点C到平面PAB的距离．由已知，AB=1，∠ABC=90°，∠BAC=60°，∴，∴三棱锥P﹣ABM的体积：．…（12分）【点评】本题考查面面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．21.(14分)

已知函数

(1)若在处取得极值，求实数a的值；(2)在(1)的条件下，若关于x的方程=m在[-1，1]上恰有两个不同的实数根，求实数m的取值范围；(3)若存在，使得不等式>0能成立，求实数a的取值范围．参考答案：解析：(1)，由题意得，解得a=2，经检验满足条件．(2)由(1)知，则………………(2分)

令，则

(舍去)…………………

(4分)当x变化吋，、的变化情况如下表x-1(-1,0)0(0,1)1

-0+

-1↘-4↗-3………………

(6分)∵关于X的方程f(x)=m在[-1，1]上恰有两个不同的实数根∴-4<m≤-3．

………………………

(8分)(3)由题意得，即可．……………………

(9分)①若a≤0，则当X>0时，

<0，∴f(x)在(0，+∞)单调递减∵f(0)=-4<0．∴当x>0时，f(x)<-4<0∴当a≤0时，不存在．②当a>0时，、随X的变化情况如下表x+0-↗↘………………(12分)∴当时，由综上得a3．………………(14分)

22.已知曲线C的参数方程：（α为参数），曲线C上的点M（1，）对应的参数α=，以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，点P的极坐标是（，），直线l过点P，且与曲线C交于不同的两点A、B．（1）求曲线C的普通方程；（2）求|PA|?|PB|的取值范围．参考答案：【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（I）由椭圆参数方程可得，解得a，b．可得曲线C的参数方程，化为直角坐