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文档简介
福建省宁德市树人中学2021年高三数学理上学期期末试题含解析一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1.已知集合,,,则为(A)
(B)
(C)
(D)参考答案:A2.已知,,则的值为(
)
A.
B.
C.
D.参考答案:B.考点:三角恒等变形.3.已知函数的图象关于y轴对称,且当成立 a=(20.2)···,则a,b,c的大小关系是 (
) A.
B.
C.
D.参考答案:A因为函数关于轴对称,所以函数为奇函数.因为,所以当时,,函数单调递减,当时,函数单调递减。因为,,,所以,所以,选A.4.若展开式中第四项与第六项的系数相等,则展开式中的常数项的值等于(
)A.
8
B.16
C. 80
D.
70参考答案:D略5.已知,,则“”是“”的(
)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件参考答案:C【分析】利用充分必要条件结合不等式性质即可得解【详解】∵,,∴,∵,∴,∴,反之,时,,∵,∴.故选C【点睛】本题考查充分必要条件的判断,考查推理能力结合不等式性质求解是关键6.集合的,具有性质“若,则”的所有非空子集的个数为(
)A.
3
B.
7
C.
15
D.
31参考答案:B7.若非零向量,满足||=||,且(﹣)⊥(3+2),则与的夹角为()A. B. C. D.π参考答案:A【考点】9S:数量积表示两个向量的夹角.【分析】根据向量垂直的等价条件以及向量数量积的应用进行求解即可.【解答】解:∵(﹣)⊥(3+2),∴(﹣)?(3+2)=0,即32﹣22﹣?=0,即?=32﹣22=2,∴cos<,>===,即<,>=,故选:A【点评】本题主要考查向量夹角的求解,利用向量数量积的应用以及向量垂直的等价条件是解决本题的关键.8.为虚数单位,复平面内表示复数的点在
(
)A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限参考答案:C9.某中学高中一年级有人,高中二年级有人,高中三年级有人,现从中抽取一个容量为人的样本,则高中二年级被抽取的人数为A.
B.
C.
D.参考答案:D10.已知在同一坐标系中,函数的图象是下图中的(
)参考答案:C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.一个四棱锥的三视图如图所示,那么这个四棱锥最长棱的棱长为__________.参考答案:将该四棱锥放在正方体中,,,故该四棱锥中最长棱长为.12.如图,已知F1,F2是椭圆C:(a>b>0)的左、右焦点,点P在椭圆C上,线段PF2与圆x2+y2=b2相切于点Q,且点Q为线段PF2的中点,则椭圆C的离心率为.参考答案:【考点】圆与圆锥曲线的综合.【分析】本题考察的知识点是平面向量的数量积的运算,及椭圆的简单性质,由F1、F2是椭圆(a>b>0)的左、右焦点,点P在椭圆C上,线段PF2与圆x2+y2=b2相切于点Q,且点Q为线段PF2的中点,连接OQ,F1P后,我们易根据平面几何的知识,根据切线的性质及中位线的性质得到PF2⊥PF1,并由此得到椭圆C的离心率.【解答】解:连接OQ,F1P如下图所示:则由切线的性质,则OQ⊥PF2,又由点Q为线段PF2的中点,O为F1F2的中点∴OQ∥F1P∴PF2⊥PF1,故|PF2|=2a﹣2b,且|PF1|=2b,|F1F2|=2c,则|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2得4c2=4b2+4(a2﹣2ab+b2)解得:b=a则c=故椭圆的离心率为:故答案为:.13.已知实数满足如果目标函数的最小值为,则实数________参考答案:514.
曲线y=x3在点(1,1)切线方程为___________________.参考答案:15.某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5cm,秒针均匀地绕点O旋转,当时间t=0时,点A与钟面上标12的点B重合,将A、B两点的距离d(cm)表示成t(秒)的函数,则d=______________其中.参考答案:.试题分析:由题意知,秒针转过的角度为,连接AB,过圆心向它作垂线,把要求的线段分成两部分,根据直角三角形的边长求法得到.故应填.考点:在实际问题中建立三角函数模型.16.已知数列的前n项和为,数列的前n项和为
。参考答案:n·2n略17.设函数f(x)=ax3+bx2+cx,若1和﹣1是函数f(x)的两个零点,x1和x2是f(x)的两个极值点,则x1?x2=_________.参考答案:略三、解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18.某市随机抽取部分企业调查年上缴税收情况(单位:万元),将所得数据绘制成频率分布直方图(如图),年上缴税收范围是[0,100],样本数据分组为[0,20),[20,40),[40,60),[60,80),[80,100].(I)求直方图中x的值;(Ⅱ)如果年上缴税收不少于60万元的企业可申请政策优惠,若共抽取企业1200个,试估计有多少企业可以申请政策优惠;(Ⅲ)从企业中任选4个,这4个企业年上缴税收少于20万元的个数记为X,求X的分布列和数学期望.(以直方图中的频率作为概率)参考答案:【考点】离散型随机变量的期望与方差;频率分布直方图;离散型随机变量及其分布列.【分析】(I)由直方图可得:20×(x+0.025+0.0065+0.003×2)=1,解得x即可.(II)企业缴税收不少于60万元的频率=0.003×2×20=0.12,即可得出1200个企业中有1200×0.12个企业可以申请政策优惠.(III)X的可能取值为0,1,2,3,4.由(I)可得:某个企业缴税少于20万元的概率=0.0125×20=.因此X~B(4,),可得分布列为P(X=k)=,(k=0,1,2,3,4),再利用E(X)=4×即可得出.【解答】解:(I)由直方图可得:20×(x+0.025+0.0065+0.003×2)=1,解得x=0.0125.(II)企业缴税收不少于60万元的频率=0.003×2×20=0.12,∴1200×0.12=144.∴1200个企业中有144个企业可以申请政策优惠.(III)X的可能取值为0,1,2,3,4.由(I)可得:某个企业缴税少于20万元的概率=0.0125×20=0.25=.因此X~B(4,),∴分布列为P(X=k)=,(k=0,1,2,3,4),∴E(X)=4×=1.19.已知{an}是单调递增的等差数列,首项a1=3,前n项和为Sn,数列{bn}是等比数列,首项b1=1,且a2b2=12,S3+b2=20.
(Ⅰ)求{an}和{bn}的通项公式.
(Ⅱ)令Cn=Sncos(anπ)(n∈N+),求{cn}的前n项和Tn.参考答案:解:(Ⅰ)设{an}的公差为d,{bn}的公比为q,则a2b2=(3+d)q=12,①
S3+b2=3a2+b2=3(3+d)+q=9+3d+q=20,即3d+q=11,变形可得q=11-3d,②
代入①可得:(3+d)(11-d)=33+2d-3d2=12,(3d+7)(d-3)=0,
又由{an}是单调递增的等差数列,有d>0.则d=3,q=11-3d=2,
an=3+(n-1)×3=3n,bn=2n-1…(6分)
(Ⅱ)
…(8分)
当n是偶数,Tn=c1+c2+c3+…+cn=-S1+S2-S3+S4-…-Sn-1+Sn
=…(10分)
当n是奇数,
综上可得…(12分)略20.如图,在四棱锥P﹣ABCD中,∠ABC=∠ACD=90°,∠BAC=∠CAD=60°,PA⊥平面ABCD,PA=2,AB=1.设M,N分别为PD,AD的中点.(1)求证:平面CMN∥平面PAB;(2)求三棱锥P﹣ABM的体积.参考答案:【分析】(1)推导出MN∥PA,从而MN∥平面PAB,再推导出CN∥AB,从而CN∥平面PAB,由此能证明平面CMN∥平面PAB.(2)点M到平面PAB的距离等于点C到平面PAB的距离,三棱锥P﹣ABM的体积V=VM﹣PAB=VC﹣PAB=VP﹣ABC,由此能求出结果.【解答】证明:(1)∵M,N分别为PD,AD的中点,∴MN∥PA.又∵MN?平面PAB,PA?平面PAB,∴MN∥平面PAB.在Rt△ACD中,∠CAD=60°,CN=AN,∴∠ACN=60°.又∵∠BAC=60°,∴CN∥AB.∵CN?平面PAB,AB?平面PAB,∴CN∥平面PAB.又∵CN∩MN=N,∴平面CMN∥平面PAB.…(6分)解:(2)由(1)知,平面CMN∥平面PAB,∴点M到平面PAB的距离等于点C到平面PAB的距离.由已知,AB=1,∠ABC=90°,∠BAC=60°,∴,∴三棱锥P﹣ABM的体积:.…(12分)【点评】本题考查面面平行的证明,考查三棱锥的体积的求法,考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力,考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想,是中档题.21.(14分)
已知函数
(1)若在处取得极值,求实数a的值;(2)在(1)的条件下,若关于x的方程=m在[-1,1]上恰有两个不同的实数根,求实数m的取值范围;(3)若存在,使得不等式>0能成立,求实数a的取值范围.参考答案:解析:(1),由题意得,解得a=2,经检验满足条件.(2)由(1)知,则………………(2分)
令,则
(舍去)…………………
(4分)当x变化吋,、的变化情况如下表x-1(-1,0)0(0,1)1
-0+
-1↘-4↗-3………………
(6分)∵关于X的方程f(x)=m在[-1,1]上恰有两个不同的实数根∴-4<m≤-3.
………………………
(8分)(3)由题意得,即可.……………………
(9分)①若a≤0,则当X>0时,
<0,∴f(x)在(0,+∞)单调递减∵f(0)=-4<0.∴当x>0时,f(x)<-4<0∴当a≤0时,不存在.②当a>0时,、随X的变化情况如下表x+0-↗↘………………(12分)∴当时,由综上得a3.………………(14分)
22.已知曲线C的参数方程:(α为参数),曲线C上的点M(1,)对应的参数α=,以坐标原点O为极点,以x轴正半轴为极轴,建立极坐标系,点P的极坐标是(,),直线l过点P,且与曲线C交于不同的两点A、B.(1)求曲线C的普通方程;(2)求|PA|?|PB|的取值范围.参考答案:【考点】参数方程化成普通方程;简单曲线的极坐标方程.【分析】(I)由椭圆参数方程可得,解得a,b.可得曲线C的参数方程,化为直角坐
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