河北省石家庄市法商艺术中学2021-2022学年高三数学文上学期期末试卷含解析

河北省石家庄市法商艺术中学2021-2022学年高三数学文上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.下列“若p，则q”形式的命题中，哪个命题中的p是q的充分条件？（

）A.若两非重合直线的斜率相等，则两直线平行B.若，则C.若，则D.若，则参考答案：A【分析】判断由可推得成立即可得解.【详解】A选项，若两直线的斜率相等，又因为两直线不重合，故两直线平行．B选项，由，无法推出，如，但是．C选项，由，无法得到，如，，时有，但是，D选项，若，则，可以互补，也可以终边相同．故选：A．【点睛】本题主要考查了充分条件的判断，明确定义是关键，属于基础题.2.抛物线x2=﹣8y的准线方程是（）A．x= B．y=2 C．y= D．y=﹣2参考答案：B【考点】抛物线的简单性质．【分析】由抛物线x2=﹣8y可得：2p=8，即可其准线方程．【解答】解：由抛物线x2=﹣8y可得：2p=8，∴=2，其准线方程是y=2．故选：B．3.在△ABC中，角A，B，C的对边为,若，则角A=（

）A．30°

B．30°或105°

C．60°

D．60°或120°参考答案：D4.已知正数x、y满足的最小值是

A．1

B．2

C．3

D．参考答案：C略5.已知函数有极大值和极小值，则实数a的取值范围是(

)

A.

B.

C.

D.参考答案：C6.已知定义在R上的函数满足：且，，则方程在区间[-5，1]上的所有实根之和为(A)

-5

(B)-6

(C)-7

(D)-8参考答案：C略7.如图，一几何体正视图，俯视图是腰长为1的等腰三角形，俯视图是一个圆及其圆心，当这个几何体的体积最大时圆的半径是(

)

A.

B.

C.

D.参考答案：B由三视图可得所以=1

将V看成函数

所以当时取得最值

所以注意：可以将几何和函数相结合8.函数的零点所在的大致区间是（

）A．（1，2）

B．（e，3）

C．（2，e）

D．(e,

+)参考答案：C9.如图，该程序运行后输出的结果为（）A．7 B．11 C．25 D．36参考答案：B【考点】程序框图．【分析】经过观察为当型循环结构，按照循环结构进行执行，当不满足执行条件时跳出循环，输出结果即可．【解答】解：模拟执行程序，可得k=1，S=0满足条件k≤10，S=1，k=3满足条件k≤10，S=4，k=7满足条件k≤10，S=11，k=15不满足条件k≤10，退出循环，输出S的值为11．故选：B．10.设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝3x－4y的最大值和最小值分别为(

)A．3，－11 B．－3，－11C．11，－3

D．11,3参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知点A（1，2），点P（）满足，O为坐标原点，则的最大值为

参考答案：5：，作出可行区域如图，作直线，当移到过A（1，2）时，12.已知函数f(x)＝若f(2－a2)>f(a)，则实数a的取值范围是________．参考答案：(－2,1)13.采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9，抽到的32人中，编号落入区间[1，450]的人做问卷A，编号落入区间[451，750]的人做问卷B，其余的人做问卷C，则抽到的人中，做问卷B的人数为．参考答案：10【考点】系统抽样方法．【分析】由题意可得抽到的号码构成以9为首项、以30为公差的等差数列，求得此等差数列的通项公式为an=9+（n﹣1）30=30n﹣21，由451≤30n﹣21≤750求得正整数n的个数，即为所求．【解答】解：由960÷32=30，故由题意可得抽到的号码构成以9为首项、以30为公差的等差数列，且此等差数列的通项公式为an=9+（n﹣1）30=30n﹣21．由451≤30n﹣21≤750解得15.7≤n≤25.7．再由n为正整数可得

16≤n≤25，且n∈z，故做问卷B的人数为10，故答案为：10．【点评】本题主要考查等差数列的通项公式，系统抽样的定义和方法，属于基础题．14.已知等差数列为其前n项和。若，，则=_______。【解析】因为，所以，。参考答案：因为，所以，。【答案】，15.在四边形ABCD中，，点E在线段CB的延长线上，且，则

.参考答案：－1建立如图所示的直角坐标系，则，.因为∥，，所以，因为，所以，所以直线的斜率为，其方程为，直线的斜率为，其方程为.由得，，所以.所以.

16.如果函数的图像关于点成中心对称，那么的最小值为

.

参考答案：17.已知双曲线的左右分别为，点在双曲线的右支上，且，则此双曲线的离心率的最大值为

参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，平面A1BC⊥侧面A1B1BA，且AA1=AB=2．（1）求证：；（2）若直线AC与平面A1BC所成角的正弦值为，求锐二面角的大小．参考答案：（1）证明：如图，取的中点，连接因，则，由平面侧面，且平面得平面，又平面，所以．...............（2分）因为三棱柱是直三棱柱，则底面，所以．又，从而侧面...................................（3分）又侧面，故．.....................................（4分）（2）解法一：连接，由（1）可知平面，则是在平面内的射影，∴即为直线与平面所成的角，因为直线与平面所成的角的正弦值为，则，．..........................................（6分）在等腰直角中，，且点是中点，∴且，∴............（7分）过点作于点，连接，由（1）知平面，则，且，∴即为二面角的一个平面角。.............................（9分）且直角中，，又，∴..................（11分）且二面角为锐二面角∴，即二面角的大小为．......................（12分）解法二（向量法）：由（1）知且底面，所以以点为原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示，且设，则，．..........（6分）设平面的一个法向量，由得：，令，得，则...............（8分）设直线与平面所成的角为，则，得，解得，即，又设平面的一个法向量为，同理可得..............（10分）设锐二面角的大小为，则，且，得，∴锐二面角的大小为..................................（12分）19.设函数f（x）=x2+bx﹣alnx．（Ⅰ）若x=2是函数f（x）的极值点，1和x0是函数f（x）的两个不同零点，且x0∈（n，n+1），n∈N，求n．（Ⅱ）若对任意b∈[﹣2，﹣1]，都存在x∈（1，e）（e为自然对数的底数），使得f（x）＜0成立，求实数a的取值范围．参考答案：考点：利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）先求导得到，由，f（1）=1+b=0，得到a与b的值，再令导数大于0，或小于0，得到函数的单调区间，再由零点存在性定理得到得到x0∈（3，4），进而得到n的值；（Ⅱ）令g（b）=xb+x2﹣alnx，b∈[﹣2，﹣1]，问题转化为在x∈（1，e）上g（b）max=g（﹣1）＜0有解即可，亦即只需存在x0∈（1，e）使得x2﹣x﹣alnx＜0即可，连续利用导函数，然后分别对1﹣a≥0，1﹣a＜0，看是否存在x0∈（1，e）使得h（x0）＜h（1）=0，进而得到结论．解答： 解：（Ⅰ），∵x=2是函数f（x）的极值点，∴．∵1是函数f（x）的零点，得f（1）=1+b=0，由，解得a=6，b=﹣1．…∴f（x）=x2﹣x﹣6lnx，令=，x∈（0，+∞），得x＞2；

令f′（x）＜0得0＜x＜2，所以f（x）在（0，2）上单调递减；在（2，+∞）上单调递增．…故函数f（x）至多有两个零点，其中1∈（0，2），x0∈（2，+∞），因为f（2）＜f（1）=0，f（3）=6（1﹣ln3）＜0，f（4）=6（2﹣ln4）=0，所以x0∈（3，4），故n=3．…（Ⅱ）令g（b）=xb+x2﹣alnx，b∈[﹣2，﹣1]，则g（b）为关于b的一次函数且为增函数，根据题意，对任意b∈[﹣2，﹣1]，都存在x∈（1，e）（e为自然对数的底数），使得f（x）＜0成立，则在x∈（1，e）上，有解，令h（x）=x2﹣x﹣alnx，只需存在x0∈（1，e）使得h（x0）＜0即可，由于，令φ（x）=2x2﹣x﹣a，x∈（1，e），φ'（x）=4x﹣1＞0，∴φ（x）在（1，e）上单调递增，φ（x）＞φ（1）=1﹣a，…①当1﹣a≥0，即a≤1时，φ（x）＞0，即h′（x）＞0，h（x）在（1，e）上单调递增，∴h（x）＞h（1）=0，不符合题意．②当1﹣a＜0，即a＞1时，φ（1）=1﹣a＜0，φ（e）=2e2﹣e﹣a若a≥2e2﹣e＞1，则φ（e）＜0，所以在（1，e）上φ（x）＜0恒成立，即h′（x）＜0恒成立，∴h（x）在（1，e）上单调递减，∴存在x0∈（1，e）使得h（x0）＜h（1）=0，符合题意．若2e2﹣e＞a＞1，则φ（e）＞0，∴在（1，e）上一定存在实数m，使得φ（m）=0，∴在（1，m）上φ（x）＜0恒成立，即h′（x）＜0恒成立，∴h（x）在（1，e）上单调递减，∴存在x0∈（1，e）使得h（x0）＜h（1）=0，符合题意．综上所述，当a＞1时，对任意b∈[﹣2，﹣1]，都存在x∈（1，e）（e为自然对数的底数），使得f（x）＜0成立．…点评：本题考查利用导数求函数性质的应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是2015届高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．20.已知函数（）.（1）若函数上带你处的切线过点(0,2)，求函数的单调减区间；（2）若函数在上无零点，求a的最小值.参考答案：（1）∵，∴，∴，又，∴，解得，由，得，∴的单调递减区间为.（2）若函数在上无零点，则在上或恒成立，因为在区间上恒成立不可能，故要使函数在上无零点，只要对任意的，恒成立，即对，恒成立.令，，则，再令，，则，故在上为减函数，于是，从而，于是在上为增函数，所以，故要使，恒成立，只要，综上，若函数在上无零点，则的最小值为.21.（本小题共13分）为了解高三学生综合素质测评情况，对2000名高三学生的测评结果进行了统计，其中优秀、良好、合格三个等级的男、女学生人数如下表：

优秀良好合格男生人数380373女生人数370377

（Ⅰ）若按优秀、良好、合格三个等级分层，在这2000份综合素质测评结果中随机抽取80份进行比较分析，应抽取综合素质测评结果是优秀等级的多少份？（Ⅱ）若，，求优秀等级的学生中男生人数比女生人数多的概率．参考答案：解：（Ⅰ）由表可知，优秀等级的学生人数为：

．

因为，故在优秀等级的学生中应抽取份．（Ⅱ）设“优秀等级的学生中男生人数比女生人数多”为事件．

因为，，，且，为正整数，

所以数组的可