湖南省衡阳市耒阳市坪田中学2022-2023学年高三数学理月考试题含解析

湖南省衡阳市耒阳市坪田中学2022-2023学年高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知椭圆过点（3，2），当a2+b2取得最小值时，椭圆的离心率为（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】椭圆的简单性质．【分析】将点代入椭圆方程，利用“1”代换，根据基本不等式的即可a和b的关系，利用椭圆的离心率即可求得【解答】解：由点在椭圆上则：，则a2+b2=（a2+b2）（+）=9+++4=13+2=25，当且仅当=，即=，由椭圆的离心率e===，∴椭圆的离心率，故选：D．【点评】本题考查椭圆的方程及椭圆的离心率，考查“1”代换，基本不等式的性质，考查转化思想，属于中档题．2.设,则下列不等式中恒成立的是(

)A．

B．

C．

D．参考答案：A略3.设,若，则的值为（

）A．

B．

C．

D． 参考答案：B4.的展开式中的系数是（

）

B.

C.5

D.20参考答案：A5.的（

）A．充分不必要条件Ｂ．必要不充分条件C．充分必要条件

D．既不充分又不必要条件参考答案：A或，所以充分不必要条件，选A.6.满足条件|z-i|=|3+4i|复数z在复平面上对应点的轨迹是（A）一条直线

（B）两条直线

（C）圆

（D）椭圆参考答案：答案：C7.已知椭圆左右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，则的最大值为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D分析：先求出|AB|的最小值，再求的最大值.详解：由题得所以当AB⊥x轴时，|AB|最小，|A最大.当AB⊥x轴时，|AB|=所以|A最大值为故答案为：D

8.如图，阴影部分表示的集合是（

）

参考答案：D9.已知幂函数的图象如图所示，则在的切线与两坐标轴围成的面积为A．

B．

C．

D．4参考答案：C略10.若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．2 B．1 C． D．参考答案：B【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由题意可知图形的形状，求解即可．【解答】解：本题考查立体图形三视图及体积公式如图，该立体图形为直三棱柱所以其体积为．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知三棱锥的顶点都在球的球面上,且平面,则三棱锥的体积等于．参考答案：12略12.已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，且Sn满足n（n+1）Sn2+（n2+n﹣1）Sn﹣1=0（n∈N*），则S1+S2+…+S2017=．参考答案：【考点】8H：数列递推式；8E：数列的求和．【分析】n（n+1）Sn2+（n2+n﹣1）Sn﹣1=0（n∈N*），可得（Sn+1）=0，Sn＞0．可得Sn==﹣．利用“裂项求和”方法即可得出．【解答】解：∵n（n+1）Sn2+（n2+n﹣1）Sn﹣1=0（n∈N*），∴（Sn+1）=0，Sn＞0．∴n（n+1）Sn﹣1=0，∴Sn==﹣．∴S1+S2+…+S2017=+…+=．故答案为：．【点评】本题考查了数列递推关系、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13.已知x，y满足约束条件的最小值是

.参考答案：

14.已知a与b为两个不共线的单位向量，若向量a+b与向量ka-b垂直，则实数k=

▲.参考答案：115.已知双曲线=1（a＞0，b＞0）上一点C，过双曲线中心的直线交双曲线于A，B两点，设直线AC，BC的斜率分别为k1，k2，则当最小时，双曲线的离心率为．参考答案：【考点】双曲线的简单性质．【分析】设C（x，y），A（x1，y1），B（﹣x1，﹣y1），显然x≠x1，x≠x2．利用平方差法推出斜率乘积，通过函数的导数求出函数的最小值，然后求解即可．【解答】解：设C（x，y），A（x1，y1），B（﹣x1，﹣y1），显然x≠x1，x≠x2．∵点A，C在双曲线上，∴，两式相减得，∴．由，设t=k1k2，则，∴求导得，由得t=2．∴在（0，2）单调递减，在（2，+∞）单调递增，∴t=2时即k1k2=2时取最小值，∴，∴．故答案为：．16.在曲线处的切线方程为

。参考答案：17.在复平面内，复数对应的点到原点的距离为_____.参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数．（1）求函数y=f（x）的解析式，并用“五点法作图”在给出的直角坐标系中画出函数y=f（x）在区间[0，π]上的图象；（2）设α∈（0，π），f（）=，求sinα的值．参考答案：【考点】五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】（1）利用三角函数恒等变换的应用化简可得函数解析式，根据五点法，求出对应的五点，即可得到结论．（2）法一：由已知可求，利用两角差的正弦函数公式可求sinα的值；法二：由已知可得，进而可求，联立即可得解．【解答】（本题满分为12分）解：（1）∵=，…由知：x0x1，y1ππ2π﹣1010故函数y=f（x）在区间[0，π]上图象是

…（2）法一：∵，∴，…，…∵α∈（0，π），∴sinα＞0，∴．…法二：∵，，①∴，∴，…∴，又∵α∈（0，π），∴sinα＞0，∴cos＜0，∴，②…由①②得，∴．…19.已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，直线x+y+1=0与以椭圆C的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆相切．（1）求椭圆的方程．（2）设P为椭圆上一点，若过点M（2，0）的直线l与椭圆E相交于不同的两点S和T，且满足（O为坐标原点），求实数t的取值范围．参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（1）写出满足条件的圆的方程，再由直线与圆相切得到d=a，再由等腰直角三角形得到b=c，解方程即可得到a，b的值；（2）设P（x0，y0），设出直线l：y=k（x﹣2），联立椭圆方程消去y，得到x的方程，运用韦达定理和判别式大于0，再由向量加法运算得到x0，y0的关系，代入椭圆方程，结合判别式大于0，即可得到t的范围．【解答】解：（1）由题意得，以椭圆C的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆的方程为（x﹣c）2+y2=a2，∴圆心到直线x+y+1=0的距离d=*，∵椭圆C：+=1（a＞b＞0）的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，则b=c，，代入*式得b=c=1即a=b=，故所求椭圆方程为+y2=1；（2）由题意知直线l的斜率存在，设直线l方程为y=k（x﹣2），设P（x0，y0），将直线方程代入椭圆方程得：（1+2k2）x2﹣8k2x+8k2﹣2=0，∴△=64k4﹣4（1+2k2）（8k2﹣2）=﹣16k2+8＞0∴，设S（x1，y1），T（x2，y2）则，当k=0时，直线l的方程为y=0，此时t=0，成立，故t=0符合题意．当t≠0时得tx0=x1+x2=，ty0=y1+y2=k（x1+x2）﹣4k=，∴，，将上式代入椭圆方程得：，整理得：由知0＜t2＜4，所以t∈（﹣2，2）．【点评】本题考查椭圆的方程和性质，以及直线与圆相切的条件，考查联立直线方程和椭圆方程消去一个未知数，运用韦达定理，注意判别式大于0的条件，考查运算能力，属于中档题．20..1995年联合国教科文组织宣布每年的4月23日为世界读书日，主旨宣言为“希望散居在全球各地的人们，都能享受阅读带来的乐趣，都能尊重和感谢为人类文明作出巨大贡献的文学、文化、科学思想的大师们，都能保护知识产权．”为了解大学生课外阅读情况，现从某高校随机抽取100名学生，将他们一年课外阅读量（单位：本）的数据，分成7组，，…，，并整理得到如图频率分布直方图：（1）估计其阅读量小于60本的人数；（2）一只阅读量在，，内的学生人数比为2:3:5．为了解学生阅读课外书的情况，现从阅读量在内的学生中随机选取3人进行调查座谈，用表示所选学生阅读量在内的人数，求X的分布列和数学期望；（3）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计100名学生该年课外阅读量的平均数在第几组（只需写出结论）．参考答案：（1）（人）．（2）由已知条件可知：内的人数为：，内的人数为2人，内的人数为3人，内的人数为5人．的所有可能取值为0，1,2，，，，所以的分布列为012．21.已知直线l的参数方程为

（t为参数），若以直角坐标系xOy的O点为极点，Ox方向为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线C的极坐标方程为ρ=2cos（θ﹣）．（1）求直线l的倾斜角和曲线C的直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C交于A，B两点，设点P（0，），求|PA|+|PB|．参考答案：【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）直线l的参数方程为

（t为参数），消去参数t化为普通方程可得，进而得到倾斜角．由曲线C的极坐标方程得到：ρ2=2ρcos（θ﹣），利用ρ2=x2+y2，即可化为直角坐标方程．（2）将|PA|+|PB|转化为求|AB|来解答．【解答】解（1）直线的斜率为，直线l倾斜角为…由曲线C的极坐标方程得到：ρ2=2ρcos（θ﹣），利用ρ2=x2+y2，得到曲线C的直角坐标方程为（x﹣）2+（y﹣）2=1…（2）点P（0，）在直线l上且在圆C内部，所以|PA|+|PB|=|AB|…直线l的直角坐标方程为y=x+…所以圆心（，）到直线l的距离d=．所以|AB|=，即|PA|+|PB|=…22.（本小题满分13分）科学研究证实，二氧化碳等温室气体的排放（简称碳排放）对全球气候和生态环境产生了负面影响.环境部门对A市每年的碳排放总量规定不能超过550万吨，否则将采取紧急限排措施.已知A市2013年的碳排放总量为400万吨，通过技术改造和倡导低碳生活等措施，此后每年的碳排放量比上一年的碳排放总量减少10%．同时，因经济发展和人口增