高中数学导数知识点归纳总结及例题

高中数学导数学问点归纳总结及例题导数考试学问要点导数〔导函数的简称〕的定义：设x0是函数yf(x)定义域的一点，假设自变量x在x0处有增量x，则函数值y也引起相应的增量yf(x0x)f(x0)；比值yf(x0x)f(x0yf(x)在点x0到x0x之间的平均变化率；假设极限xxf(x0x)f(x0)y存在，则称函数yf(x)在点x0处可导，并把这个极限limx0xx0xlim记作f’(x0)或y’|xx0，即f’(x0)=limyf(x)在x0处的导数，f(x0x)f(x0)y.limx0xx0x注：①x是增量，我们也称为“转变量”，由于x可正，可负，但不为零.②以知函数yf(xA，yf’(x)的定义域为B，A与B系为AB.函数yf(xx0x0⑴函数yf(x)在点x0处连续是yf(x)在点x0处可导的必要不充分条件.可以证明，假设yf(x)在点x0处可导，那么yf(x)点x0处连续.事实上，令xx0xxx0x0.1于 是 limf(x)limf(x0x)lim[f(x x0)f(x0)f(x0)] x x0x0x0lim[x0f(x0x)f(x0)f(x0x)f(x0)xlimf(x0)f’(x0)0f(x0)f(x0).x0x0x0xx

f(x0)]lim

limy|x|x＞0，xx⑵yf(x)点x0处连续，那么yf(x)在点x0处可导，是不成立的.例：f(x)|x|在点x00x00处不行导，由于yyy1；当x＜01limx0xxx注：①可导的奇函数函数其导函数为偶函数.②可导的偶函数函数其导函数为奇函数.导数的几何意义：函数yf(x)在点x0yf(x)在点(x0,f(x))处的切线的斜率，也就是说，曲线yf(x)在点P(x0,f(x))处的切线的斜率f’(x0)，yy0f’(x)(xx0).求导数的四则运算法则：(u v)’u’v’y f1(x)f2(x)...fn(x)y’f1’(x)f2’(x)...fn’(x)(uv)’vu’v’u(cv)’c’vcv’cv’〔c〕vu’v’uu(v0)2vv’注：①u,v必需是可导函数.②假设两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导；假设两个函数均不行导，则它们的和、差、积、商不肯定不行导.例如：设f(x)2sinx22，g(x)cosxf(x),g(x)在x0xxf(x)g(x)sinxcosxx0复合函数的求导法则：fx’((x))f’(u)’(x)或y’xy’uu’x复合函数的求导法则可推广到多个中间变量的情形.函数单调性：⑴函数单调性的判定方法：设函数yf(x)在某个区间内可导，假设f’(x)＞0yf(xf’(x)＜0yf(x)为减函数.⑵常数的判定方法；假设函数yf(xI内恒有f’(x)=0，则yf(x)为常数.注：①f(x)0是f〔x〕递增的充分条件，但不是必要条件，如y2x3在(,)上并不是都有f(x)0，有一个点例外即x=0时f〔x〕=0，同样f(x)0是f〔x〕递减的充分非必2要条件.②一般地，假设f〔x〕在某区间(sinx)cosx(arcsinx)’1x2(xn)’nxn1〔nR〕(cosx)’sinx(arccosx)’1x21’11’(arctanx)II.(lnx)(logax)logaexxx21’(ex)’ex(ax)’axlna(arccotx)’III.求导的常见方法：①常用结论：(ln|x|)’1x21(xa1)(xa2)...(xan)1.y(xa1)(xa2)...(xanyxb1)(xb2)...(xbn)x边同取自然对数，可转化求代数和形式.③无理函数或形如yxx这类函数，如yxx取自然对数之后可变形lnyxlnxy’1lnxxy’ylnxyy’xxlnxxxyx3导数中的切线问题例题1：切点，求曲线的切线方程曲线yx33x21在点(1，1)处的切线方程为〔〕2：斜率，求曲线的切线方程与直线2xy40的平行的抛物线yx2的切线方程是〔〕留意：此题所给的曲线是抛物线，故也可利用法加以解决，即设y2xb，代入yx2，得x22xb0，又由于0，得b1，应选Ｄ．例题3：过曲线上一点，求切线方程过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法．求过曲线yx32x上的点(1，1)的切线方程．例题4：过曲线外一点，求切线方程12，0yx4练习题：函数yx33x，过点A(016)，作曲线yf(x)的切线，求此切线方程．看看几个高考题1.〔2023Ⅱ〕曲线yx1,12x122.〔2023江西卷〕设函数f(x)g(x)x，曲线yg(x)在点(1,g(1))处的切线方程为y2x1yf(x)在点(1,f(1))处切线的斜率为3.〔2023宁夏海南卷〕曲线yxe2x1在点〔0,1〕处的切线方程为。4.〔2023浙江〕〔15分〕f(x)x(1a)xa(a2)xb(a,bR)．〔I〕假设函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率是3，a,b5.〔2023北京〕〔14分〕f(x)x3axb(a0).〔Ⅰ〕假设曲线yf(x)在点(2,f(x))处与直线y8相切，求a,b的值；332x.1函数的单调性和导数1．利用导数的符号来推断函数单调性:一般地，设函数yf(x)在某个区间可导，假设在这个区间内f(x)0，则yf(x)为这个区间内的；f(x)0yf(x)为这个区间内的2．利用导数确定函数的单调性的步骤：确定函数f(x)的定义域；求出函数的导数；解不等式f(x)＞0，得函数的单调递增区间；解不等式f(x)＜0，得函数的单调递减区间．5‘‘【例题讲解】a)b)确定函数f(x)=2x3－6x2+7在哪个区间(2)y=3x－x3f(x)xlnx，则〔〕A．在(0,)上递增B．在(0,)上递减求证：yx1(,0)上是增函数。311ee32３．函数f(x)x3x5的单调递增区间是 ．C．在0,上递增D．在0,上递减6函数图象及其导函数图象3函数yf(x)在定义域(,3)函数f(x)的定义域为开区间(//3,3)，导函数2yf(x)3f(x)在(,3)〕25.函数yf(xf’(x)的图象是如下图的一条直线，则yf(x)图象的顶点在〔〕A．第一象限B．其次象限C．第三象限D．第四象限6.(2023f(xf(x)的导函数,yf(x)象如右图所示，则yf(x)的图象最有可能的是〔〕yf(x)AB设函数f(x)在定义域内可导，y=f(x)的图象如下左图所示，则导y=f(x)的图象可能为()7〔安微省合肥市2023年高三其次次教学质量检测文科〕函数yf(x)的图像如下右图所示，则yf(x)的图像可能是〔〕(20233(x)ax2bxc的图象如右图，则知函数f(x)的导函数ff(x)的图象可能是()〔2023年浙江省宁波市高三“十校”联考文科〕如右图所示是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度h随时间t〔〕(A)(B)(C)正视图侧视图‘(D)(2023广州二模文、理)二次函数fx的图象如图1所示,则其导函数f象大致外形是〔〕x8〔2023湖南卷文〕假设函数yf(x)的导函数在区间[a,b]上是增函数，则函数yf(x)．．．在区间[a,b]上的图象可能是()A．B．C．D．ababa〔福建卷11〕假设函数yf(x)的图象如右图，那么导函数yf(x)的图象可能是()〔2023年福建卷12)函数y=f(x),y=g(x)的导函数的图象如以下图，那么y=f(x),y=g(x)的图象可能是〔〕(2023f’(x)f(x)的导函数，将yf(x)和yf’(x)的图像画在同一个直角坐标系中，不行能正确的选项是〔〕9B．C．D．16.(湖南省株洲市2023届高三其次次质检)函数则〔〕yf(xyf(x)的图像如下，函数f(x)有1个极大值点，1f(x22函数f(x)有3个极大值点，1个微小值点函数f(x)有1个极大值点，3个微小值点函数17.(2023珠海质检理)函数f(x)的定义域为(a,bf(x)在(a,b)〕(A).1(B).2(C).3(D).4118.【湛江市·f