2023学年完整公开课版正弦2

锐角三角函数本章内容第4章4.1.1正弦和余弦

（第一课时：正弦）

——授课人：州门司中学许娉婷这是我们高椅岭的一座山峰，山脚与顶峰的海拔差约为20米，上山顶的路只有一条65度左右的陡坡可以登顶，是户外运动者青睐之地，也是大家俯瞰高椅岭的最佳观赏之地。

若从山脚到顶峰需要修建一条护栏，护栏大约长多少米？亲爱的同学们，从上述情境中，你可以找到一个什么数学问题呢？能否结合数学图形把它描述出来？情境导入表述为：在Rt△ABC中，已知65°锐角A的所对的边BC=20m，

求斜边AC的长。

AB65°20mC思考：我们可以用学习过的知识来计算出斜边AC的长吗？分小组进行活动：操作步骤：1.在AM上取一点B2.作BC垂直与AN于C3.测量BC、AB的值4.填表小组之间互相交流，看看计算出的比值是相等（精确到0.1）的吗？我们再来试一试锐角30°的对边比斜边的比值是多少？（请同学们拿出30°角的直角三角板）合作探究AMN65°65°的锐角第一组第二组第三组第四组BCABBC/AB的比值结论：在有一个锐角为65º的直角三角形中，65º角的对边与斜边的比值约等于0.9，是一个常数。30°角的对边与斜边的比值等于1/2.也是一个常数。小组交流，探究讨论思考：若把65º、30°的角换成任意一个锐角α，则这个角的对边与斜边的比值是否也是一个常数呢？你能运用相似三角形的知识加以证明吗？

如图4－2，△ABC

和△DEF

都是直角三角形，其中∠A＝∠D＝α，∠C=∠F=90°，则

成立吗？为什么？探究新知∵∠A=∠D=α，∠C=∠F=90°，∴Rt△ABC∽Rt△DEF.在有一个锐角等于α的所有直角三角形中，角α的对边与斜边的比值是一个常数，与直角三角形的大小无关，所以可把角α的对边与斜边的比值看成角α的函数.师生归纳通过上面问题的探讨，谈谈你的收获是什么？结论定义

在直角三角形中，锐角α的对边与斜边的比叫作角α的正弦，记作sinα，即

1.sina

是在直角三角形中定义的,∠a是锐角(注意数形结合,构造直角三角形).2.sina是一个完整的符号,如：sina不是sin与a的乘积,而是一个整体,表示∠a的正弦。3.sina是线段的一个比值.注意比的顺序,且0﹤sina﹤1,无单位.4.sina

的大小只与∠a的大小有关,而与三角形的大小无关.说明

角的对边斜边举例如图4-3，在直角三角形ABC中，∠C=90°，

BC=3，AB=5.（1）求sinA的值；图4-3解:∠A的对边BC=3，斜边AB=5.于是（2）求sinB的值．解:∠B的对边AC，根据勾股定理，得图4-3AC2=AB2-BC2

=52-32

=16.于是AC=4.因此同步练习1.如图4-4，在直角三角形ABC中，∠C=90°，

BC=5，AB=13.（1）求sinA的值；（2）求sinB的值．答：答：图4-42.如图，在平面直角坐标系内有一点P（3，4），连接OP，求OP与x轴正方向所夹锐角α的正弦值.解：

平面直角坐标系内点P的坐标为（3，4），

连接OP，由勾股定理得OP=5，角α的对边是直角边，边长为4，而斜边长OP为5，∴这是我们高椅岭的一座山峰，山脚与顶峰的海拔差约为20米，上山顶的路只有一条65度左右的陡坡可以登顶，是户外运动者青睐之地，也是大家俯瞰高椅岭的最佳观赏之地。

若从山脚到顶峰需要修建一条护栏，护栏大约长多少米？在RT△ABC中，已知65°锐角A的所对的边BC=20m，

求斜边AC的长（结果保留整数）。解在Rt△ABC中,BC=20m，∠A=65º，Sin65°=答：护栏大约长22米。拓展延伸

如图，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，小方格的每一个单位为1，则sinB=?

．解：过点A做AD⊥BC的延长线交于点D.由勾股定理可得：AB²=3²+3²=18所以AB=sinB=直角三角形中sinα有单位吗？大小与什么有关？如果sinα越大，比值呢？正弦的定义：在直角三角形中，锐角α