《三角形面积的计算》教案

注重操作探究促进思维培养——关于《三角形面积的计算》一课的案例研究执教者：鼓楼第一中心小学何彩明上课时间：20XX年9月20日使用班级：鼓楼第一中心小学五年（7）班【案例背景】：1、教材背景：本课是小学数学人教版五年级上册第三单元的内容，它是在学生已经学习了正方形、长方形、平行四边形等面积的基础上，以及建立了底和对应高的关系，懂得了转化的思想方法，掌握了剪拼等技巧的基础上进行教学的。该教材为学生后续探究梯形、圆、圆柱等几何图形的面积、体积计算方法打下基础。2、学情背景：该班级的学生思维活跃，回答问题积极，动手能力较强，基础比较踏实。操作技能比较好，探究意识比较强。但是多数学生还没有养成先听清楚操作的目的与任务要求再动手操作探究的习惯，自我意识还是比较强，个性分明。在知识技能上，该班学生已经学过了“完全一样”“底和高对应的关系”等知识，但还未学习什么是“对角线”“中位线”数学的术语，因此在表述中不要求用这些特定的数学语言进行描述。【设计意图】本课是研究探究性学习的一个比较典型的案例。《数学课程标准》指出：学生的数学学习活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上。动手实践，自主探索，合作探究以及注重培养学生的思想方法应是本课的设计理念。【学习目标】1、通过操作让学生主动探索三角形面积的计算公式，经历三角形面积计算公式的探索过程，进一步感受转化的数学思想。2、使学生理解三角形面积的计算公式，能正确地计算三角形的面积。3、通过操作、观察、比较，培养学生的抽象、概括和推理能力，发展学生地空间观念。【教学重点】：理解、掌握三角形面积的计算公式。【教学难点】：理解面积公式的推导过程。【学具准备]：1、色笔双面胶2、正方形、长方形、平行四边形各两个。3、相关媒体课件。【教学策略】复习铺垫，激发学生动手实践，自主探索。【教学故事】：《以旧迎新，预设铺垫》由于教材安排的特殊位置，所以新课刚刚开始，学生就先回忆已经学习了那些平面图形的面积计算？计算方法分别是什么？为新知的探究埋下伏笔。同时再复习平行四边形计算公式的推导过程，有意识的渗透给学生的转化思想、剪拼等技能，为后续探究打下基础。《问题启动，探究新知》接着让学生再思考生活中还会遇到哪些平面图形面积的计算，从而引出了课题。接着让学生猜想三角形面积可能怎么计算时？这时有个学生就说：可能是底乘高除以2，我顺势抓住这个时机，启发学生：到底是不是这样？如果是又为什么呢？在这个问题的驱动下，我就让学生选择一个喜欢的图形（正方形，长方形。平行四边形）在上面任剪一刀，剪出两个三角形；并思考：剪出的两个三角形有什么特点？它与原来的图形有什么样的关系？在唧唧喳喳的15分钟操作过后，学生开始汇报了：（在展示台前）生1：我选择了正方形的图形，沿着斜斜的边剪下两个三角形，这两个三角形大小相等，形状一样。它是原来图形面积的一半。（在我的引导帮助下，第一个学生结结巴巴的表达清楚了。同时也引导他说出形状大小一样也就是完全相同。）在学生断断续续的介绍后，我又在黑板上演示了一遍。并引导他们发现：边长相当于三角形的底，还有一条边长相当于三角形的高，那么三角形的面积用自己的名称来表示的话应该是：底乘高除以2。这一环节大约用了5分钟汇报结束。师：那么选择长方形的同学来汇报一下，你是怎么做的，发现了什么？其他同学也认真看一下，你在她的操作中也发现了什么？在这一环节及平行四边形的汇报中基本上与上一环节是一样的，都是发现两个三角形完全一样，每个面积是原来图形面积的一半，同时再发现底和高与原来图形边之间的关系，从而都推导出三角形的面积等于底乘高除以2。接着学生就概括了三角形面积的计算方法是：底乘高除以2。师：底乘高表示什么？生：可以表示正方形、长方形、平行四边形的面积。师：我们学习了，正方形、长方形都是特殊的平行四边形。所以，你认为应该选择那个图形更具有代表性？生：平行四边形。师：因此底乘高表示什么？除以2呢？在这里学生总不能完整地表达出三角形面积是等底等高的平行四边形面积的一半，我开始着急了，并选了大小不一的两个三角形、平行四边形进行比较，最后在老师的启发下，明白了要除以2是等底等高的三角形面积。并让多位学生重复了一遍，全班再完整的读了一遍。接着我再让学生用剪下的三角形用拼不同的平面图形的方法进一步验证三角形面积公式，体验等底等高关系。学生汇报，教师用课件演示拼的方法，渗透旋转、平移的学习方法，进一步理解底乘高、除以2的意义。最后让学生自己说出字母公式的写法。《层次练习，拓展延伸》有了对新知的充分感知后，在练习环节里，我主要采取了尝试的教学方法，安排学生练习了例题1，进一步理解巩固三角形的面积计算方法。同时还安排了开放性的练习：有一条红领巾对折后，量的它的底约长9分米，高4分米，那么它的面积是多少平方分米？4分米5分米由于时间的关系，对于课前还准备的一道判断题、底高对应的练习题没有完成。最后再引导学生从知识、学法、情感上进行评价总结。【教后反思】《课标》强调：数学知识、思想和方法必须由学生在现实的数学实践活动中理解和发展，而不是单纯地依靠教师的讲解或机械的训练去获得。本课的教学依据了新的教学理念、新的教学思想、采用了新的教学方法与手段进行的。教学过程首先关注的是每一个活动过程能否使学生的学习能力有所提高，能否促进学生的发展。反思教学过程，我认为教师关注了学生新旧知识的联系、综合应用知识和提高实践能力的培养，基本上完成了预设的教学目标。1、教材的处理：三角形面积计算公式的推导，是研究探究性学习的一个比较典型的案例。引用上海教育科学研究院杨玉东博士的话应该是属于高水平的任务，为了保持和降低要求，完成高水平的任务，根据《数学课程标准（实验稿）》指出：“数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上。”所以我调整了教材的呈现方式，根据高年级学生的认知特点，新课开始我就复习已学知识，并建构起一张知识网络，从而形成良好的认知结构，这既是复习的一个重要目标也节省出时间，留给学生更多的体验空间与时间。从学生的最近发展区精心组织材料、教学设计合理，充分体现以学生为本，摆正了教师在“新课程标准”体系下的地位。

2、转变学习方式，注重实践操作。

现有的数学教学存在学生喜欢“烧中段”的现象产生，学生对“解决一道教师布置的难题”的欣喜感和兴趣远大于猜测、试误、探究等活动的愉悦感，而数学实质上是人们常识的系统化，因而学生可以通过自己的实践活动来获得这些知识；数学教学就是对学生进行“有指导的再创造”的过程，而不是“违反教学法的颠倒”的灌输过程。只有经历动手解决问题，进行一次次的重新创造，学生才会得到真正发展。《义务教育阶段国家数学课程标准（实验稿）》指出：“有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿于记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。”“数学学习过程充满着观察、实验、模拟、推理等探索性与挑战性活动。教师要改变以例题、示范、解讲为主的教学方式，引导学生投入到探索与交流的学习活动之中。”因此在问题启动后，我先让学生用演绎后归纳的教学方法，通过剪，发现推导出计算方法，再通过拼进行验证，努力创建有利于学生主动探索的数学学习环境，关注学生的自主探索与合作学习。这一环节，把动手实验引进数学课堂，不仅培养了学生的动手实践能力，而且渗透了操作方法多样化、解决问题方法多样化，使学生获得积极的情感体验，感受数学的力量，同时掌握了必要的基础知识与基本技能。

3、注重质疑问难，培养问题意识。

陶行知先生说：学以致用，然后知不足。从学反思，我们深深体会到：解决问题是教学的重要任务，但不是唯一目的。实施没有问题的教育，忽视培养学生发现问题、提出问题的能力，这样既不利于形成问题意识，也不利于解决问题。爱因斯坦曾说过：“提出一个问题比解决一个问题更重要。”好奇是孩子的天性。对未知的事物充满了强烈的探究欲望。教师要善于保护这子种“热情”，引导他们通过观察、思考、想象，用数学的思维方式去发现蕴藏其中的数学问题，并主动提出问题，系统地分析问题，灵活地探索解决问题的方法和途径。所以在第一环节中，我让学生复习旧知，猜想三角形面积的计算方法后，再有针对性的在老师的指导下探究，显得比较自然、贴切，又不流于形式。但是，在猜想的过程中，有一个学生已经提出了三角形的面积计算方法可能是：底乘高除以2，我并没有继续追问：你为什么这样认为？怎么知道？只是老师说：那么是不是呢？是又为什么？不是又是什么而进行操作探究。这样处理就没有充分体现：问题由学生提，答案让学生找，从“要我学”为“我要学”。同时学生的主体位置还不够突出，教师牵引的现象还是比较明显。可是在备课、上课后中我却产生了一些困惑：1、教材是通过拼的方法探究计算方法的，那么学生怎么一开始就知道要“用两个完全一样的三角形拼成一个平行四边形”？从表面上看，学生动手操作了，实际上学生只是机械地拼一拼，没有自己的猜想和创造，这样的操作，学生只做了一次“操作工”。拼“两个完全一样的三角形”是怎么想到的，学生不得而知。而学具的准备过程中学生也是先剪呀，所以用剪、再拼的方法是否更好呢？如果是，时间上显然觉得少了些，又如何把握？在剪的过程中就发现计算方法，是否还要再拼，如果不要再拼，那么旋转法，拼合法又是否有必要渗透？2、在学生剪的过程中，是否有必要提供他们最近的认知发展方向即：剪一刀，剪出两个三角形。还是就让学生剪一刀，剪一个三角形呢？如果可以，那么学生探究的方式可能更多，比如可以中位线剪拼法，可以剪下一个角，剪出一个小三角形和一个多边形等等。那么在一节课中，让学生充分感知了，也许就会完不成任务，那么该如何处理呢？还有差生，他们是否也学到知识？3、课堂中是否要给学生更多表达的机会？还是说预设的任务可以随时调整？这真所谓：“外来”的经验和理念并不能立即适用于现实的课堂教学，多么完美的教学设计都要经受课堂教学实践的检验。【同行点评】：教师注重了学生的动手操作能力，注意培养学生的体验，动口表达，动脑思考。2、注重学生的自主参与学习的积极性，培养学生学习数学的情感。3、花了近30分钟的时间用演绎法概括出三角形面积计算方法，而花6分钟的时间用归纳法进行验证，这样的安排是否合理科学？4、是否多准备一些学具，不指定用剪的方法，而给他们提供更多探究的方法来寻找“公式”是不是更具有自主性？【教案再设计】教学内容：三角形的面积计算【教学内容和学习水平的分析与确定】：表1、知识点与认知水平确定编号知识点认知水平分析识记理解应用分析综合1三角形面积的计算方法√√2旋转、拼合法√√3等底等高、底高对应√表2：学习水平的具体分析知识点类学习水平认知内容描述学生行为动词1识记、应用三角形面积的计算方法动手操作，探究归纳2理解、应用旋转、拼合法动手操作3理解等底等高、底高对应操作感知，交流学习教学目标：1、通过操作让学生主动探索三角形面积的计算公式，经历三角形面积计算公式的探索过程，使学生明白事物之间是相互联系，可以转化和变换的，进一步感受转化的数学思想。2、使学生理解三角形面积的计算公式，能正确地计算三角形的面积。通过操作、观察、比较，培养学生的抽象、概括和推理能力，发展学生地空间观念。渗透爱国思想教育。教学重点：理解、掌握三角形面积的计算公式。教学难点：理解面积公式的推导过程。学具准备：1、色笔双面胶2、正方形、长方形、平行四边形各一个；直角、锐角、钝角三角形各两个。教具准备：电脑课件，相关平面图形纸片。教学过程：一、创设情境，导入新课1、同学们，你们了解胸前的红领巾的哪些知识呢？红领巾不仅仅代表红旗一角、烈士的鲜血，它更是一个时代的象征，象征着少年先锋队的前身——劳动童子团在艰苦的环境中一腔热情投入革命事业，经历了血与火的考验。这就是红领巾的由来。2、那么，你知道做这样的一条红领巾至少要多少布料吗？求这个问题实际上也是求三角形的面积是多少？那么有没有猜想到三角形的面积可以怎么计算呢？今天我们先来学习：《三角形面积的计算》好吗？（出示课题）3、回忆一下，我们已经学过的平行四边形的面积计算方法，它是从怎么推导出来的？【评析】创设的问题情境，具有丰富的生活信息，使学生有积极参与活动的愿望。问题来自生活，使学生觉得数学就在身边。目的是让学生留意身边的事，懂得学好数学就能解决生活中的实际问题。二、动手操作，探究新知1、今天老师想请同学们自己动手或小组合作，利用桌面上的长方形、正方形、平行四边形、各种三角形、剪刀等学具，运用前面学过的方法、知识，来探究一下到底三角形的面积该怎么计算呢？2、学生动手操作。3、小组交流，汇报结果。可能出现以下几种情况：数方格。剪的方法。（利用正方形剪，长方形剪，平行四边形剪，三角形的中位线剪，正方形剪一角等方法）拼合法（完全一样的两个三角形拼合等）4、归纳小结出三角形面积计算方法。5、理解三角形与平行四边形之间的关系，理解等底等高、对应关系。启发学生说出字母公式，指导书写与读法。【评析】生动有趣的操作使数学不枯燥化，而问题解决的操作过程不仅活跃了浓厚的课堂气氛，也降低了学习难度，学生在操作中不知不觉学到了数学的方法，探索解决数学问题的过程。使学生产生积极参与的愿望，觉得自主探索和动手操作活动是解决问题的好方法，明白获取多样化的解决问题的策略和探究方法的多样化，既强化了知识的应用又感悟了做数学的乐趣。

三、指导看书，完善新知。1、指导看书，填写完整。2、质疑问难，明确解决问题的多种渠道以及转化的思想。四、层次练习，深化应用。1、例1、一种零件有一面是三角形，三角形的底是6厘米，高是4厘米。这个三角形的面积是多少平方厘米？2、计算下面图形的面积。（单位：厘米）3、红领巾是少先队员的标志，国家对它的制作规格有明确规定：红领巾为等腰三角形，三边长应为60厘米、60厘米及100厘米，底边高是3分米。虽然对其用布材料没有规定，但红领巾用布必须能打结后成型。现在你知道做这样的一条红领巾至少要多少布料吗？4、你们你知道生活中还有哪些要用到三角形的面积计算方法呢？五、学法指导，总结评价。同学们，今天我们学习了三角形的面积计算方法，再来回顾一下，它的公式推导用了什么方法？其实在我们的生活中，有许多事物都有它的共性，而数学中的许多方法比如迁移，转化等对于我们思考问题，解决问题是有很大帮助的。有关三角形的面积计算方法的灵活应用等等知识，你们将会在以后与你们的老师继续学习。【评析】给学生留有广阔的合作交流、体验成功的机会。鼓励学生大胆的尝试、在动手实践中解决问题，创造了人人参与，人人成功的氛围。解决问题采用小组合作的方式，实践中人人动手，兴趣性强，评价交流，归纳总结，提高学生学习数学，解决实际问题的能力与解决参与活动的自信心。《三角形面积的计算》课堂实录鼓楼第一中心小学何彩明一、复习旧知、导入新课。师：同学们，我们已经学习过了那些平面图形面积的计算方法呢？生：正方形、长方形（师出示纸片）师：还有吗？生：平行四边形师：谁能进一步说说他们的面积怎么计算？生：正方形的面积等于边长乘以边长，长方形的面积等于长乘以宽，平行四边形的面积等于底乘高。（生说师板书）师：那么你们想想看，在我们的实际生活中，还会遇到哪些平面图形面积的计算？生1：三角形、圆形生2：梯形生3：椭圆形、菱形师：哦，还会遇到这么多的图形面积计算，那么今天就来学习其中的一种：三角形面积的计算，好吗？（板书课题）二：动手操作、合作探究。师：不过在学习新课之前，请你们回忆一下，昨天我们学习的平行四边形面积的计算方法是从什么公式推导出来的呀？生：是从长方形的面积计算公式推导出来的。师：是用什么样的方法推导出来的呀？生：通过实验，师：怎么实验？再请你来说说看生：用转化的方法。师：能具体说说怎么转化吗？生：把平行四边形通过割补法，变成长方形，再通过长方形的面积计算公式推导出来。师：那么有没有猜想到三角形的面积该怎么计算呢？生：底乘高除以2。师：那么是不是底乘高除以2呢？如果是又为什么，如果不是，那么又是什么呢？今天我们就带着这些问题一起动手探究一下三角形面积的计算方法。（这时学生开始动手了）师：同学们，你们先不要动手，要先听清楚老师的要求。请你们在准备好的正方形、长方形、平行四边形中选出一个你最喜欢的图形，在上面任剪一刀，剪出两个三角形，并观察：剪出的三角形有什么特点？它与原来的图形有什么样的关系？先做好的同学也可以同桌或小组交流一下，动手吧。生：动手操作。师：谁愿意来汇报一下，你们的操作过程与发现？生1：（展示台前操作）我选择了正方形，沿着斜斜的边剪一刀，剪出的两个三角形大小相等。它的面积是正方形面积的一半。（板书：除以2）师：斜斜的边，也叫对角线，以后你们就会学到。（追问）你是怎么知道三角形的面积相等？（引导学生重合，说明形状、大小完全一样，面积相等）师：那么你说三角形的面积怎么求？生1：边长乘边长除以2。生2：（不同意见）应该是积除以2。师：谁也选择了正方形，你们有发现这些吗？再仔细观察，这个三角形与正方形还有什么联系？（在老师的引导下，学生边表述，师边板书）生3：正方形的边长就是三角形的底、高。师：那么三角形的面积用自己的名称来表示的话，应该是什么呢？生4：底乘高除以2。师：还有选择其他图形的吗？生5：我选择了长方形，这样剪，（演示）剪出了两个完全一样的三角形，三角形的面积是原来长方形面积的一半。生6：所以三角形的面积是长乘宽除以2。生7：也就是底乘高除以2。师：很好，掌声表扬他。还有吗？生8：我选择了平行四边形，这样剪一刀，剪出两个三角形。发现三角形的面积是平行四边形面积的一半。所以三角形面积是底乘高除以2。师：通过刚才的实验，同学们发现了三角形的面积等于边长乘边长除以2、长乘宽除以2、底乘高除以2。那么你们认为哪个公式更具有普遍性呢？生合：底乘高除以2。师：为什么？生9：因为长方形、正方形