中学数学-认识反比例函数的图像和性质

中学数学—认识反比例函数的图像和性质

问题：你还记得正比例函数y=kx(k≠0)的图象是什么样子吗?怎样得出来的?它的性质又是什么呢？正比例函数图象是一条过原点直线，通过描点法得来的。反例函数的图象是什么样子？又具有怎样的性质呢？活动一动脑思考函数图象性质图象经过一、三象限，y随x的增大而增大。k<0图象经过二、四象限，y随x的增大而减小。y=kx(k≠0)k>0xyOxyO活动二

例2画反比例函数与的图象。

分析：所要画的图象是反比例函数的图象，自变量的取值范围是x≠0，怎样取值比较恰当呢？动手画一画x………………1、自变量x需要取多少值?为什么?2、取值时要注意什么?1、在不知道图象的走向的情况下，取点越多越能反映图象的实际情况，但一般取8—12个值为宜应注意：1、自变量x≠0；2、自变量x的取值要对称3、自变量x的取值要便于计算和描点123456-1-2-3-4-5-6-1-1.2-1.5-2-3-66321.51.21

1

1.21.523

6

-6

-3

-2-1.5-1.2

-1函数图象画法：描点法1、列表；2、描点；3、连线。中学数学—认识反比例函数的图像和性质描点并连线:x…-6-5-4-3-2-1123456……-1-1.2-1.5-2-3-66321.51.21……11.21.5236-6-3-2-1.5-1.2-1…12345-1-3-2-4-51234-1-2-3-40-6-556xy中学数学—认识反比例函数的图像和性质想一想你认为作反比例函数图象时应注意哪些问题？列表时，自变量的值可以选取一些互为相反数的值,这样既可简化计算,又便于对称性描点;列表描点时,要尽量多取一些数值,多描一些点,这样既可以方便连线,又较准确地表达函数的变化趋势;连线时，一定要养成按自变量从小到大的顺序，依次用平滑的曲线连接,从中体会函数的增减性；……中学数学—认识反比例函数的图像和性质0xy0xy画一画一起看一看活动二动手画一画请模拟例2，在平面直角坐标系中画出反比例函数与的函数图像。中学数学—认识反比例函数的图像和性质活动三仔细看一看认真想一想0xy归纳：在同一坐标系内，反比例函数与（k为常数，且k≠0）的图象既关于x轴对称，又关于y轴对称，具有对称关系的两个反比例函数的值互为相反数。

仔细看看教材例2这两个函数图象在同一坐标系内的位置，想想它们之间有什么对称关系？中学数学—认识反比例函数的图像和性质活动三动手画一画

请同学们在你刚才画的图象里，再画出与中的另一个函数的大致图象。你一定能做到的，试试看：

0xy中学数学—认识反比例函数的图像和性质活动三看一看想一想议一议y=x6xy00xy0xy0xyk=6k=3k=-6k=-3k＞0k＜01、每个函数的图象是什么形状，有几支？函数有两条曲线，称为双曲线，有两个分支。中学数学—认识反比例函数的图像和性质y=x6xy0活动三看一看想一想议一议0xy0xy0xyk=6k=3k=-6k=-3k＞0k＜0

2、每个函数的图象所在的象限与k有什么关系？当k＞0时，图象在第一、三象限，当k＜0时，图象在第二、四象限。中学数学—认识反比例函数的图像和性质y=x6xy0活动三看一看想一想议一议0xy0xy0xyk=6k=3k=-6k=-3k＞0k＜03、在每一个象限内，y的值随x的值怎样变化？与k有何关系？当k＞0时，在每一个象限内，y随x的增大而减小；当k＜0时，在每一个象限内，y随x的增大而增大。中学数学—认识反比例函数的图像和性质y=x6xy0活动三看一看想一想议一议0xy0xy0xyk=6k=3k=-6k=-3k＞0k＜04、它们的图象会与坐标轴相交吗？为什么？

反比例函数的图象可无限接近两坐标轴，但永远不会与坐标轴相交。反比例函数是不是由k决定其性质呢?(x≠0,y≠0)中学数学—认识反比例函数的图像和性质活动四知识归纳函数正比例函数反比例函数解析式图象形状k＞0

位置增减性k＜0位置增减性y=kx(k≠0)直线双曲线一、三象限一、三象限y随x的增大而增大每个象限内，y随x的增大而减小每个象限内，y随x的增大而增大。y随x的增大而减小二、四象限二、四象限注意：1、双曲线越来越接近两坐标轴，但永远不会与坐标轴相交。2、在同一坐标系内，反比例函数与的图象既关于x轴对称，又关于y轴对称。中学数学—认识反比例函数的图像和性质活动四火炼真金中学数学—认识反比例函数的图像和性质活动四火炼真金（

）C中学数学—认识反比例函数的图像和性质活动四火炼真金3.已知k<0,则函数y1=kx,y2=

在同一坐标系中的图象大致是()xy0xy0xy0xy0(A)(B)(C)(D)Dxk中学数学—认识反比例函数的图像和性质活动四PK中考yxOA．yxOB．yxOC．yxOD．4、若点在函数（x＜0）的图象上，且，则它的图象大致是（）(2008年江西中考题）B中学数学—认识反比例函数的图像和性质例3:已知反比例函数的图象经过点A(2，6).(1)这个函数的图象分布在哪些象限?y随x的增大如何变化?(2)点B(3，4)、C(）和D（2，5）是否在这个函数的图象上？解：（１）设这个反比例函数为，解得：ｋ＝１２∴这个反比例函数的表达式为∵ｋ＞０∴这个函数的图象在第一、第三象限，在每个象限内，ｙ随ｘ的增大而减小。∵图象过点A（2，6）中学数学—认识反比例函数的图像和性质（２）把点Ｂ、Ｃ和Ｄ的坐标代入，可知点Ｂ、点Ｃ的坐标满足函数关系式，点Ｄ的坐标不满足函数关系式，所以点Ｂ、点Ｃ在函数的图象上，点Ｄ不在这个函数的图象上。例3:已知反比例函数的图象经过点A(2，6).(1)这个函数的图象分布在哪些象限?y随x的增大如何变化?(2)点B(3，4)、C(）和D（2，5）是否在这个函数的图象上？中学数学—认识反比例函数的图像和性质练习：1、反比例函数的图象经过（2，-1），则k的值为

；2、反比例函数的图象经过点（2，5），若点（1，n）在反比例函数图象上，则n等于（）A、10B、5C、2D、-6-1A中学数学—认识反比例函数的图像和性质3、下列各点在此曲线上的是（）A、（，）B、（，）C、（，）D、（，）B中学数学—认识反比例函数的图像和性质例4：如图是反比例函数的图象一支，根据图象回答下列问题：（1）图象的另一支在哪个象限？常数m的取值范围是什么？（2）在这个函数图象的某一支上任取点A（a，b）和b（a′，b′），如果a>a′，那么b和b′有怎样的大小关系？解：（１）反比例函数图象的分布只有两种可能，分布在第一、第三象限，或者分布在第二、第四象限。这个函数的图象的一支在第一象限，则另一支必在第三象限。∵函数的图象在第一、第三象限∴ｍ－５＞０解得ｍ＞５中学数学—认识反比例函数的图像和性质（２）∵ｍ－５＞０，在这个函数图象的任一支上，ｙ随ｘ的增大而减小，∴当ａ＞ａ′时ｂ＜ｂ′例4：如图是反比例函数的图象一支，根据图象回答下列问题：（1）图象的另一支在哪个象限？常数m的取值范围是什么？（2）在这个函数图象的某一支上任取点A（a，b）和b（a′，b′），如果a>a′，那么b和b′有怎样的大小关系？中学数学—认识反比例函数的图像和性质变式练习：1、在反比例函数的图象上有三点（x1，y1）、（x2，y2）、（x3，y3），若x1>x2>0>x3，则下列各式中正确的是（）A、y3>y1>y2B、y3>y2>y1C、y1>y2>y3D、y1>y3>y2A中学数学—认识反比例函数的图像和性质PDoyx2.如图,点P是反比例函数图象上的一点,PD⊥x轴于D.则△POD的面积为

.(m,n)1S△POD=

OD·PD

=

=中学数学—认识反比例函数的图像和性质思考：3、反比例函数上一点P（x0，y0），过点P作PA⊥y轴，PB⊥X轴，垂足分别为A、B，则四边形AOBP的面积为

；且S△AOP

S△BOP

。=中学数学—认识反比例函数的图像和性质4.如图,点P是反比例函数图象上的一点,过点P分别向x轴、y轴作垂线,若阴影部分面积为3,则这个反比例函数的关系式是

.xyoMNp中学数学—认识反比例函数的图像和性质1>S2

1<S2

1=S21和S2的大小关系不能确定.

CABoyxCDDS1S2中学数学—认识反比例函数的图像和性质A1=S2=S3

B.S1<S2<S3

C.S3<S1<S2

D.S1>S2>S3

BA1oyxACB1C1S1S3S2中学数学—认识反比例函数的图像和性质3