北京市七年级数学下学期期末三年（2020-2022）试题-07平行线的判定与性质（解答题中档题）

北京市七年级数学下学期期末三年（2020-2022）试题知识点

分类汇编-07平行线的判定与性质（解答题中档题）

1.（2022春•昌平区期末）如图1.直线与直线48、CD分别交于点E、M、F,Z1+

Z2=180°.

（1）请直接写出直线AB与CZ）的位置关系.

（2）如图2,动点P在直线48,8之间，且在直线左侧.连接EP,FP,探究/

AEP,NEPF.NP尸C之间的数量关系.

小明经过分析证明的过程如下：

过点P作PH//AB.

：.ZAEP=（两直线平行，内错角相等）.

'：AB//CD（已知）.

J.CD//PH（平行于同一条直线的两条直线2F平行）.

尸（两直线平行.内错角相等）.

NEPF=ZEPII+ZHPF,

（等量代换）.

请你补全上述的证明过程.

（3）小明进一步探究，分别作出NPE8和/PFZ）的角平分线，若两条角平分线交于点Q,

如图3.

①若NEP尸=90°.则NEQF=.

②探究NEPF与NEQF的数量关系，小明思路如下：

设NEPF=a,进一步可知NPEB+N尸F£）=.（用含a的式子表示）.

设/E。/=0,用等式表示a与0的数量关系.

2.（2021春•北京期末）如图，AD1BC,垂足为。，EF±BC,垂足为点尸，ZE=Z3,求

证：是N8AC的平分线.请将下面的证明过程补充完整.

证明：'：ADLBC,EFYBC,（已知）

.•.N4=N5=90°,（垂直定义）

C.AD//EF,（）

.-.Z£=Z2,（两直线平行，同位角相等）

/3=.（）

,（已知）

/.，（等量代换）

.,•AQ是NBAC的平分线.（角平分线定义）

E

3.（2021春•怀柔区期末）已知：如图，AELBC,FGLBC,Z1=Z2,求证：AB//CD.

4.(2021春♦怀柔区期末)探究题

学习完平行线的性质与判定之后，我们发现借助构造平行线的方法可以帮我们解决许多

问题.

(1)小明遇到了下面的问题：如图1,人〃/2，点P在/1、/2内部，探究/A，ZAPB,

的关系.小明过点P作的平行线，可证/APB,ZA,之间的数量关系是：

NAPB=.

(2)如图2,若AC〃BD,点P在AC、8。外部，NA,NB,N4PB的数量关系是否发

生变化？

请你补全下面的证明过程.

过点P作PE//AC.

:.ZA=______

9：AC//BD

：.//

NB=______

NB%=NBPE-AEPA

(3)随着以后的学习你还会发现平行线的许多用途.

试构造平行线解决以下问题：

己知：如图3,三角形ABC,求证：N4+NB+NC=

5.(2021春•海淀区校级期末)已知，如图1,射线PE分别与直线A8,C。相交于E、F

两点，/PFQ的平分线与直线A8相交于点M,射线交C。于点N,设NPFM=a°,

ZEMFP且V80-2a+|p40|

o

（1）a=,p=；直线AB与C£）的位置关系是；

（2）若点G、H分别在直线MA和射线FM上，且NMGH=NPNF,试找出/FMN与

/GHF之间存在的数量关系，并证明你的结论；

（3）若将图1中的射线PM绕着端点P顺时针方向旋转（如图2）,分别与AB、CO相

交于点M和点M时，作的角平分线MiQ与射线相交于点Q,在旋转的过

程中：

①若PM1〃QF,则/FPM的大小为.

6.（2021春•平谷区期末）完成下面的证明：

己知：如图，AB//CD,AO和BC交于点。，E为04上一点，作交

AB于点F.

求证：ZEFA—AC.

证明：*/ZAEF=ZAOB,

：.//（）.

：.ZEFA=ZB.

\'AB//CD,

：.NB=NC.

:.NEFA=/C.

7.（2021春•东城区校级期末）如图，已知/l+N2=180°,Z3=ZB,则。E〃8C,下面

是王华同学的推导过程，请你帮他在括号内填上推导依据或内容.

证明：

VZ1+Z2=18O（已知），

Z1=Z4（）,

/.Z2+=180°.

J.EH//AB（）.

AZB=NEHC（）.

VZ3=ZB（已知）

：.Z3=ZEHC（）.

J.DE//BC（）.

8.（2021春•海淀区校级期末）填空（请补全下列证明过程及括号内的依据）

已知：如图，Z1=Z2,NB=NC.

求证：ZB+ZBFC=180°

证明：•••N1=N2（已知），

且N1=NCG£>(),

：.N2=4CGD(),

J.CE//BF(),

AZ=/C().

又,：2B=4C（己知）

/.Z=ZB(等量代换)，

：.AB//CD(),

AZB+ZBFC=180°().

9.（2021春•海淀区校级期末）已知，如图，BCE、AFE是直线，AB//CD,Z1=Z2,Z3

=Z4,求证：AD//BE.

10.(2021春•西城区校级期末)完成证明并写出推理根据：

已知，如图，Zl=132°,NACB=48°,Z2=Z3,FHLAB于H,

求证：CD1AB.

证明：；N1=132°,ZACB=48°,

/.Zl+ZACB=180°

：.DE//BC

：.Z2=ZDCB()

又；N2=/3

：.N3=/DCB

：.HF//DC()

:./CDB=NFHB.()

又

，NFHB=90°()

:.NCDB=°.

：.CDLAB.()

11.（2021春•石景山区校级期末）完成下面的证明:

(1)已知：如图1,AB//CD.

求证：N1+/3=18O°.

证明：'.'AB//CD(已知)，

.•./1+/2=180°(),

又•：/2=/3(),

.*.Zl+Z3=180°(),

(2)已知：如图2,AM//EF,Z1=ZB.

求证：Z2=ZC.

证明：=(已知)，

J.EF//BC(),

,JAM//EF(已知)，

：.AM//BC(),

AZ2=ZC().

12.(2020春•海淀区校级期末)完成下面推理过程：

如图，已知N1=N2,NB=/C,可推得AB〃CD理由如下:

VZ1=Z2()

且N1=/CG£>(),

N2=NCGD()

J.CE//BF().

AZ=NC().

又「/"NC()

Z=ZB()

J.AB//CD().

13.(2020春•东城区校级期末)完成下面的证明：

已知：如图，AB//DE,求证：ZD+ZBCD-ZB=180°,

证明：过点C作C尸〃A8.

,JAB//CF(己知)，

AZB=().

'：AB//DE,CF//AB(已知)，

J.CF//DE()

AZ2+=180°()

；N2=NBCD-ZL

.'.ZD+ZBCD-ZB=180°().

14.（2020春•西城区校级期末）如图，点。在直线AB上，OCLOD,NEQ。与N1互余,

O尸平分/CO。交DE于点F.

（1）补全图形；

（2）若NOFD=7Q。，补全如下求N1度数的过程.解：

'：OC±OD,

：.ZCOD=9Q°,

直线AB,

：.ZBOD=\SO°-Z1-ZCOD=90°-Zl.

•.•NE。。与N1互余，

：.ZEDO=ZBOD（依据：）,

：.ED//AB（依据：）.

VZOFD=70°,

=ZOFD=70°.

；OF平分/COO,

：.ACOF==45°,

/1=ZFOA-NCOF=.

15.（2020春•海淀区校级期末）如图，已知AO1.8C于点。，EG_LBC于点G,/E=/3,

则是N8AC的平分线吗？若是，请说明理由.

E

16.（2020春•东城区期末）阅读下面材料：

彤彤遇到这样一个问题：

已知：如图甲，AB//CD,E为AB,CC之间一点，连接BE,DE,得到NBED

求证：NBED=NB+ND.

彤彤是这样做的：

过点E作EF//AB,

则有

'JAB//CD,

：.EF//CD.

：.ZFED=ZD.

：.ZBEF+ZFED=NB+ND.

即NB££）=NB+N£>.

请你参考彤彤思考问题的方法，解决问题：如图乙.

已知：直线a〃6,点A,8在直线。上，点C,。在直线6上，连接AD,BC,BE平分

ZABC,OE平分NAQC,且BE,OE所在的直线交于点E.

（1）如图1,当点8在点A的左侧时，若NABC=60°,ZADC=70°,求NBE£）的度

数；

（2）如图2,当点B在点A的右侧时，设乙4BC=a,ZADC=p,直接写出的度

数（用含有a,p的式子表示）.

RB

~T-------a_______1?

CDDCbDC

[§1图2

图甲图乙

17.（2020春•西城区期末）如图，在△ABC中,点O,E在AB边上，点F在AC边上，EF

〃£>C,点，在BC边上，且/1+/2=180°.求证：NA=NBDH.

请将下面的证明过程补充完整：

证明：'CEF//DC,

AZ2+Z_______=180°.（理由：_______:）

VZl+Z2=180°,

AZ1=Z_______.

..._______//_______.（理由：_______）

・・・ZA=ZBDH.

BH

参考答案与试题解析

1.【解析】解：（1）AB〃CQ,理由如下：

；NBEF=N1,ZDFE=Z2,Nl+/2=180°

AZBEF+ZDFE^Z1+Z2=180°,

:.AB"CD；

（2）过点P作P”〃AB.

.../AEP=NEP/7（两直线平行，内错角相等）.

,JAB//CD（已知）.

：.CD//PH（平行于同一条直线的两条直线2尸平行）.

...NPFC=NHPF（两直线平行.内错角相等）.

,/NEPF=ZEPH+ZHPF,

：.NEPF=ZAEP+NPFC（等量代换）.

【答案】NEPH；ZEPF=ZAEP+ZPFC；

（3）①由（2）得：ZEPF=ZAEP+ZPFC,

•；NEPF=90°,

/.ZAEP+ZPFC^90°,

VZPEB=180°-ZAEP,ZPFD=180°-NPFC,

：.ZPEB+ZPFD=360°-（ZAEP+ZPFC）=270°,

,/EQ平分ZPEB,FQ平分/PFD,

NPEQ=L/PEB,NPFQ=LNPFD,

22

：.ZPEQ+ZPFQ=1（NPEB+NPFD）=135°,

.•./EQF=360°-ZEPF-（NPEQ+NPFQ）=135°；

【答案】135°；

②设NEPF=a,

由①可得：NPEB+NPFD=360°-a,

设/EQF=0,

由①得：8=360°-a卷（360-a）=180°

【答案】360°-a,180°-W.

2

2.【解析】证明：XOLBC,EF18C,（已知）

AZ4=Z5=90°,（垂直定义）

J.AD//EF,（同位角相等，两直线平行）

:.NE=N2,（两直线平行，同位角相等）

Z3=Z1.（两直线平行，内错角相等）

VZE=Z3,（已知）

AZ1=Z2,（等量代换）

••.A0是NB4C的平分线.（角平分线定义）

【答案】同位角相等，两直线平行；Z1；两直线平行，内错角相等；ZE=Z3；Zl=

Z2.

3.【解析】证明：•.,AE_LBC,FG±BC,

：.ZAMB^ZGW=90",

：.AE//FG,

ZA=Z1；

又

4=/2,

4.【解析】解:(1)如图，过P作PE〃A，

'：l\//h，

：.PE//l\//h，

：.ZAPE=ZA,ZBPE=ZB,

：.NAPB=NAPE+NBPE=ZA+ZB,

【答案】ZA+ZB.

（2）如图2,过点P作PE〃AC.

・・・ZA=Z1,

9

：AC//BDf

：.PE//BD,

：.NB=NEPB,

VZAPB=ZBPE-4EPA,

：.ZAPB=ZB-Zl；

【答案】Zl,PE,BD,/EPB,ZAPB=ZB-Zl；

(3)证明：如图3,过点A作MN〃BC,

・・・NB=N1,ZC=Z2,

VZBAC+Z1+Z2=18O°,

AZBAC+ZB+ZC=180°.

5.【解析】解：(1)5-80-21+10-40|=0,

A80-2a=0,p-40=0,

.,.a=40,0=40,

•/FM是ZPFD的角平分线，

NMFE=NMFN=ZEMF=40°,

J.AB//CD,

【答案】40,40,AB//CD,

(2)NFMN+/G4F=180°或NFMN=/GHF,证明如下:

①当G点在M点左侧时,

YAB//CD,

:./PMA=/PNF,

■:NMGH=NPNF,

：.NPMA=NMGH,

:・GH〃PN,

：・/GHM=NFMN,

,：ZGHM+ZGHF=\SOQ,

AZFM7V+ZGHF=180°；

②当G点在M点右侧时，

:・/PMA=ZPNF,

・.,ZMGH=NPNF,

：.ZPMA=ZMGH,

:.GH〃PN,

：./FMN=/GHF；

综上，N尸MN与NG"/之间存在的数量关系为/bMN+NG”/=180°或NFMN=/

GHF；

(3)①・；PMi〃QF,

：./FPNi=/PFQ,

由(1)知N尸网2=40°,

：.ZFPN\=40°,

【答案】400；

②如图2,作的角平分线交Mi。于R,

o

图2

,JAB//CD,

：.ZPEB=ZPFD,

■:ER平分4PEB,FQ平分NPFD,

NPER=LNPEB,NPFQ=LNPFD,

22

：.ZPER=ZPFQ,

：.ER//FQ,

:.NQ=NERMi，

'：NREB=NRM1E+/ERM1,/PEB=ZPMiE+ZM\PE,

又平分NPMiE,

：.ZRM\E^^ZPM\E,

2

NREB=LNPEB,

2

.,.AZP£B=AZPMI£+AZMIPE,

222

即NERMI=JLNMIPE,

2

:.NQ=L/FPN1,

2

【答案】2.

6.【解析】证明：：NAEF=NAOB,

J.EF//OB（同位角相等，两直线平行）,

:"EFA=4B.

,:AB〃CD,

；.NB=NC（两直线平行，内错角相等）.

：.ZEFA=ZC（等量代换）.

【答案】EF//OB,同位角相等，两直线平行，两直线平行，内错角相等，等量代换.

7.【解析】证明：•••/1+/2=180°（已知），Z1=Z4（对顶角相等），

二/2+/4=180°.

.'.EH//AB（同旁内角互补，两直线平行）.

.♦.NB=NE”C（两直线平行，同位角相等）.

VZ3=ZB（已知）

...N3=NEHC（等量代换）.

（内错角相等，两直线平行）.

【答案】对顶角相等；Z4；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同位角相等；

等量代换；内错角相等，两直线平行.

8.【解析】证明：=（已知），

且/1=/CG。（对顶角相等），

：.Z2=ZCGD（等量代换），

...CE〃BF（同位角相等，两直线平行），

...NBF£>=NC（两直线平行，同位角相等），

又（己知）

:.NBFD=NB（等量代换），

.•.AB〃CD（内错角相等，两直线平行），

AZB+ZBFC=180°（两直线平行，同旁内角互补）.

【答案】对顶角相等；等量代换；同位角相等，两直线平行；BFD-,两直线平行，同位

角相等；BFD；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补.

9.【解析】证明：'.'AB//CD,

：.N4=NBAE.

•；/3=/4,

：.Z3=ZBAE.

VZ1=Z2,

：.Z1+ZCAE=Z2+ZCAE即

:.AD〃BE.

10.【解析】证明：VZ1=132°,NACB=48°,

.,.Zl+ZACB=180°

J.DE//BC

：.N2=NDCB（两直线平行内错角相等）

又；Z2=Z3

：.Z3=ZDCB

：.HF//DC（同位角相等两直线平行）

...NCO8=/FHb（两直线平行同位角相等）

又

:.NFHB=90°（垂直的定义）

:.NCDB=90°.

...CZ>_LA&（垂直的定义）

【答案】两直线平行内错角相等；同位角相等两直线平行；两直线平行同位角相等；垂

直的定义；90；垂直的定义.

11.【解析】（1）证明：•..AB〃CZ）（已知），

.../1+/2=180°（两直线平行，同旁内角互补），

又•••/2=/3（对顶角相等），

.,.Zl+Z3=180°（等量代换），

（2）证明:VZ1=ZB（已知）,

...EF〃BC（同位角相等，两直线平行），

,JAM//EF（已知），

：.AM//BC（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行），

，N2=/C（两直线平行，内错角相等）.

【答案】两直线平行，同旁内角互补；对顶角相等；等量代换；同位角相等，两直线平

行；两直线平行，内错角相等.

12.【解析】解：•••N1=N2（已知），且N1=NCG£>（对顶角相等）,

：.Z2=ZCGD（等量代换），

.•.CE〃BF（同位角相等，两直线平行）.

（两直线平行，同位角相等）.

又（已知）,

:.NBFD=NB（等量代换），

.•.AB〃CQ（内错角相等，两直线平行）.

【答案】已知，对顶角相等，等量代换，同位角相等，两直线平行，BFD,两直线平行,

同位角相等，已知，BFD,等量代换，内错角相等，两直线平行.

13.【解析】证明：过点C作C尸〃AB,

,JAB//CF（已知），

.•.NB=N1（两直线平行，内错角相等），

^ABZ/DE,CF//AB（已知），

J.CF//DE（平行于同一条直线的两条直线平行），

/.Z2+ZZ）=180o（两直线平行，同旁内角互补），

VZ2=ZBCD-Z1,

：.ZD+ZBCD-ZB=180°（等量代换），

【答案】Z1,两直线平行，内错角相等，平行于同一条直线的两条直线平行，ZD,两

直线平行，同旁内角互补，等量代换.

14.【解析】解：（1）如图所示，OF平分NCOD交DE于点F,

：.ZCOD=90°,

•.•直线AB,

.../80。=180°-Z1-ZCOD=90°-Z1.

,:NEDO与N1互余，

.•.NE£>O=NB。。（依据：同角的余角相等），

J.ED//AB（依据：内错角相等，两直线平行）.

VZ<9F£>=70°,

AZAOF=ZOFD=10°.

-OF平分/C