北师大版八年级数学下册各章知识点汇总

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第一章三角形的证明

一、全等三角形判定定理：

L三组对应边分别相等的两个三角形全等（SSS）

2、有两边及其夹角对应相等的两个三角形全意SAS）

3、有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）

4、有两角及一角的对边对应相等的两个三角形全簟AAS）

5、直角三角形全等条件有：斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL）

二、等腰三角形的性质

定理：等腰三角形有两边相等；（定义）

定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成"等边对等角"）。

推论1:等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这就是说，等腰三角形的顶角

平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。（三线合一）

推论2:等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°。

等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形；

三、等腰三角形的判定

1.有关的定理及其推论

定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形（简写成"等角对等边"。）

推论1:三个角都相等的三角形是等边三角形。

推论2:有一个角等于60。的等腰三角形是等边三角形。

推论3:在直角三角形中，如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半。

2.反证法：先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、公理、已证定理或已知条件

相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立。这种证明方法称为反证法

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四、直角三角形

1、直角三角形的性质

直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方；

在直角三角形中，如果一个锐角等于30。，那么它所对的直角边等于斜边的一半；

在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。

2、直角三角形判定

如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形；

3、互逆命题、互逆定理

在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命

题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题

如果一个定理的逆命题经过证明是真命题那么它也是一个定理这两个定理称为互逆定理,

其中一个定理称为另一个定理的逆定理

五、线段的垂直平分线角平分线

1、线段的垂直平分线。

性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；

三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。（外心）

判定：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

2、角平分线。

性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。（内心）

判定：在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。

3、逆命题、互逆命题的概念，及反证法

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第二章一元一次不等式与一元一次不筹式组

1.不等关系

2.不等式的基本性质

3.不等式的解集

4.一元一次不等式

5.一元一次不等式与一次函数

6.一元一次不等式组

一.不等关系

※上一般地用符号（或）,">"（或》）连接的式子叫做不等式

02.要区别方程与不等式：方程表示的是相等的关系;不等式表示的是不相等的关系.

X3.准确"翻译"不等式正确理解"非负数"、"不小于"等数学术语.

非负数<===>大于等于0（l）<===>0和正数<===>不小于0

非正数<===>小于等于0（40）<===>0和负数<===>不大于0

二.不等式的基本性质

※:L掌握不等式的基本性质并会灵活运用：

（1）不等式的两边加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变，即：

如果a>b,那么a+c>b+c,a-c>b-c.

（2）不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数不等号的方向不变，即

如果a>b,并且c>0,那么ac>bc,匕.

cc

（3）不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变即：

nh

如果a>b,并且c<0,那么ac<bc,一<一

CC

派2.比较大小:（a、b分别表示两个实数或整式）

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一般地:如果a>b,那么a-b是正数;反过来，如果a-b是正数，那么a>b;

如果a=b,那么a-b等于0;反过来，如果a-b等于0,那么a=b;

如果a<b,那么a-b是负数反过来，如果a-b是正数，那么a<b;

gp：a>b<===>a-b>0a=b<===>a-b=0a<b<===>a-b<0

（由此可见，要比较两个实数的大小，只要考察它们的差就可以了.

三.不等式的演

※:L.能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解;一个不等式的所有解，组成这个不等式的

解集;求不等式的解集的过程叫做解不等式.

派2.不等式的解可以有无数多个一般是在某个范围内的所有数与方程的解不同.

.不等式的解集在数轴上的表示：

用数轴表示不等式的解集时，要确定边界和方向：

①边界:有等号的是实心圆圈，无等号的是空心圆圈；

②方向:大向右，小向左

四次不等式

.只含有一个未知数且含未知数的式子是整式未知数的次数是1.像这样的不等式叫做

一元一次不等式.

派2.解一元一次不等式的过程与解一元一次方程类似特别要注意，当不等式两边都乘以一个

负数时，不等号要改变方向.

派3.解一元一次不等式的步骤：

①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；

⑤系数化为1（不等号的改变问题）

派4.一元一次不等式基本情形为ax>b（或ax<b）

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①当a>0时，解为x>2；②当a=0时，且b<0,则x取一切实数；

a

当a=0时，且八0,则无解;③当a<0时，解为x<2；

a

05.不等式应用的探索（利用不等式解决实际问题）

列不等式解应用题基本步骤与列方程解应用题相类似即：

①审：认真审题,找出题中的不等关系，要抓住题中的关键字眼如"大于"、"小于"、

"不大于"、"不小于”等含义

②设：设出适当的未知数③列：根据题中的不等关系，列出不等式；

④解：解出所列的不等式的解集;⑤答：写出答案,并检验答案是否符合题意.

五.TB一次不等式与一次函数

六.一56-次不等注

XI.定义：由含有一个相同未知数的几个一元一次不等式组成的不等式组叫做一元一次不

等式组.

派2.一元一次不等式组中各个不等式解集的公共部分叫做不等式组的解集如果这些不等式

的解集无公共部分，就说这个不等式组无解.

几个不等式解集的公共部分，通常是利用数轴来确定.

派3.解一元一次不等式组的步骤：

Q）分别求出不等式组中各个不等式的解集

（2）利用数轴求出这些解集的公共部分，即这个不等式组的解集.

两个一元一次不等式组的解集的四种情况（a、b为实数，且a<b）

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一元一次不等式解集图示叙述语言表达

x>a

«x>b------------J------------------->两大取较大

x>bab

x<aJJ

*x>a---------------------------------------------->两小取小

x<ba-b

x>a

a<x<b----------------1-------------->大小交叉中间找

x<bab

在大小分离没有

x<aJ

«无解--------------------------------——>解

x>ba-b

（是空集）

第H9图形的好与除

一、平移定义和规律

1平移的定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平

移。

关键：a.平移不改变图形的形状和大也不会改变图形的方向，但改变图形的位置）.b.

图形平移三要素：原位置、平移方向、平移距离。

2平移的规律（性质）：经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等、对

应角相等。

注意：平移后，原图形与平移后的图形全等。

3简单的平移作图：

平移作图要注意：①方向；②距离。整个平移作图，就是把整个图案的每一个特征点按一定

方向和一定的距离平行移动。

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二、旋转的定义和规律

1旋转的定义：在平面内，将一个图形饶一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运

动称为旋转。这个定点称为旋转中心；转动的角称为旋转角。

关键：a.旋转不改变图形的形状和大小（但会改变图形的方向，也改变图形的位置）。

b.图形旋转四要素：原位置、旋转中心、旋转方向、旋转角。

2旋转的规律（性质）：

经过旋转，图形上的每一个点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度，任意一对对应点

与旋转中心的连线所成的角都是旋转角，对应点到旋转中心的距离相等。

（旋转前后两个图形的对应线段相等、对应角相等。）注意：旋转后，原图形与旋转后的图

形全等。

3简单的旋转作图：

旋转作图要注意：①旋转方向；②旋转角度。

整个旋转作图就是把整个图案的每一个特征点绕旋转中心按一定的旋转方向和一定的旋转

角度旋转移动。

三、中心对称

1.中心对称的有关概念：中心对称、对称中心、对称点

把一个图形绕着某一点旋转180°,如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于

这点对称，也称这两个图形成中心对称，这个点叫做对称中心，两个图形中的对应点叫做对

称点。

2.中心对称的基本性质：

（1）.成中心对称的两个图形具有图形旋转的一切性质。

（2）.成中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。

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3.中心对称图形的有关概念：中心对称图形、对称中心

把一个平面图形绕某一点旋转180°,如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么

这个图形叫做中心对称图形。这个点就是它的对称中心。

4、中心对称与中心对称图形的区别与联系

如果将成中心对称的两个图形看成一个图形，那么这个整体就是中心对称图形；反过来，如

果把一个中心对称图形沿着过对称中心的任一条直线分成两个图形那么这两个图形成中心

对称。3.图形的平移、轴对称（折叠）、中心对称（旋转）的对比

5、图案的分析与设计①首先找到基本图案，然后分析其他图案与它的关系，即由它作

何种运动变换而形成。②图案设计的基本手段主要有：轴对称、平移、旋转三种方法。

第四章因式分解

1.因式分解

2.提公因式法

3.公式法

-因式分解

※工把一个多项式化成几个整式的积的形式这种变形叫做把这个多项式分解因式

X2.因式分解与整式乘法是互逆关系.

因式分解与整式乘法的区别和联系：

Q）整式乘法是把几个整式相乘化为一个多项式；

（2）因式分解是把一个多项式化为几个因式相乘

提公共因式法

※上如果一个多项式的各项含有公因式那么就可以把这个公因式提出来从而将多项式化

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成两个因式乘积的形式.这种分解因式的方法叫做提公因式法.

如：ah+ac-a(h+c)

X2.概念内涵：

⑴因式分解的最后结果应当是"积"；

(2)公因式可能是单项式，也可能是多项式；

(3)提公因式法的理论依据是乘法对加法的分配律即：ma+mb-me=m(a+h-c)

易错点点评：

(1)注意项的符号与幕指数是否搞错;(2)公因式是否提"干净"；

(3)多项式中某一项恰为公因式才是出后，括号中这一项为+L不漏掉.

三公式法

※上如果把乘法公式反过来就可以用来把某些多项式分解因式.这种分解因式的方法叫做

运用公式法.

X2.主要公式:(1)平方差公式：“2-。2=(a+/?)(&-。)

(2)完全平方公式：«2+2ab+b2=(a+b)i

a2-2ab+b2—(a-b)2

03.易错点点评:因式分解要分解到底.如X4-y4=(X2+y2)(》2->2)就没有分解到底.

※从运用公式法：

Q)平方差公式：

①应是二项式或视作二项式的多项式

②二项式的每项(不含符号)都是一个单项式(或多项式)的平方;③二项是异号.

(2)完全平方公式：

①应是三项式;②其中两项同号，且各为一整式的平方；

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③还有一项可正负，且它是前两项幕的底数乘积的2倍.

X5.因式分解的思路与解题步骤：

Q)先看各项有没有公因式,若有以11先提取公因式；

(2)再看能否使用公式法；

(3)用分组分解法，即通过分组后提取各组公因式或运用公式法来达到分解的目的

(4)因式分解的最后结果必须是几个整式的乘积否则不是因式分解；

(5)因式分解的结果必须进行到每个因式在有理数范围内不能再分解为止

(补充)

分组分解法：

※上分组分解法:利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法

如：am+an+bm+bn=a(m+n)+b(m+n)=(a+b)(m+n)

米2.概念内涵：

分组分解法的关键是如何分组要尝试通过分组后是否有公因式可提并且可继续分解,

分组后是否可利用公式法继续分解因式

X3.注意：分组时要注意符号的变化.

十字相乘法：

XI.对于二次三项式ax2+bx+c,将a和c分别分解成两个因数的乘积a=aa,

12

c=cc,且满足。=ac+ac彳主往写成a2c2的形式，将二次三项式进行分解.

I21221

如：ax2+/?%+C=(QX+cXQX+c)

1122

派2.二次三项式X2+px+q的分解：

p=a+bq=ahix/a九2+px+q=(x+a)(x+b)

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派3.规律内涵：

⑴理解把X2+px+q分解因式时，如果常数项q是正数，那么把它分解成两个同号因

数，它们的符号与一次项系数p的符号相同.

(2)如果常数项q是负数那么把它分解成两个异号因数其中绝对值较大的因数与一次

项系数p的符号相同对于分解的两个因数还要看它们的和是不是等于一次项系数

P-

※从易错点点评：

Q)十字相乘法在对系数分解时易出错；

(2)分解的结果与原式不等，这时通常采用多项式乘法还原后检验分解的是否正确

第五章分式与分式方程

1.分式的定义：如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子2叫做分式。

B

1)分式与整式最本质的区别：分式的字母必须含有字母,即未知数；分子可含字母可

不含字母。

2)分式有意义的条件：分母不为零，即分母中的代数式的值不能为零。

3)分式的值为零的条件：分子为零且分母不为零

2.分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变。

用式子表示B、C为整式(C/0)

BBC

注：(1)利用分式的基本性质进行分时变形是恒等变形，不改变分式值的大小，只改

变形式。

(2)应用基本性质时，要注意CNO,以及隐含的B/0。

(3)注意"都"，分子分母要同时乘以或除以，避免只乘或只除以分子或分母的部

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分项，或避免出现分子、分母乘除的不是同一个整式的错误。

3.分式的通分和约分：关键先是分解因式

1）分式的约分定义：利用分式的基本性质，约去分式的分子与分母的公因式，不改变

分式的值。

2）最简分式：分子与分母没有公因式的分式

3）分式的通分的定义：利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式,不改变

分式的值，把几个异分母的分式化成分母相同的分式。

4）最简公分母：取‘各个分母”的"所有因式”的最高次幕的积做公分母，它叫做最

简公分母。

4.分式的符号法则

分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个分式的值不变。用式子表示为

注：分子与分母变号时，是指整个分子或分母同时变号，而不是指改变分子或分母中的

部分项的符号。

5.分式的运算：

1）分式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为分母。

2）分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。

acacacadad

_._=__,__+_=_•_=__

bdbdbdbcbe

3）分式乘方法则：分式乘方要把分子、分母分别乘方。

4）分式乘方、乘除混合运算：先算乘方，再算乘除，遇到括号，先算括号内的，不含

括号的，按从左到右的顺序运算

5）分式的加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。

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异分母的分式相加减，先通分，变为同分母分式，然后再加减

aba±bacadbead±bc

­±_=-----，—士一=—±—=---------

cccbdbdbdbd

7.整数指数幕.

1）任何一个不等于零的数的零次幕等于1,即«0=Ka丰0）；

2）任何一个不等于零的数的-n次幕（n为正整数），等于这个数的n次幕的倒数，即

a-n=J_（”0）（2）-“=凸”

anab

注：分数的负指数幕等于这个分数的倒数的正整数指数幕。即

3）科学计数法：把一个数表示为axlOn（14|aI<10,n为整数）的形式，称为科学计数

法。

注：（1）绝对值大于1的数可以表示为axlOn的形式，n为正整数；

（2）绝对值小于1的数可以表示为axlO-n的形式，n为正整数.

（3）表示绝对值大于10的n位整数时，其中10的指数是〃-1

（4）表示绝对值小于1的正小数时，其中10的指数是第一个非0数字前面0的个数

（包括小数点前面的一个0）

4）正整数指数幕运算性质也可以推广到整数指数鬲.（m,n是整数）

（1）同底数的黑的乘法：。加・〃〃=;（2）幕的乘方：（。小）”=。析”；（3）积的

乘方：（出?）”=a^bn；

（4）同底数的幕的除法：〃加-7-an=am-n（a/0）;（5）商的乘方：（*〃=;（b

砌

8.分式方程：含分式，并且分母中含未知数的方程——分式方程。

1）增根：分式方程的增根必须满足两个条件：

（1）增根是最简公分母为0；（2）增根是分式方程化成的整式方程的根。

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2)分式方程的解法：

(1)能化简的先化简(2)方程两边同乘以最简公分母，化为整式方程；(3)解整式方程；

(4)验根.

注：解分式方程时，方程两边同乘以最简公分母时，最简公分母有可能为0,这样就

产生了增根，因此分式方程一定要验根。

分式方程检验方法：将整式方程的解带入最简公分母，如果最简公分母的值不为0,

则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解。

3)烈分式方程解实际问题

(1)步骤：审题一设未知数一列方程一解方程一检验一写出答案，检验时要注意从方程

本身和实际问题两个方面进行检验。

(2)应用题基本类型；

a彳亍程问题：基本公式：路程=速度x时间而行程问题中又分相遇问题、追及问题.

b.数字问题在数字问题中要掌握十进制数的表示法.

c.工程问题基本公式：工作量=工时x工效.

d•顺水逆水问题v顺水=v静水+v水,v逆水=v静水-v水.

e.相遇问题f.追及问题

相遇路程=速度和X相遇时间追及距离=速度差x追及时间

相遇时间=相遇路程+速度和追及时间=追及距离+速度差

速度和=相遇路程+相遇时间速度差=追及距离+追及时间

g流水问题h浓度问题

顺流速度=静水速度+水流速