多属性效用理论

11第八章多属性效用理论(Multi-attributeUtilityTheory)主要参考文献:92,68,86,118,129§8.1优先序一、二元关系1.无差异(Indifferentto)～2.(严格)优于(Strictpreferenceto)3.不劣于(preferenceofindifferenceto)可以用定义～，：A～BAB且BAABAB且非BA因此，在任何决策问题中，是偏好结构的根底，有必要假设关系的存在。至于是否确定实存在，那么取决于能否以直接或间接的方式找到构造的途径。在单目标问题，有时存在可测属性(或代用属性)如本钱、收益来衡量偏好，这时决策问题简化为各方案属性的比拟和排序。但在一般场合，需要用效用(价值)函数来度量偏好，在多目标决策问题中，即使各目标的属性值或效用，偏好次序仍不明确，还需作进一步研究。二、二元关系的种类(用R表示二元关系)传递性，假设xRy,yRz那么xRz那么吗自反杏性诞re磨fl在ec留ti臭vi选ty煤:太xR举x斗收非自怠反性形：帽(I好rr厦ef呢le庄xi痰vi饼ty愚)宜非萄xR喘x顶巾对称寒性怕(S当ym竿me拳tr涌y)吸假设格zR耽y,喷那么忽yR素x声丧非对肠称性趟(a愈sy扬mm户et境ry应)枝假设德xR复y西，那么昂非幅yR奇x卡挑反对郊称性挡(a升nt伞i-方sy主mm猜et裳ry今)当假设寸xR统y浴且息yR哥x素那么必耻有承x辣=勒y沈惩连通牲性匪(c匙on齐ne弹ct逮iv始it学y)蚂c故om龟pl妨et胀en羽es梅s,荡C盖om虾pa汽ra偷bi极li幻ty讯应蓝对许x,鉴y秩∈葱X谱x痛Ry嫌偶或左/暴和羊y典Rx性盐胜任何粒次序孝关系掠必须间满足剪传递病性倍.迎传递递性看粘似合弹理，喂实那么碗不然妈，例辞如，些姑葛20尾.0穴00气～盘20师.0徒01衡驼茎2缝0.跃00诵1幻～黄20盛.0侵02评烤畏…赶扭9铁9.富99牲9凯～绒10评0,镜金但是棍20补≠魄10练0垫鸡康连通茫性在资仔细房验证剥前也籍不能撞假设巷其成肿立投,锦叔因为错存在锋不可否比方蜘案牛;锅但是肌,怪假设将亡不可经比归伏入无佩差异收类，食连通腾性就惩可成务立筛.哑既旬连通酬性羊传递锐性排尽温扫完全尘序蛛§遗8.头2傅多属锁性价习值函拖数压一、扁价值姑函数诞的存词在性睬定理烧8.姑3尤潮X悬,聋野是康X朝上的游弱序痰，且论貌权①誓谊唱假设罚救≥露架象红掉;嫩得词②里术滔假设百葬风笔握那么谢型必存兄在唯轰一的慕0鹅＜祖λ河＜蹦1虑使飞～傻λ毒+(消1-窗λ驴)鼓;免闸那么存非在定叼义在液X问上的遇实值黄函数细v横，满集足低六解皆澡v虚(骡)疯＞饼v威(湾)汁括欧鸟景贸暂语借购拒碍支腾洪绳轧似迈沿插泽售v怜(蛾)蚀=成v(装)锦No纯te状:去1葡.符条件般①水为单脚调性椒(M戴on睡ot罪on伟ic群it优y)谈,照即酒支配托性阅(d老om订in伶an泛ce打):万的只要桨某一统属性宫值增供加偏拒好也修增加像.滋2.隆朋条件卧②倾为偏减好空收间的灶连续难性块(c曲on鱼ti虫nu隶it给y)头,舞即阿蛛基未王德性饺(A煎rc阴hi洗me赏de管an墙).腥3.阻v护(罩)=趟f(旦)夸f狐的形你式通削常十刺分复鹊杂，迅即使痕为线连性深v缴孝的形沃式仍沉十分惊复杂监.晚例：急,馆绸君的价岸值函斯数为泄线性样,究即岁:尼=k蹦1备姨赶=k束2将啄且浇k济2盆=1变.5恢k柴1锄,天但是约v锦(泛)尽≠波(问)+筒(寺)荒因此铃,赴价值代函数席的设翼定相馋当困减难悠.爱二、躺加性记价值蚕函数连1.素定义炕：讽密假设院v阿(慰)=汤,剧那么称闲价值仁函数思V(考)泊是加婶性的辜2.广加性邮价值础函数羡的存歼在条满件巴定理甩8.现6(湾P1根33懂)他(亦n机≥罩3)使定义冷在坡Y娃宗R掘上的浑价值英函数井v疼(允)=春v(畏)苍对任泥何芝婆’,先〞薄∈设Y交,喉’遗接〞筋if辫f辛v(肌’)辛≥怒v(强〞)礼那么属盯性集您满足恐互相搜偏好帜独立话条件出时当岂且仅气当存棒在定呼义在扫Y嘉,仔i=昆1,按…荡,n勉尤上的劳实值胶函数咐棕v兔使径川’蒸贡〞单(的’)辟+冰…形+永(祝’)眯穗≥天(袋〞)金+煌…台+晴(江〞)乳3.阀互相幼偏好打独立筑的定铃义：搁属性蜂集晴Ω侨称为往互相病偏好嚷独立梢,弓假设配Ω情的每羞个非牛定正找常子日集园Θ较偏好怠独立垃于其把补集冻(制Ω行=冶Θ苍U显)物4.压属性纸集倘Ω键的子筹集岔Θ杰偏好艇独立粗于其拜补集嫁的定蚀义烈(P能13扣0辫定义讲8.绢2)瞒插当且狮仅当窄：对刊特定婶的祸奴假设孟(桑’,趋)乞竹(臣〞,戚)挠那么对栽所有哑栽必有存(误’,拥)殊泛(钢〞,填)令称属淘性集叛Ω届的子丹集偏块好独幕立于岭其补腊集土.惜5.构两个撑属性渠的加活性定帐理及准偏好等独立提(功定义岗8.术4替，定苹理玩8.协4)枯消去魂条件戒菠对阿,管,统,慌,风,斯有虾(膏,李)谜庭(抹,鲜),版(表,炒)赔幅(极,论)禽那么必惹有猴(裂,林)臂治(籍,版)轻那么称档冬满足劫消去累条件小.谎Th裳om弹so妹n隔条件虾葛将消流去条告件中救的纯蚂改为宁～毒.足三、经其他吨简单趣形式汉货1.版拟加娃性：城v(护)=乐+黄+竿拥朽谋+国…访+领耕(般)擦…症(疯)乳条件学予i乎=1匹,2摄,辈…厘,n办弱差谊独立船于其及补集趴(拨详见展p1愉35网,袋定义劝8.悬7)雪2.间乘性摸(p敞p1女36康-1秀37另)液假设属趋性集刃Ω浓的每抗个非渡室子灯集猜Θ惊弱差躬独立赞于其于补集珠,耕那么锹v(毅)=喷+k驾+雪招某注+演…铲+萍你(伪)盟…援(华)盘§挣8.境3爹多属肥性效霜用函忠数寻一、被二个书属性圈的效珍用函营数植·季后果寄空间艰X宗×劣Y怨，后蜓果路(x补,y怎)涛，设朋决策健人在古X抵×表Y企上的周偏好额满足麦公理唱(1巷)钢～条(6厉)避，那么渣可用至形如胳眉v(蒸x,匠y)鹊=冷(x刺)+掀伴(x劲)际的加刻性效装用函狡数表萌示后雷果空风间上演的偏蛮好或(笑确定底性条差件下鄙)咬·状设决劳策人由关于充X东×忆Y司空间盟及亲P葛上的绞抽奖嫂的偏屋好为阵u(欣x,撇y)盲那么僚u(目x,庸y)裙和涨v(寒x,抽y)或代表宿了秃X季×炭Y省上相悄同的狂偏好鸣，撑u(夹x,摘y)艰=俱φ喂(v步(x所,y联))碑.谢其中食φ星(塔·薄)夕是保巴序变短换贸·剂决策察人的染行为疮符合抗理性盟行为件公理瓶时膏,违形如寸<江,(匠,门);笼…资；都,(构,扩)>处的抽备奖允可以帽用期燃望效卖用呼E[爬u(特x,丽y)伏]=绢妈作特来衡蕉量其罩优劣累.耗二、稻效用妈独立韵(U面ti蜜li纸ty握I货nd铲ep洲en骂de竟nc板e)延1.术例：刘:忌埋<0粪.5饲,(蕉10镜0,柜15饺0)舍;德0.肥5,县(胁40置0,另15析0)梦>弱结原厚:卵仅<0蔑.5弱,(阶17畏5,妨15量0)谁;病0.它5,茄(遗22蓄5,栏15跌0)问>悼成计叶:报跳<0粮.5命,(蜓10再0,笛25份0)刮;骂0.舍5,陕(竟40好0,颜25昆0)供>乒悉嫌幻:宽香<0挡.5剩,(钟17狡5,核25慨0)译;厨0.界5,状(葛22蓬5,进25格0)社>乡假设效完用独郊立态,辱那么饿灵采2.月定义舟：份假设二挨个抽然奖有毕公共傍的固旦定的取Y亿的值股而购X咬中的椅值不顽同，偶决策央人对领它们树的偏纵好与芬Y厘的取艇值无隆关，头那么称押X廊是效屑用独痕立于耗Y仗。效欠用独柄立又员称风俯险独查立霞(所假设饺X倾效用橡独立躁于逐Y治那么决吸策人女对抽珠奖的受X荡上的捎风险奉态度倘与过Y拥无关可).械慎更一吸般的嘱定义卧见隐P1插47卡，定蜡义肃8.洲10炮3.叶效用碑独立舒蕴含布偏好挣独立资堤(臣x,夏)昏摔(x呀’,烦)辜对某愤个惜α殊搏浮<求1,甲(宾x,们)>搭愤腰<1希,识(x硬’,休)>韵弃手<懒1,庆(驳x,如)>衬嚷茶<1辰,而(x惠’,锤枝)>阵彼拾法由胁UI佩，对致任何送β种成立忆僚问(饺x,某)衫期(计x’两,娇)赏4.朋引理寇：疼X总是效堂用独汉立于贫Y稿的，础当且董仅当孙，对帜固定粒的坝末峡旦u(鹊x,聋y)御=梁(y稼)冤u(非x,年御)辆+呆(y标)乘通(x奇,y中)宰X朗Y虽其中惠α谋(y达)>前0,洗巷α勉(y拐),挤β纤(y糕)撑确实柱定与羽有关纤。谢同理傅，前Y亡是效速用独店立于仔X劣的，诉当且括仅当吼对固慌定的弄u(浊x,释y)倘=和(许y)赚u亿(沾,械y)废+捡要(y栏)都斤(x息,y呀)掠X至Y哭其中股(x故)>腐0,龄锅(x辽),裳δ忙(x高)钱确实献定与卧有关稼。启5.骆X咳、墙Y级相互腔效用交独立消定理搬：螺X疲和脾Y蛛是相锤互效氧用独颤立的讲，那么潮：假设艺选滔(均,沟)见使勇u(垮,塞)=拦0清滨植必有技雀滥u(晒x,勿y)录=帮u(席x,境慰)+枕u蛇(似,y知)+渐k泄u(叉x,步面)u睁(浩,y顷)作即墓X测冒Y锣相互也效用抹独立赠且如u屑(趟,静)=颂0蜻时，泰u(于x,爬y)售具拟葛加性柱.凯6.呀加性梯条件扎：肆购在上掠述假旱设下棒，再假附加喉：对龄某个灰,横X,瞎服,辱Y券,嘱弱洗蹄<0党.5尸,(映,叮);经0腥.5剖,(蜡验,芬)>习恶<0减.5拼,(两,躺);熟0予.5崖,(惠晃,制)>暴芝冶且猫躺(至,哑)体(舟,讯),异(联,染)针(郊喂,剩)毛岗航那么趋叔u抚(x延,y轰)=尊u件(x撤,查)+衔u歉(锅,y勤)丝加性禽独立铺也可阵以用设另一愉种方华式来乔表示闪:居属性医X填、虏Y豆是加盗性独脚立的矛，假设旁对所舅有讽x,肯x’省X惧,合y,朗y’狡Y脉<0扩.5厚,(飞x,短y跳);叶0覆.5闷,(趟x啊’,召y’士)>宴绳<0沉.5动,(哲x,蒸y闪’)坑;留0.放5,隐(鞠x’债,y兴)>张8.叛定理毅设锈u(纹x,雨y)园是振X泄Y狸上的射效用悉函数标,锣且虑X右、联Y氧是加烤性独撑立的屯,奶那么假设咐选慌(宇,乞)喜使晕u(纱,赌)=碑0呆饮有等u(消x,覆y)据=稍u(揪x,蹲蛛)+检u圾(迎,y初)姑昌盖加性郊独立更也是理效用蜓函数方为加吴性的感必要撕条件互。加余性独驶立条父件很岗难满温足。慌拟加末性效督用函金数的梳例朋某人轰拟度截假，幅他根愈据两璃个属你性来与确定透休安絮排假呜的优嫁劣开斯父x:璃每天如的日规照时捏数婶吉意y:节每天互的费参用衣在与沫决策细分析踢人讨耗论后苹确定术了侄:贤a.影掉他的不偏好涝是相桥互效晴用独奇立的耀;登b.贼x浙的边亮际效乒用是居线性猴的，絮日照范愈长像愈好吹;品c.疏y拉的边耽际效军用也狸是线携性的脖，费昆用愈慌小愈铺好桨;诵d.截硬他认口为下奥面的继无差哑异成枕立：渗(1饲0,拦16浅)薄～捡(8麦,1谱2)吩唐鱼油炎犬的选夜晶摊封盆军(袄15架,1然6)妙～凶(1名2,烘8)勉他面勤临的每度假论地有惨两种带选择炉穿A由：熊x=滴10轮,飞y共=1件4遵公B摆:居y收=1译5免废有党25学%浙的可匆能性隔是虏x=桌13战,摩面7贪5%宾的可肺能性浮是室x=库4遭他应仗选择卸那一未地点贫度假凶?须解宽:盘先选棉(霜,感).雕由于丈需要宿(想,惜)颠～聪(驴,填)仁在渠(1昼0,跪16赠)押～冻(8丧,1控2)种中，屈=8燃,奋=1棉6剧宣那么悼=1哭0,昨玉=1容2神令虚u(读8,正16刮=0拉)翼,唤u首(1决0,迫1或6)毁=1配,者乳由砖x朋边际西效用症的线坏性性驶u(穷x,饲1强6)除=(滚x-扫8)煌/2猎同样暴，由瞎y块边际它效用穷的线码性性百以及虏u(往8,吃1塞6)丹=0捐,滴斑u(耍8,蔑1旬2)叠=1久敬可得闯：热u(有8,评y)贸=(绞16旨-y浑)/付4唱因此遍：伴u(切x,兼y)览=多u(喉x,劳奏)+游u己(采,y俱)+躁k是u(嘱x,猎妈)u简(夏,y象)立财梨埋析花