北京市中关村2023届高三上学期10月月考数学试题

2022年中关村中学高三10月调研试卷

（考试时间120分钟满分150分）

ー、选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选

项中,选出符合题目要求的ー项.

1.已知集合尸={x|0Wx<2},且M=则M可以是（）

A.{-1,1}B.{1,3}C.{0,l}D.{0,5}

2.下列函数中,图象关于坐标原点对称的是（）

A.y=lgxB.y=|sinx|C.y=exD.y=x~—

x

3.如图,角a以。x为始边,它的终边与单位圆。相交于点P,且点P的横坐标为ヨ,则

sin［エ+a）的值为（）

4.记S,为等差数列{%,}的前〃项和,若$2=3,$4=18,则$6=（）

A.36B.45C.63D.75

5.已知复数z=a+i（其中aeR）,则下面结论正确的是（）

A.z--a+iB.z一定不是纯虚数

C.|z|>lD.在复平面上，z对应的点可能在第三象限

6.设{ム}是公比为ク的等比数列,且%>1,则“q>1对任意〃eN・成立”是uq>\n

的（）

A.充分必要条件B.必要而不充分条件

C.充分而不必要条件D.既不充分也不必要条件

7.已知函数/(x)=sinx-gx,xe[(),ア],cos/=e[〇,乃]),那么下面结论正确的

是()

A./(x)在[〇,玉)]是减函数B3XG[〇,%],/(x)>/(x0)

C.在[7),ア]是减函数D.Vxe[〇,%],/(x)>/(x0)

8.已知函数/(引=ピ+ズー2忖ーん.若存在实数%,使得/.(_%))=-/(%))成立,则实

数え的取值范围是()

A.[-1,+co)B.(—0〇,一1]C.[〇,+00)D.(—8,0]

9.在△ABC中，AC=6,BC=8,NC=90°.P为△ABC所在平面内的动点,且PC=1,

则西・万的取值范围是()

A.[-I1,9]B.[-9,ll]C.[-10,ll]D.[-ll,10]

10.按照“碳达峰”、“碳中和”的实现路径,2030年为碳达峰时期,2060年实现碳中和,

到2060年,纯电动汽车在整体汽车中的渗透率有望超过70%,新型动カ电池迎来了蓬勃发

展的风口.Peukert于1898年提出蓄电池的容量。(单位:Ah),放电时间f(单位:h)与

放电电流，(单位：A)之间关系的经验公式：C=In-t,其中〃为Peukert常数.为了测算

某蓄电池的Peukert常数”,在电池容量不变的条件下，当放电电流/=20A时,放电时间

r=20h;当放电电流/=30A时,放电时间t=IOh.则该蓄电池的Peukert常数n大约为(参

考数据:1g2«0.30,1g3«0.48)()

45_8

A.-B.—C.—D.2

333

二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在答题卡上.

11.已知向量£=(1,2),み=(一2,り,若£〃み,则实数/的值是.

12.在△ABC中,48=4百，NB=巴,点D在边BC上,ZADC=—,CD=2,则

43

AD=；AACD的面积为.

13.能使命题“若sin24=sin2B,则△ABC为等腰三角形”为假命题的ー组A,B的值

是.

14.北京2022年冬奥会将于2022年2月4日开幕，某社区为了宣传冬奥会,决定在办公楼

外墙建一个面积为8m2的矩形展示区.并计划在该展示区内设置三个全等的矩形宣传栏(如

图所示),要求上下各空0.25m,左右各空0.25m,相邻宣传栏之间也空0.25m.设三个宣传

栏的面积之和为S(单位：n?),则S的最大值为.

ca+l,x<0,

15.已知函数/(*)=<给出下列三个结论:

IInx|,x>0.

①当a=—2时,函数/（x）的单调递减区间为（―8』）；

②若函数/（x）无最小值,则a的取值范围为（〇,”）;

③若。<1且。エ〇,则ヨわeR,使得函数ソ=/（x）—い恰有3个零点再，ち，ム，且

X|X2Xj=-1.

其中,所有正确结论的序号是.

三、解答题:本大题共6小题,共85分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明

过程.

16.（本小题13分）

设函数/（X）=x3+tzx2+bx+c

（I）求曲线ッ=/（x）在点（o,/（o））处的切线方程;

（II）设。=わ=4,若函数，（x）有三个不同零点,求c的取值范围.

17.（本小题14分）

已知函数/（x）=2cos2a）x+2Gsinoxcosのx+a（の>0,aeR）.且/（x）的最大值为2,

/（X）的图像上相邻两条对称轴之间的距离为y.

（I）求函数/（X）的解析式；

（II）若/（X）在区间（0,m）上有且只有一个零点,求用的取值范围.

18.（本小题【4分）

已知数列｛ム｝的前〃项和为S“，Sn=2an-4,〃eN*.

（I）求。］,a2；

（ID若数列也｝是等差数列，且ム=4,ら=。3,求数列也｝的通项公式；

(HI)在(II)的条件下,设求う+。2+…+c”.

以(本小题14分)

在△ABC中,acosB+——b=c

2

(I)求A的大小;

(II)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择ー个作为已知，使得△ABC存在且

唯一确定,求8C边上高线的长.

条件①：cosB=-——,b=l;条件②：a-2,c=2也;条件③:わ=3,c=JJ

14

注:如果选择多个符合要求的条件分别解答,按第一个解答给分.

20.(本小题15分)

已知函数/(x)=e*-a(x+l)

(I)若/(x)20恒成立,求4的取值范围

(II)证明:当。=0时,曲线y=/(x)(x>0)总在曲线y=2+lnx的上方

21.(本小题15分)

给定整数〃(〃22),数列ん2:占，ち，…，ち,用每项均为整数,在A2,向中去掉ー项ム,

并将剩下的数分成个数相同的两组,其中一组数的和与另外一组数的和之差的最大值记为

mk(k=1,2,…,2〃+1).将叫，机2，…，牡,田中的最小值称为数列ム用的特征值.

(I)已知数列ん：1,2,3,3,3I写出"4,m2,m3的值及ん的特征值;

(II)若ホ<x2く…<ち"+1，当ロー("+リ］［ノー(〃+リ］と〇,其中i,/e{l,2,…,2〃+1}且

臼时,判断加.一切与トージ的大小关系,并说明理由;

(HI)已知数列ん,用的特征值为〃ー1,求と|る一モ|的最小值.

\<i<j<2n+1

2022年中关村中学高三10月调研试卷

参考答案

(考试时间120分钟满分150分)

ー、选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选

项中,选出符合题目要求的ー项.

1-5CDBBC6-10ACABB

二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在答题卡上.

11.-412.4a,27613.-,王答案不唯一14.215.②③

632

三、解答题:本大题共6小题,共85分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明

过程.

16.解:(I)由/'(力=ピ+加+bx+c,得=3f+2办

因为/(0)=c,/'(〇)=わ

所以曲线y=/(x)在点(〇,/(〇))处的切线方程为y=bx+c

(II)当a=Z?=4时,/(^)=x3+4x2+4-x+c,

所以/'(x)=3f+8x+4

令y，(X)=(),得3f+8x+4=0,解得x=—2或x=ーヱ

/(x)与/'(%)在区间欣)上的情况如下:

_2

X(-00,-2)

-2-3(一|,+り

+0—0+

32

/(X)/CXc----/

27

所以，当。>0且cー:<0时,存在Xe(-4,—2),ム4ー2,-；)，ef-1,o),使

得〃そ)=/(£)=〃玉)=。

由/(x)的单调性知,当且仅当ce(0,2］时，函数,/'(x)=V+4f+4x+c有三个不同

零占

17.解:(I)/(x)=(2cos2l)+6sin23r+a+l

=V3sin2cox+cos2a)x+。+1

=2sin269X+—+。+1

I6丿

丁，(x)的最大值为2,，3+。=2,即〃=—1

1//(X)的图像上相邻两条对称轴之间的距离为ミ,

，T==T=乃

財

又・•・の＞0,••・の=1

则ア(x)=2sin(2x+エ1

(II)当ス£(0,〃り时,2x4-—G|—,2m4-—|,

6(66)

若〃x)在区间(〇,〃り上有且只有一个零点,

则アv2〃z+-42た,所以相£|——,---.

611212J

18.解:(I)令れ=1,1=4=2a]—4,所以4=4

令〃=2,a]+a2=2a2-4,所以。2=8

(II)令〃=3,0+〃2+/=24—4,

解得。3=16

设数列也｝的公差为ム

则ム=4,々=ム+4d=16

所以イ=3.所以ル=ム+(〃一l)d=3〃+l,〃eN*

(III)当〃=1时,q=4；

当〃と2时,an==2(しー为ー1),所以q=2a,ら.

所以数列｛q｝是以4为首项,2为公比的等比数歹ル

所以%=2的,〃GN*

3n+2

由(II)可知,cn=2,nsN*

因为6=32,厶=篇=8(心2)

Cn-\厶

所以数列｛%｝是以32为首项,8为公比的等比数列.

所以。］+ら+…+。れneN*

19.解:(I)在/kABC中,因为4cos3+——b-c,

2

ノ・V3

所以由正弦定理可得sinAcosB+——sinB=sinC

2

因为ム+3+。=ア,所以sinC=sin(A+8)=sinAcosB+cosAsinB

所以sinB=cosAsinB

2

在/VIBC中,sinBwO,所以cosA=立，所以A=2

26

(ID选条件①:

因为在△ABC中,cosB=あ包,所以sinB=，lー《)S23=也

1414

因为A+5+C=〃

所以sinC=sin(A+B)=sinAcosfi+cosAsinB=丄x+—x—=—

设8C边上高线的长为カ,则カ=ん皿。=1X叵=辺

77

选条件②：△ABC不唯一

选条件③：

由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA=9+3-2x3x百cos-=3,所以。=百

rr

所以△ABC为等腰三角形,C=A=土,设ペC边上高线的长为Z?,则

6

13

h=Z?sinC=3x—=—

22

20.解:⑴略;

(ID/'(x)=eA-a^xGR)

①当〃=0时,〃ス)=ex>。符合题意;

②当。<0时,取/=一1+—,则/(%)=ea-a\-1+-+1=e。一1<0,不符合

aI。丿

题意.

③当。:>()时,令,/(ス)=(),得よ=ln。.

x<ln。时,/z(x)<()；x>ln。时,/z(x)>0.

所以ア(x)在(y)/n。)上单调递减,在(In。,”)上单调递增

所以当ス=In。时,/(x)有最小值/(in。)=。ー。(1+1也)=ー。In。

“/(x)20恒成立”等价于“/(x)的最小值大于等于〇”，

即一。In。..〇

因为。>0,所以0〈。<1

综上,若/(x)NO对X£R恒成立,则4的取值范围是[〇』

(3)证明:当。=0时,令//(x)=/(x)-(2+Inx)=ev-Inx-2(x>0),可求

/zz(x)=eA--

因为ノ/]=/ー2<0,/z,(l)=e-l>0»且/(x)=e*ー丄在(O,M)上单调递增,所

以在(0,+o。)上存在唯一的七,使得/(%)=い一丄=0,即ビ。=丄,且丄</<1

XnXn2

当X变化时,/z'(x),/?(x)在(O,+8)上的情况如下表.

X(。,为)ム(ホ,”)

〃’(x)—0十

Zz(x)ゝ极小值/

则当x=x0时,/z(x)存在最小值〃(%),〃(xo)=e'"-liu0-2=—+x0-2

*0

因为%イ;,リ

所以〃(%)=—・玉，

I-x0—2>2/——2=0

るい〇

所以当a=0时,/(x)>2+lnx(x>0),

所以当。=0时,曲线y=/(x)(x>0)总在曲线y=2+lnx的上方.

2L解:⑴由题知:=(3+3)—(2+3)=1

m,=(3+3)—(3+1)=2

，4=3

As的特征值为!-

(II)l/n,-nij|=|Xj-XjI

理由如下;

由于ドー(〃+1)][ノー(〃+1)[20,可分下列两种情况讨论:

①当i,ノw{1,2,…,〃+1}时，根据定义可知:

加，=(ち，川+ち"+…+一(左，出

%+2)+x„+--+xt-xy)

=(も"+1+X2n一(玉

+,1,+X,：+2)+i+X,I+---+X|)+X,.

同理可得:m=

j(X2„+1+A2,,+-•-+x„+2)-(x„+1+X„+-•-+X,)+xy

所以叫一根,=X「Xj

所以加一セ一

my|=|xj

②当，,/£レ2+1ノ+2,…,2〃+リ时,同①理可得:

%=(ち+1+め〃+…+/+1一モ)一(ム+ルー1+…+%)

=（W"+1+ム“+…+当+1）一（毛+当ー1+…+X|）-X

叫=（ち"+1+そ"+…+%+J-（X”++…+X）-Xj

所以mi-m.=xj-x.

所以帆ー叫=|モーxj

综上有:弧_mj|=|七一ス，

（III）不妨设る<あく…くち〃+1，

Xトーワ卜