复习专题04正余弦定理原卷版

期末复习专题04：正、余弦定理原卷版【知识框架】【考点讲解】考点一：正弦定理考点二：余弦定理考点三：正、余弦定理在几何中的应用考点四：正、余弦定理实例应用考点一：正弦定理【知识点梳理】(是外接圆的半径)（1）a:b:c=A:B:C；（2），,（3）（1）两角一边；（2）两变一角非夹角（解不唯一）【典例例题】例2.（2022年揭阳市高一期末）在中，角，，所对的边分别是，，，，，，则（）A.B.或 C.D.或例2.（2023年江苏省镇江市期中试题）若满足的恰有一个，则实数的取值范围是_________.例3.（2022年中山市高一期末）已知中，，，分别是角，，的对边，且满足，则该三角形的形状是（）A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰或直角三角形【变式训练】1.（2022年潮州市高一期末）在中，，，，则（）A. B. C. D.2.（2023广东省佛山市荣山中学期中）在中，若，则的值为___________.3.（2022年广东省东莞市期末试题）在△ABC中，A=60°，B=75°，a=2，则△ABC中最小的边长为(

)A.63 B.263 4.（2023年广东省梅州市期中试题）在中，若三边之比，则等于（）A． B．﹣2C．2 D．5.（2022年东莞市高一期末）（多选）在中，角，，所对的边分别是，，，则下列结论一定正确的是（）A. B.C. D.6.（2023年江苏省苏州市期中试题）在中，若，则的形状为（）A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形7.（2023广东省佛山市荣山中学期中）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，，且B为钝角.（1）求B；（2）求的面积.8.（2023年广东省佛山市期中试题）在中，，，的对边分别为，，，且．（1）求角的大小；（2）如果，求的面积的最大值．考点二：余弦定理【知识点梳理】（1）已知三边求三角，（2）两边一角求边【典例例题】例1.（2022年中山市高一期末）在中，，则的值为（）A. B.0 C. D.例2.（2023年广东省佛山市期中试题）在中，已知，则（）A.1 B. C.2 D.4例3.（2022年广州市二中高一期末）△ABC的三内角A、B、C所对边的长分别是a、b、c，设向量，若，则角C的大小为（）A. B. C. D.【变式训练】1.（2023年广东省梅州市期中试题）在中，角所对的边分别为若，则角（）A． B． C． D．2.（2023年广东省佛山市期中试题）的内角，，的对边分别为，，，已知，，，则（）A. B. C. D.3.（2023年广东省梅州市期中试题）在中，角所对的边分别为且，若，则的形状是（）A．等腰且非等边三角形B．直角三角形 C．等边三角形D．等腰直角三角形4．（2023年广东省梅州市期中试题）（多选）在中，已知，给出下列结论中正确结论是（）A．这个三角形被唯一确定 B．一定是钝角三角形 C． D．若，则的面积是5.（2023年广东省佛山市期中试题）在中，角的对边分别为，已知的外接圆半径为的周长为则（）A. B. C. D.6.（2022年广东省深圳市高一期末试题）若在，则三角形的形状一定是（

）A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形7.（2023年江苏省苏州市期中试题）是钝角三角形，内角所对的边分别为，则最大边的取值范围为__________.8.（2022年梅州市高一期末）在锐角△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，满足．（1）求角C的值；（2）若，求的取值范围．9.（2023年广东省佛山市期中试题）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足．（1）求角A的大小；（2）若，求△ABC的面积．考点三：正、余弦定理在几何中的应用【知识点梳理】在中，已知是三角形的中线，则在中，已知是三角形的角平分线，则【典例例题】例1.（2022年广州市二中高一期末）在锐角中，角，，的对边分别为，，，为的面积，且，则的取值范围为（）A. B. C. D.例2.（2023年广州市第一中学期中）中，的角平分线交AC于D点，若且，则面积的最小值为________.例3.（2023年广州市第一中学期中）中，的角平分线交AC于D点，若且，则面积的最小值为________.例4.（2022年惠州市市高一期末）在①，②这两个条件中任选一个作为已知条件，然后解答问题．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，______．（1）求角A；（2）若，，求的BC边上的中线AD的长．【变式训练】1.（2022年梅州市高一期末）如图，在中，，点在线段上，且，，则面积的最大值为___．2.（2023年江苏省苏州市期中试题）在中，，边上的高等于，则的值为（）A. B. C. D.3.（2023年江苏省镇江市期中试题）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，且，则△ABC面积的最大值是（）A. B. C. D.4.（2022年中山市高一期末）如图，是等边三角形，点在边的延长线上，且，．（1）求长度；（2）求的值．5.（2022年广东省深圳市高一期末试题）在三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，作AB⊥AD，使得四边形ABCD满足，，(1)求B；(2)设，，求函数的值域．6.（2023年江苏省苏州市期中试题）在中，角的对边分别是，满足.（1）求角的余弦值；（2）若是边的中点且，求的取值范围.7.（2022年广州市二中高一期末）如图，某公园改建一个三角形池塘，，百米，百米，现准备养一批观赏鱼供游客观赏.（1）若在△ABC内部取一点P，建造连廊供游客观赏，方案一如图①，使得点P是等腰三角形PBC的顶点，且，求连廊的长（单位为百米）；（2）若分别在AB，BC，CA上取点D，E，F，并建造连廊，使得△DEF变成池中池，放养更名贵的鱼类供游客观赏：方案二如图②，使得△DEF为正三角形，设为图②中△DEF的面积，求的最小值；方案三如图③，使得DE平行于AB，且EF垂直于DE，设为图③中△DEF的面积，求的取值范围.考点四：正、余弦定理实例应用【知识点梳理】测量距离、高度、角度问题专业术语：俯角、仰角、方位角【典例例题】例1.（2022年揭阳市高一期末）某中学数学兴趣小组为了测量校园旗杆的高度，如图所示，在操场上选择了C､D两点，在C､D处测得旗杆的仰角分别为，在水平面上测得且C，D的距离为15米，则旗杆的高度为__________米．例2.（2022年广东省深圳市高一期末试题）如图，某登山队在山脚A处测得山顶B的仰角为45°，沿倾斜角为30°的斜坡前进2千米后到达D处，又测得山顶B的仰角为75°，则山的高度BC为___________千米.【变式训练】1.2023年广东省梅州市期中试题）在一座20高的观测台顶测得地面一水塔塔顶仰角为60°，塔底俯角为45°，那么这座塔的高为．2.（2022年潮州市高一期末）三元塔是潮州市的历史文化古迹如图，一研究性小组同学为了估测塔的高度，在塔底D和A，B（与塔底D同一水平面）处进行测量，在点A，B处测得塔顶C的仰角分别为45°，30°，且A，B两点相距，为150°，则三元塔的高度___________.3.（2022年广东省东莞市期末试题）如图，旅客从某旅游区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50米/分钟，在甲出发2分钟后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1分钟后，再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为130米/分钟，山路AC长1260米，经测量，cosA=1213，cosC=35．

(1)求索道AB4.（2023年广东省梅州市期中试题）某海轮以30海里/小时的速度航行，在点测得海面上油井在南偏东60°，向北航行40分钟后到达点，测得油井在南偏东30°，海轮改为北偏东60°的航向再行驶40分钟到达点．（1）求、间的距离；（2）求在点测得油井的位置？5.（2022年揭阳市高一期末）重庆是我国著名的“火炉”城市之一，如图，重庆某避暑山庄为吸引游客，准备在门前两条小路和之间修建一处弓形花园，使之有着类似“冰淇淋”般的凉爽感，已知，弓形花园的弦长，记弓形花园的顶点为，，设.（1）将、用含有的关系式表示出来；（2）该山庄准备在点处修建喷泉，为获取更好的观景视野，如何设计、的长度，才使得喷泉与山庄的距离的值最大？【巩固练习】1.（2023年广东省佛山市期中试题）中，若，则该三角形一定是（）A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形2.（2023年广州市第一中学期中）2022年北京冬奥会拉开帷幕，动作观赏性强､视觉冲击力大的自由式滑雪大跳台是目前“冬奥大家族”中最年轻的项目.首钢滑雪大跳台实现了竞赛场馆与工业遗产再利用､城市更新的完整结合，见证了中外运动员在大跳台“冲天一跳”的精彩表现和北京这座世界上独一无二“双奥之城”的无上荣光.如图为大跳台示意图，为测量大跳台最高处点的高度，小王在场馆内的两点测得的仰角分别为（单位：），且，则大跳台最高高度（）A. B. C. D.3.（2023广东省佛山市荣山中学期中）（多选）在中，记角所对的边分别为，若，则（

）A. B.C. D.内角A的最大值为4.（2023年广州市第一中学期中）（多选）现有满足，且的面积，则下列命题正确的是（）A.周长为 B.三个内角A，C，B满足关系C.外接圆半径为 D.中线的长为5.（2023年广东省佛山市期中试题）（多选）下列结论正确的是（）A.在中，若，则B.在锐角三角形中，不等式恒成立C.在中，若，则是直角三角形D.在中，若，三角形面积，则三角形的外接圆半径为6.（2023年广州市第一中学期中）（多选）现有满足，且的面积，则下列命题正确的是（）A.周长为 B.三个内角A，C，B满足关系C.外接圆半径为 D.中线的长为7.（2023年广东省佛山市期中试题）在中，边所对的角分别为，的面积满足，若，则外接圆的面积为______________.