2023新教材高中数学第7章随机变量及其分布7.1条件概率与全概率公式7.1.2全概率公式教师用书新人教A版选择性必修第三册

7.1.2全概率公式1．了解全概率公式和贝叶斯公式的概念．(重点)2．结合古典概型，会利用全概率公式计算概率，*了解贝叶斯公式．(难点)3．能利用全概率公式解决生活中一些简单的实际问题．(重点、易错点)1．通过对全概率公式和贝叶斯公式概念的学习，培养数学抽象素养．2．借助全概率公式和贝叶斯公式求解概率，提升数学运算和逻辑推理素养．知识点1全概率公式一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1，2，3，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P(B)＝eq\i\su(i＝1,n,P)(Ai)P(B|Ai)．全概率公式可借助图形来理解：*知识点2贝叶斯公式设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，P(B)>0，有P(Ai|B)＝eq\f(PAiPB|Ai,PB)＝eq\f(PAiPB|Ai,\i\su(k＝1,n,P)AkPB|Ak)，i＝1，2，…，n．设某公路上经过的货车与客车的数量之比为2∶1，货车中途停车修理的概率为0.02，客车为0.01，今有一辆汽车中途停车修理，则该汽车是货车的概率为()A．0.8 B．0.5C．0.67 D．0.875A[设公路上经过的车为货车是事件A，经过的车是客车为事件B，车需要修理为事件C，且P(A)＝eq\f(2,3)，P(B)＝eq\f(1,3)，P(C|A)＝0.02，P(C|B)＝0.01，所以P(A|C)＝eq\f(PAPC|A,PAPC|A＋PBPC|B)＝eq\f(\f(2,3)×0.02,\f(2,3)×0.02＋\f(1,3)×0.01)＝0.8．]类型1全概率公式及其应用【例1】假设某市场供应的智能手机中，市场占有率和优质率的信息如表所示．品牌甲乙其他市场占有率50%30%20%优质率95%90%70%在该市场中任意买一部智能手机，求买到的是优质品的概率．[解]用A1，A2，A3分别表示买到的智能手机为甲品牌、乙品牌、其他品牌，B表示买到的是优质品，则依据已知可得P(A1)＝50%，P(A2)＝30%，P(A3)＝20%，且P(B|A1)＝95%，P(B|A2)＝90%，P(B|A3)＝70%．因此，由全概率公式有P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＝50%×95%＋30%×90%＋20%×70%＝88.5%．对全概率公式的理解某一事件A的发生可能有各种的原因，如果A是由原因Bi(i＝1，2，…，n)引起，则A发生的概率是P(ABi)＝P(Bi)P(A|Bi)，每一原因都可能导致A发生，故A发生的概率是各原因引起A发生概率的总和，即全概率公式．由此可以形象地把全概率公式看成为“由原因推结果”，每个原因对结果的发生有一定的“作用”，即结果发生的可能性与各种原因的“作用”大小有关．[跟进训练]1．某电子设备制造厂所用的元件是由三家元件制造厂提供的，根据以往的记录有如表所示的数据：元件制造厂次品率提供元件的份额10.020.1520.010.8030.030.05设这三家元件制造厂的元件在仓库中是均匀混合的，且无区别的标志．在仓库中随机地取一只元件，求它是次品的概率．[解]设事件Bi表示所取到的产品是由第i家元件制造厂提供的(i＝1，2，3)，事件A表示取到的是一件次品．其中B1，B2，B3两两互斥，A发生总是伴随着B1，B2，B3之一发生，即A＝B1A∪B2A∪B3A，且B1A，B2A，B3A两两互斥．运用互斥事件概率的加法公式和乘法公式，得P(A)＝P(B1A)＋P(B2A)＋P(B3A)＝P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)＋P(B3)P(A|B3)＝0.15×0.02＋0.80×0.01＋0.05×0.03＝0.0125．因此，在仓库中随机地取一只元件，它是次品的概率为0.0125．*类型2利用贝叶斯公式求概率【例2】甲盒装有1个白球2个黑球，乙盒装有3个白球2个黑球，丙盒装有4个白球1个黑球．采取掷一骰子决定选盒，出现1，2或3点选甲盒，4，5点选乙盒，6点选丙盒，在选出的盒里随机摸出一个球，经过秘密选盒摸球后，宣布摸得一个白球，求此球来自乙盒的概率．[解]设A1＝{摸出的球来自甲盒}，A2＝{摸出的球来自乙盒}，A3＝{摸出的球来自丙盒}，B＝{摸得白球}，则P(A1)＝eq\f(1,2)，P(A2)＝eq\f(1,3)，P(A3)＝eq\f(1,6)，P(B|A1)＝eq\f(1,3)，P(B|A2)＝eq\f(3,5)，P(B|A3)＝eq\f(4,5)．于是由贝叶斯公式可知白球来自乙盒的概率为P(A2|B)＝eq\f(PA2PB|A2,\i\su(i＝1,3,P)AiPB|Ai)＝eq\f(\f(1,3)×\f(3,5),\f(1,2)×\f(1,3)＋\f(1,3)×\f(3,5)＋\f(1,6)×\f(4,5))＝eq\f(2,5)．若随机试验可以看成分两个阶段进行，且第一阶段的各试验具体结果未知，那么：(1)如果要求的是第二阶段某一个结果发生的概率，则用全概率公式．(2)如果第二个阶段的某一个结果是已知的，要求的是此结果为第一阶段某一个结果所引起的概率，一般用贝叶斯公式，类似于求条件概率．熟记这个特征，在遇到相关的题目时，可以准确地选择方法进行计算，保证解题的正确高效．[跟进训练]2．某人去某地参加会议，他乘火车、轮船、汽车或飞机的概率分别为0.2，0.1，0.3，0.4．如果他乘火车、轮船、汽车去，迟到的概率分别为eq\f(1,3)，eq\f(1,12)和eq\f(1,4)，乘飞机不会迟到．结果他迟到了，求他乘汽车去的概率．[解]设A＝“迟到”，B1＝“乘火车”，B2＝“乘轮船”，B3＝“乘汽车”，B4＝“乘飞机”，根据题意，有P(B1)＝0.2，P(B2)＝0.1，P(B3)＝0.3，P(B4)＝0.4，P(A|B1)＝eq\f(1,3)，P(A|B2)＝eq\f(1,12)，P(A|B3)＝eq\f(1,4)，P(A|B4)＝0，由贝叶斯公式，有P(B3|A)＝eq\f(PA|B3PB3,\i\su(i＝1,4,P)A|BiPBi)＝eq\f(\f(1,4)×0.3,\f(1,3)×0.2＋\f(1,12)×0.1＋\f(1,4)×0.3＋0×0.4)＝eq\f(0.075,0.15)＝0.5．1．一个盒子中有6只白球、4只黑球，从中不放回地每次任取1只，连取2次，第二次取到白球的概率为()A．eq\f(2,5) B．eq\f(3,5)C．eq\f(1,2) D．eq\f(1,3)B[设事件A＝{第一次取到白球}，事件B＝{第二次取到白球}，因为B＝AB∪eq\x\to(A)B且AB与eq\x\to(A)B互斥，所以P(B)＝P(AB)＋P(eq\x\to(A)B)＝P(A)P(B|A)＋P(eq\x\to(A))P(B|eq\x\to(A))＝eq\f(6,10)×eq\f(5,9)＋eq\f(4,10)×eq\f(6,9)＝eq\f(3,5)．]2．已知P(BA)＝0.4，P(Beq\x\to(A))＝0.2，则P(B)的值为()A．0.08 B．0.8C．0.6 D．0.5C[因为P(BA)＝P(A)P(B|A)，P(Beq\x\to(A))＝P(eq\x\to(A))P(B|eq\x\to(A))，所以P(B)＝P(A)P(B|A)＋P(eq\x\to(A))·P(B|eq\x\to(A))＝P(BA)＋P(Beq\x\to(A))＝0.4＋0.2＝0.6．]3．一批零件100个，其中10个不合格品，从中一个一个不放回取出，第三次才取出不合格品的概率为________．eq\f(89,1078)[记Ai＝“第i次取出的是不合格品”，Bi＝“第i次取出的是合格品”，依题意：P(B1B2A3)＝P(B1)·P(B2|B1)P(A3|B1B2)＝eq\f(90,100)×eq\f(89,99)×eq\f(10,98)＝eq\f(89,1078)．]4．甲箱中有3个白球，2个黑球，乙箱中有1个白球，3个黑球．现从甲箱中任取一球放入乙箱中，再从乙箱任意取出一球．则从乙箱中取出白球的概率为________．eq\f(8,25)[设B＝“从乙箱中取出白球”，A＝“从甲箱中取出白球”，P(A)＝eq\f(3,5)，P(eq\x\to(A))＝eq\f(2,5)，P(B|eq\x\to(A))＝eq\f(1,5)，P(B|A)＝eq\f(2,5)，利用全概率公式P(B)＝P(A)·P(B|A)＋P(eq\x\to(A))·P(B|eq\x\to(A))＝eq\f(3,5)×eq\f(2,5)＋eq\f(2,5)×eq\f(1,5)＝eq\f(8,25)．]5．设某工厂有两个车间生产同型号家用电器，第一车间的次品率为0.15，第二车间的次品率为0.12，两个车间的成品都混合堆放在一个仓库，假设第一、二车间生产的成品比例为2∶3，今有一客户从成品仓库中随机提一台产品，则该产品合格的概率为________．0.868[设B＝{从仓库中随机提出的一台是合格品}，Ai＝{提出的一台是第i车间生产的，i＝1，2}．由题意P(A1)＝eq\f(2,5)，P(A2)＝eq\f(3,5)，P(B|A1)＝0.85，P(B|A2)＝0.88，由全概率公式P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)·P(B|A2)＝0.4×0.85＋0.6×0.88＝0.868．]回顾本节知识，自主完成以下问题