知识点47新定义型2018-1

一、选择题1.（2018湖南娄底，12，3）已知:表示不超过的最大整数例:令关于的函数(是正整数)例：，则下列结论错误的是（）A． B．C． D．或1【答案】C【解析】根据定义，，，，因为，所以C不正确，故选C【知识点】定义新运算2.（2018湖北随州9，3分）我们将如图所示的两种排列形式的点的个数分别称作“三角形数”（如1，3，6，10…）和“正方形数”（如1，4，9，16…），在小于200的数中，设最大的“三角形数”为m，最大的“正方形数”为n，则m＋n的值为（）A．33B．301C．386D．571【答案】C．【解析】“三角形数”图形中，第1个图形有1个点，第2个图形有1＋2＝3个点，第3个图形有1＋2＋3＝6个点，第4个图形有1＋2＋3＋4＝10个点…第a个图形有1＋2＋3＋…＋a＝个点．“正方形数”图形中，第1个图形有1个点，第2个图形有22＝4个点，第3个图形有32＝9个点，第4个图形有42＝16个点…第b个图形有b2个点．由＜200，尝试代入a＝20，得＝210＞200，不合题意，于是最大的“三角形数”m＝＝190．由b2＜200，可知b的最大整数值为14，于是最大的“正方形数”n＝142＝196，则m＋n的值为190＋196＝386．3.（2018年浙江省义乌市，8，4）利用如图1的二维码可以进行身份识别．某校建立了一个身份识别系统，图2是某个学生的识别图案，黑色小正方形表示1，白色小正方形表示0，将第一行数字从左到右依次记为a，b，c，d，那么可以转换为该生所在班级序号，其序号为a×23+b×22+c×21+d×20，如图2第一行数字从左到右依次为0，1，0，1，序号为0×23+1×22+0×21+1×20=5，表示该生为5班学生．表示6班学生的识别图案是（） ABCD．【答案】B【思路分析】根据规定的运算法则分别计算出每个选项第一行的数即可作出判断．【解题过程】A、第一行数字从左到右依次为1、0、1、0，序号为1×23+0×22+1×21+0×20=10，不符合题意；B、第一行数字从左到右依次为0，1，1，0，序号为0×23+1×22+1×21+0×20=6，符合题意；C、第一行数字从左到右依次为1，0，0，1，序号为1×23+0×22+0×21+1×20=9，不符合题意；D、第一行数字从左到右依次为0，1，1，1，序号为0×23+1×22+1×21+1×20=7，不符合题意；故选：B．【知识点】图形的变化规律二、填空题1.（2018广西省桂林市，18，3分）将从1考试的连续自然数按右图规律排列：规定位于第m行，第n列的自然数记为（m，n），如：自然数8记为（2，1），自然数10记为（3，2），自然数15记为（4，2），…，按此规律，自然数2018记为．行列第1列第2列第3列第4列第1行1234第2行8765第3行9101112第4行16151413……………第m行…………【答案】（505，2）．【思路分析】这组数据每8个数一个周期，用2018除以8所得的余数就是列，行数则为商×2＋1．【解析】解：这组数据每8个数一个周期，2018÷8＝252…2，∵每行有4个数，故行为252×2＋1＝504＋1＝505，因余数为2，故列为2，∴自然数2018记为（505，2）．【知识点】找规律2.（湖北省咸宁市，5，3）按一定顺序排列的一列数叫做数列，如数列：则这个数列的前2018个数的和为__________.【答案】【解析】则第2018个数为则这个数列的前2018个数的和为===【知识点】探究规律3.（2018湖南省怀化市，16，4分）根据下列材料，解答问题．等比数列求和：概念：对于一列数，，，…，，…（为正整数），若从第二个数开始，每一个数与前一个数的比为一定值，即（常数），那么这一列数，，，…，，…这一列数成等比数列，这一常数叫做该数列的公比。例：求等比数列1，3，，，…，的和．解：令则因此，，所以，即仿照例题，等比数列1，5，，，…，的和为________．【答案】【思路分析】仿造例题令，找出，二者做差即可得出的值．【解题过程】令EQ\o\ac(○,1)，则EQ\o\ac(○,2)，由EQ\o\ac(○,2)-EQ\o\ac(○,1)得，，所以【知识点】规律型，数字的变化类4.（2018湖南娄底，18，3）设是一列正整数，其中表示第一个数，表示第二个数，依此类推，表示第个数(是正整数)已知，.则.【答案】4035【解析】由题意，，得到，因为为正整数，所以，即，所以，故答案为4035【知识点】定义新运算、规律探究、完全平方公式5.（2018吉林省，14,2分）我们规定：等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫做等腰三角形的“特征值”，记作k，若k=，则该等腰三角形的顶角为度．【答案】36【解析】根据等腰三角形的性质得出∠B=∠C，根据三角形内角和定理和已知得出5∠A=180°，求出即可．设顶角为α，则其底角为，由k=，可得=2α，解出α=36°。【知识点】三角形内角和定理，等腰三角形的性质．6.（2018贵州铜仁，16，4）定义新运算：※=，例如3※2=，已知4※=20，则=.【答案】4，【解析】根据新运算的定义，4※＝，∴.7.（2018山东莱芜，17，9分）如图，若△ABC内一点P满足∠PAC=∠PCB=∠PBA，则称点P为△ABC的布罗卡尔点．三角形的布罗卡尔点是法国数学家和数学教育家克雷尔首次发现，后来被数学爱好者法国军官布罗卡尔重新发现，并用他的名字命名，布罗卡尔点的再次发现，引发了研究“三角形几何”的热潮.已知△ABC中，CA=CB，∠ACB=120°，P为△ABC的布罗卡尔点，若PA=EQ\R(,3)，则PB＋PC=___________.【答案】1＋EQ\F(EQ\R(,3),3)【思路分析】由“布罗卡尔点”的定义，得到∠PAC＝∠PCB＝∠PBA，又∠ABC＝∠BAC＝30°，可证△BCP∽△ABP即可．【解题过程】解：如图，由“布罗卡尔点”的定义，设∠PAC＝∠PCB＝∠PBA＝α，又CA＝CB，∠ACB＝120°，∴∠ABC＝∠BAC＝30°，∴∠CBP＝∠PAB＝30°－α＝β，∴△BCP∽△ABP，∴PB/PA＝BC/AB＝PC/PB，而在△ABC中，作CD⊥AB于D，则BD＝EQ\F(1,2)AB，而cosB＝EQ\F(BD,BC)＝EQ\F(EQ\R(,3),2)，∴EQ\F(BC,AB)＝EQ\F(1,EQ\R(,3))，∴EQ\F(PB,EQ\R(,3))＝EQ\F(1,EQ\R(,3))＝EQ\F(PC,PB)，∴PB＝1，PC＝EQ\F(EQ\R(,3),3)，∴PB＋PC＝1＋EQ\F(EQ\R(,3),3)．故答案为1＋EQ\F(EQ\R(,3),3)．【知识点】新定义问题；相似三角形的性质与判定；解直角三角形8.（2018上海，15，4分）如图3，已知平行四边形ABCD，E是边BC的中点，联结DE并延长，与AB的延长线将于点F.设，那么向量用向量、表示为.【答案】+2，【解析】.三、解答题1.（湖北省咸宁市，23，10）定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等),我们就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线”.理解：如图1，已知在正方形网格中，请你只用无刻度的直尺在网格中找到一点D，使四边形ABCD是以AC为“相似对角线”的四边形（保留画图痕迹，找出3个即可）；如图2，在四边形ABCD中，，对角线BD平分.求证：BD是四边形ABCD的“相似对角线”；运用：(3)如图3，已知FH是四边形EFGH的“相似对角线”，.连接EG，若的面积为，求FH的长.【思路分析】（1）先求出AB，BC，AC，再分情况利用相似比求出CD或AD，即可画出图形；（2）先判断出∠A+∠ADB=140°=∠ADC，即可得出结论；（3）先判断出△FEH∽△FHG，得出FH2=FE•FG，再判断出EQ=FE，继而求出•FE=8，即可得出结论．【解题过程】解：（1）由图1知，AB=，BC=2，∠ABC=90°，AC=5，

∵四边形ABCD是以AC为“相似对角线”的四边形，

①当∠ACD=90°时，△ACD∽△ABC或△ACD∽△CBA，

∴或，

∴CD=10或

同理：当∠CAD=90°时，或AD=10，

（2）证明：∵∠ABC=80°，BD平分∠ABC，

∴∠ABD=∠DBC=40°，

∴∠A+∠ADB=140°

∵∠ADC=140°，

∴∠BDC+∠ADB=140°，

∴∠A=∠BDC，

∴△ABD∽△BDC，

∴BD是四边形ABCD的“相似对角线”；

（3）如图3，

∵FH是四边形EFGH的“相似对角线”，

∴△EFG与△HFG相似，

∵∠EFH=∠HFG，

∴△FEH∽△FHG，

∴，

∴FH2=FE•FG，

过点E作EQ⊥FG于Q，

∴EQ=FE•sin60°=FE，

∵FG×EQ=2，

∴FG×FE=2，

∴FG•FE=8，

∴FH2=FE•FG=8，

∴FH=2．【知识点】相似三角形的判定和性质；锐角三角函数2.（2018年江苏省南京市，27，9分）结果如此巧合！下面是小颖对一道题目的解答.题目：如图，的内切圆与斜边相切于点，，，求的面积.解：设的内切圆分别与、相切于点、，的长为.根据切线长定理，得，，.根据勾股定理，得.整理，得.所以.小颖发现恰好就是，即的面积等于与的积.这仅仅是巧合吗?请你帮她完成下面的探索.已知：的内切圆与相切于点，，.可以一般化吗？（1）若，求证：的面积等于.倒过来思考呢？（2）若，求证.改变一下条件……（3）若，用、表示的面积.【思路分析】（1）根据题目中所给的方法由切线长定理知AE=AD=m、BF=BD=n、CF=CE=x，根据勾股定理得（x+m）2+（x+n）2=（m+n）2，即x2+（m+n）x=mn，再利用三角形的面积公式计算；（2）由由AC•BC=2mn得（x+m）（x+n）=2mn，即x2+（m+n）x=mn，再利用勾股定理逆定理求证；（3）作AG⊥BC，由三角函数得AG=AC•sin60°=（x+m），CG=AC•cos60°=（x+m）、BG=BC﹣CG=（x+n）﹣（x+m），在Rt△ABG中，根据勾股定理可得x2+（m+n）x=3mn，最后利用三角形的面积公式计算可得．【解题过程】解：设的内切圆分别与、相切于点、，的长为.根据切线长定理，得，，.（1）如图①，在中，根据勾股定理，得.整理，得.所以.（2）由，得.整理，得.所以.根据勾股定理的逆定理，得.（3）如图②，过点作，垂足为.在中，，.所以.在中，根据勾股定理，得.整理，得.所以.【知识点】切线长定理特殊角的三角函数勾股定理及其逆定理3.（2018浙江嘉兴，24，12）我们定义：如果一个三角形一条边上的高等于这条边，那么这个三角形叫做“等高底”三角形，这条边叫做这个三角形的“等底”．（1）概念理解：如图1，在△ABC中，AC＝6，BC＝3，∠ACB＝30°，试判断△ABC是否是“等高底”三角形，请说明理由．（2）问题探究：如图2，△ABC是“等高底”三角形，BC是“等底”，作△ABC关于BC所在直线的对称图形得到△A′BC，连结AA′交直线BC于点D．若点B是△AA′C的重心，求的值．（3）应用拓展:如图3，已知l1∥l2，l1与l2之间的距离为2．“等高底”△ABC的“等底”BC在直线l1上，点A在直线l2上，有一边的长是BC的倍．将△ABC绕点C按顺时针方向旋转45°得到△A′B′C，A′C所在直线交l2于点D．求CD的值．图1图2图3【思路分析】（1）求出BC边上的高的长和BC比较；（2）由“等底”三角形可知AD＝BC，再由B为△AA′C的重心，知BC＝2BD，从而通过勾股定理，用BD表示出AC的长；（3）分两种情况说明：AB＝和AC＝，画出图形．【解答过程】（1）如图1，过点A作AD上直线CD于点D，∴△ADC为直角三角形，∠ADC＝90°∴∠ACB＝30°，AC＝6，∴AD＝＝3∴AD＝BC＝3即是“等高底”三角形．（2）如图2，∵△ABC是“等高底”三角形，BC是“等底”，∴AD＝BC∵△A′BC与与△ABC关于直线BC对称，∴∠ADC＝90°∵点B是△AA′C的重心，∴BC＝2BD设BD＝x，则AD＝BC＝2x，∴CD＝3x∴由勾股定理得AC＝x，∴（3）①当AB＝BC时，Ⅰ．如图3，作AE⊥l1于点E，DF⊥AC于点F，“等高底”△ABC的“等底”为BC，l1∥l2.l1与l2之间的距离为2，AB＝BC∴BC＝AE＝2，AB＝∴BE＝2，即EC＝4，∴AC＝∵△ABC绕点C按顺时针方向旋转45°得到△A′B′C，∴∠CDF＝45°设DF＝CF＝x∵l1∥l2，∴∠ACE＝∠DAF，∴，即．∴AC＝3x＝，可得x＝，∴CD＝Ⅱ．如图4，此时△ABC是等腰直角三角形，∵△ABC绕点C按顺时针方向旋转45°得到△A′B′C，∴△ACD是等腰直角三角形，∴CD＝AC＝②当AC＝BC时，Ⅰ．如图5，此时△ABC是等腰直角三角形，∴△ABC绕点C按顺时针方向旋转45°得到△A′B′C时，点A′在直线l1上∴A′C∥l2，即直线A′C与l2无交点综上，CD的值为，，2【其他不同解法，请酌情给分】24题图124题图224题图324题图424题图524题图64.阅读材料题（本题共12分）25.（2018年黔三州，25,12）“分块计数法”：对有规律的图形进行计数时，有些题可以采用“分块计数”的方法.例如;图1有6个点，图2有12个点，图3有18个点，……，按此规律，求图10、图n由多少个点？我们将每个图形分成完全相同的6块，每块黑点的个数相同（如图），这样图1中黑点个数是6×1=6个；图2中黑点个数是6×2=12个；图3中黑点个数是6×3=18个；……，所以容易求出图10、图n中黑点的个数分别是、.【思路分析】根据图1、图2、图3，…，黑点数分别是6×1=6、6×2=12、6×3=18，…，可以猜想图10中黑点数为6×10=60，图n中黑点数为6×n=6n.【答案】60,6n【知识点】图形规律探索请你参考以上“分块计数法”先将下面的点阵进行分块（画在答题卡上），再完成以下问题：（1）第5个点阵中有个圆圈；第n个点阵中有个圆圈；【答案】613n-3n+1(或3n(n-1)+1)【解析】根据分法1，每个图形分成了3块，第1个图形有1个小圆圈，第2个图形有3×[2×（2-1）]+1个小圆圈,第3个图形有3×[3×（3-1）]+1个小圆圈，,第4个图形有3×[4×（4-1）]+1个小圆圈，…，第n个图形有3×[n×（n-1）]+1个小圆圈.所以第5个点阵中有3×[5×（5-1）]+1=15×4+1=61个圆圈；第n个图形有3×[n×（n-1）]+1=3n(n-1)+1个小圆圈.【知识点】归纳猜想(2)小圆圈的个数会等于271吗？如果会，请求出是第几个点阵.【思路分析】设第n个点阵的小圆圈个数为271，根据问题（1）结论列方程解决.【解题过程】设第n个点阵的小圆圈个数为271，则3n(n-1)+1=271，整理得n2-n-90=0，解得n1=-9(不符合题意，舍去)，n2=10.所以，第10个点阵中小圆圈个数为271个.【知识点】构建一元二次方程，归纳猜想5.（2018江苏扬州，20，8）对于任意实数、，定义关于“”的一种运算如下：．例如．（1）求的值；（2）若，且，求的值．【思路分析】（1）根据新定义型运算法则即可求出答案；（2）列出方程组即可求出答案．【解题过程】解：（1）；（2）由题意得∴．【知识点】新定义型，求代数式的值，解二元一次方程组6.（2018江苏扬州，27，12）问题呈现如图1，在边长为1的正方形网格中，连接格点D，N和E，C，DN和EC相交于点P，求tan∠CPN的值．方法归纳求一个锐角的三角函数值，我们往往需要找出（或构造出）一个直角三角形．观察发现问题中∠CPN不在直角三角形中，我们常常利用网格画平行线等方法解决此类问题，比如连接格点M，N，可得MN∥EC，则∠DNM=∠CPN，连接DM，那么∠CPN就变换到Rt△DMN中．问题解决（1）直接写出图1中tan∠CPN的值为_________；（2）如图2，在边长为1的正方形网格中，AN与CM相交于点P，求cos∠CPN的值；思维拓展（3）如图3，AB⊥BC，AB=4BC，点M在AB上，且AM=BC，延长CB到N，使BN=2BC，连接AN交CM的延长线于点P，用上述方法构造网格求∠CPN的度数．【思路分析】（1）根据方法归纳，运用勾股定理分别求出MN和DM的值，即可求出tan∠CPN的值；（2）仿（1）的思路作图，即可求解；（3）利用网格，构造等腰直角三角形解决问题即可；【解题过程】解：（1）如图进行构造：由勾股定理得：DM=，MN=,DN=，∵()2+()2=()2，∴DM2+MN2=DN2，∴△DMN是直角三角形；∵MN∥EC，∴∠CPN=∠DNM，∵tan∠DNM=DMMN=222=2，∴也可以这样做：（1）如图1中，∵EC∥MN，∴∠CPN=∠DNM，∴tan∠CPN=tan∠DNM，∵∠DMN=90°，∴tan∠CPN=tan∠DNM=2．（2）如图，cos∠CPN=cos∠QCM=．也可以这样做：如图2中，取格点D，连接CD，DM．∵CD∥AN，∴∠CPN=∠DCM，∵△DCM是等腰直角三角形，∴∠DCM=∠D=45°，∴cos∠CPN=cos∠DCM=．(3)如图，∠CPN=∠CMQ=45°．也可以这样：如图3中，如图取格点M，连接AN、MN．∵PC∥MN，∴∠CPN=∠ANM，∵AM=MN，∠AMN=90°，∴∠ANM=∠MAN=45°，∴∠CPN=45°．【知识点】正方形网图，非直角三角形中锐角三角函数值7.(2018湖南湘西州，8，4分)对于任意实数a、b，有一种运算a※b＝ab－a＋b－2．例如：2※5＝2×5－2＋5－2＝11．请根据上述的定义解决问题：若不等式3※x＜2，则不等式的正整数解是__________．【答案】：18.（2018江苏常州，26，10）(本小题满分10分)阅读材料:各类方程的解法求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x=a的形式，求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解;类似的，求解三元一次方程组，把它转化为解二元次方程组．求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解．求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想一转化，把未知转化为已知．用“转化”的数学思想，我们]还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程x3+x2－2x=0可以通过因式分解把它转化为x(x2+x－2)=0，解方程x=0和x2+x－2=0，可得方程x3+x2－2x=0的解(1)问题:方程x3+x2－2x=0的解是x1=0，x2=______．x3=______．(2)拓展:用“转化”思想求方程的解;(3)应用:如图，已知矩形草坪ABCD的长AD=8m，宽AB=3m，小华把一根长为10m的绳子的一端固定在点B，沿草坪边沿BA、AD走到点P处，把长绳PB段拉直并固定在点P，然后沿草坪边沿PD、DC走到点C处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点C．求AP的长．【解答过程】（1）x2=1,x3=－2（2）两边平方，得解此方程，得检验：当x=3时，满足题意；当x=－1时，不满足题意，舍去原方程的根为x=3。设AP=xm，因AD=8m，则PD=(8－x)m在RtΔABP中，PB=m在RtΔPCD中，PC=m∵PB=10－PC∴两边平方，化简得：再次两边平方，整理得到，即解得x=4经检验，x=4满足题意。答：该段运河的河宽为4m。9.（2018湖北随州23，11分）（本题满分11分）我们知道，有理数包括整数、有限小数和无限循环小数，事实上，所有的有理数可以化为分数形式（整数可看作分母为1的分数），那么无限循环小数如何表示为分数形式呢？请看以下示例：例：将化为分数形式由于＝…， 设x＝…①则10x＝…②②－①得9x＝7，解得x＝，于是得＝．同理可得＝＝，＝1＋＝1＋＝．根据以上阅读，回答下列问题：（以下计算结果均用最简分数表示）【基础训练】（1）＝____________，＝____________；（2）将化为分数形式，写出推导过程；【能力提升】（3）＝____________，＝____________；（注：＝…，＝…）【探索发现】（4）①试比较与1的大小：__________1（填“＞”、“＜”或“＝”）②若已知＝，则＝__________．（注：＝…）【思路分析】仿照题中无限小数写成分数形式的方法，设未知数，根据小数点后循环节中数字的个数扩大10倍或100倍或1000倍，再相减得一元一次方程求解即可．【解答过程】（1）由于＝…，设x＝…①则10x＝…②②－①得9x＝5，解得x＝，于是得＝．同理可得＝5＋＝5＋＝．故答案为，．（2）由于＝…设x＝…①则100x＝…②②－①得99x＝23，解得x＝，∴＝．（3）由于＝…，设x＝…①则1000x＝…②②－①得999x＝315，解得x＝，于是得＝．设x＝，则10x＝③1000x＝④④－③得990x＝1998，解得x＝，于是得＝．故答案为，．（4）①由于＝…，设x＝…Ⅰ 则10x＝…ⅡⅡ－Ⅰ得9x＝9，解得x＝1，于是得＝1．②＝3＋＝3＋1000×－285＝．故答案为①＝，②．10.（2018·宁夏，25，10）空间任意选定一点O，以点O为端点，作三条互相垂直的射线ox、oy、oz．这三条互相垂直的射线分别称作x轴、y轴、z轴，统称为坐标轴，它们的方向分别为ox（水平向前）、oy（水平向右）、oz（竖直向上）方向，这样的坐标系称为空间直角坐标系．将相邻三个面的面积记为S1、S2、S3，且S1＜S2＜S3的小长方体称为单位长方体，现将若干个单位长方体在空间直角坐标系内进行码放，要求码放时将单位长方体S1所在的面与x轴垂直，S2所在的面与y轴垂直，S3所在的面与z轴垂直，如图1所示．若将x轴方向表示的量称为几何体码放的排数，y轴方向表示的量称为几何体码放的列数，z轴方向表示的量称为几何体码放的层数；如图2是由若干个单位长方体在空间直角坐标内码放的一个几何体，其中这个几何体共码放了1排2列6层，用有序数组记作（1，2，6），如图3的几何体码放了2排3列4层，用有序数组记作（2，3，4）．这样我们就可用每一个有序数组（x，y，z）表示一种几何体的码放方式．（1）如图是由若干个单位长方体码放的一个几何体的三视图，则这种码放方式的有序数组为____________，组成这个几何体的单位长方体的个数为________个；（2）对有序数组性质的理解，下列说法正确的是_____________________；（只填序号）=1\*GB3①每一个有序数组（x，y，