章经典傅里叶变换讲解

优选章经典傅里叶变换讲解本文档共201页；当前第1页；编辑于星期一\18点22分傅里叶1768年生于法国,1807年提出“任何周期信号都可用正弦函数级数表示”,1822年在“热的分析理论”一书中再次提出。1829年狄里赫利给出傅里叶变换收敛条件。傅里叶变换得到大规模的应用，则是到了上世纪60年代之后。3.1傅里叶变换的产生傅里叶的两个最主要的贡献：（1）“周期信号都可表示为谐波关系的正弦信号的加权和”;（2）“非周期信号都可用正弦信号的加权积分表示”.本文档共201页；当前第2页；编辑于星期一\18点22分三角函数就是一个标准的两两正交的函数空间。它满足下列完备正交函数的三个条件：3.2周期信号的傅里叶分析1.归一化：2.归一正交化：3.归一化完备性：可以用其线性组合表示任意信号本文档共201页；当前第3页；编辑于星期一\18点22分周期的终点

设三角函数的完备函数集为：其中三角函数集也可表示为：3.2.1傅里叶级数的三角形式基频

周期

周期的起点

本文档共201页；当前第4页；编辑于星期一\18点22分时，有（2）“单位”常数性，即当

满足：（1）正交性：函数集中的任意函数两两相正交，有

本文档共201页；当前第5页；编辑于星期一\18点22分可以将“任意”周期函数在这个正交函数集中展开为系数称为傅里叶级数

本文档共201页；当前第6页；编辑于星期一\18点22分同上式

傅里叶级数的三角展开式

另一种形式

直流分量

n=1n>1基波分量

n次谐波分量

本文档共201页；当前第7页；编辑于星期一\18点22分可展开为傅里叶级数的条件：（2）在区间内有有限个间断点；（1）绝对可积，即：（3）在区间内有有限个极值点。Direchlet条件傅里叶级数存在的充要条件式中，

为n次谐波振幅。

为n次谐波初始相位。！并非任意周期信号都能进行傅里叶级数展开！

本文档共201页；当前第8页；编辑于星期一\18点22分1.从三角函数形式的傅里叶级数推导3.2.2傅里叶级数的复指数形式利用欧拉公式:式中幅度相位

复指数

幅度

本文档共201页；当前第9页；编辑于星期一\18点22分的具体求法如下：2.直接从复变正交函数集推导中展开，有在复变正交函数空间将原函数本文档共201页；当前第10页；编辑于星期一\18点22分式中例求的指数傅里叶级数和三角傅里叶级数。已知冲激序列…-T0

O

T02T0t…本文档共201页；当前第11页；编辑于星期一\18点22分的三角傅里叶级数为：又解本文档共201页；当前第12页；编辑于星期一\18点22分求下图中三角波的三角傅里叶级数。则为的周期延拓，即

将去除直流分量，则仅剩交流分量在内的函数记为（1）将周期函数例解A-T0OT0

2T0t本文档共201页；当前第13页；编辑于星期一\18点22分

故本文档共201页；当前第14页；编辑于星期一\18点22分（2）利用直接法求解故

本文档共201页；当前第15页；编辑于星期一\18点22分常称为f(t)的截断傅里叶级数表示式。用MATLAB的符号积分函数int()可表示上式。格式为：（1）intf=int(f,v)；

给出符号表达式f对指定变量v的（不带积分常数）不定积分；（2）intf=int(f,v,a,b)；

给出符号表达式f对指定变量v的定积分。3.2.3傅里叶级数的MATLAB仿真实现本文档共201页；当前第16页；编辑于星期一\18点22分3.3周期信号的对称性1．纵轴对称性

（1）如果原函数是偶函数，则其傅里叶级数中只有直流和余弦分量（即偶函数之和仍然是偶函数）。（2）如果原函数是奇函数，则其傅里叶级数中只有正弦分量（即奇函数之和仍然是奇函数）。满足的周期为T的函数；即平移半个周期后的信号与原信号关于横轴对称。定义：奇谐函数偶谐函数满足的周期为T的函数；即平移半个周期后信号与原信号重合。本文档共201页；当前第17页；编辑于星期一\18点22分2．横轴对称性（2）偶谐函数的傅里叶级数中只有偶次谐波分量。（1）奇谐函数的傅里叶级数中只有奇次谐波分量。如果原信号既不是奇谐函数也不是偶谐函数，那么其傅里叶级数展开式中就会既包含有奇次谐波分量也包含有偶次谐波分量。！利用奇谐函数、偶谐函数性质的时候，最好将其直流分量去掉，以免发生误判。本文档共201页；当前第18页；编辑于星期一\18点22分已知奇谐函数：例解本文档共201页；当前第19页；编辑于星期一\18点22分3.4常见周期信号的频谱3.4.1频谱的概念频谱图表示信号含有的各个频率分量的幅度值。其横坐标为频率（单位为赫兹），纵坐标对应各频率分量的幅度值。

振幅频谱（幅频特性图）表示信号含有的各个频率分量的相位。其横坐标为频率；纵坐标对应各频率分量的相位（单位常用度或弧度）。

相位频谱（相频特性图）本文档共201页；当前第20页；编辑于星期一\18点22分例，求频谱解（1）单边频谱：

本文档共201页；当前第21页；编辑于星期一\18点22分（2）双边频谱：包络线频谱图随参数的变化规律：

1）周期T不变，脉冲宽度变化本文档共201页；当前第22页；编辑于星期一\18点22分第一个过零点：谱线间隔情况1：第一个过零点为n=4。

在有值（谱线）本文档共201页；当前第23页；编辑于星期一\18点22分第一个过零点n=8

情况2：脉冲宽度缩小一倍第一个过零点增加一倍谱线间隔不变幅值减小一倍本文档共201页；当前第24页；编辑于星期一\18点22分第一个过零点为n=16。情况3：脉冲宽度再缩小一倍示意图第一个过零点再增加一倍谱线间隔不变幅值再减小一倍本文档共201页；当前第25页；编辑于星期一\18点22分

由大变小，Fn

第一过零点频率增大，即所以称为信号的带宽，确定了带宽。由大变小，频谱的幅度变小。由于T

不变，谱线间隔不变，即不变。结论本文档共201页；当前第26页；编辑于星期一\18点22分

第一个过零点情况1：时，谱线间隔2）脉冲宽度不变,周期T变化

示意图第一个过零点谱线间隔幅值:

本文档共201页；当前第27页；编辑于星期一\18点22分

第一个过零点

情况2：时，谱线间隔周期T扩展一倍示意图谱线间隔减小一倍第一个过零点不变幅值减小一倍

本文档共201页；当前第28页；编辑于星期一\18点22分

第一个过零点情况3：时，谱线间隔周期T再扩展一倍示意图谱线间隔再减小一倍幅值再减小一倍

第一个过零点不变本文档共201页；当前第29页；编辑于星期一\18点22分不变，Fn的第一个过零点频率不变，即带宽不变。T

由小变大，谐波频率成分丰富，且频谱幅度变小。

T

时，谱线间隔0，这时：周期信号非周期信号；离散频谱连续频谱结论本文档共201页；当前第30页；编辑于星期一\18点22分典型周期信号的频谱分析，可利用傅里叶级数或傅里叶变换。典型周期信号如下：1.周期矩形脉冲信号2.周期对称方波信号3.周期锯齿脉冲信号4.周期三角脉冲信号5.周期半波余弦信号6.周期全波余弦信号3.4.2常见周期信号的频谱本文档共201页；当前第31页；编辑于星期一\18点22分1.周期矩形脉冲信号

(1)周期矩形脉冲信号的傅里叶级数求解设周期矩形脉冲：脉宽为，脉冲幅度为E，周期为T1本文档共201页；当前第32页；编辑于星期一\18点22分本文档共201页；当前第33页；编辑于星期一\18点22分（2）周期矩形脉冲信号的幅度、相位谱相位谱幅度谱本文档共201页；当前第34页；编辑于星期一\18点22分复数频实数频谱幅度谱与相位谱合并本文档共201页；当前第35页；编辑于星期一\18点22分

周期对称方波信号是周期矩形信号的一种特殊情况，对称方波信号有两个特点：(1)是正负交替的信号，其直流分量a0等于零；(2)它的脉宽恰等于周期的一半，即t

=T1/2。2.周期对称方波信号的傅里叶级数本文档共201页；当前第36页；编辑于星期一\18点22分本文档共201页；当前第37页；编辑于星期一\18点22分幅度谱相位谱本文档共201页；当前第38页；编辑于星期一\18点22分3.周期锯齿脉冲信号的傅里叶级数求解周期锯齿脉冲信号，是奇函数故，可求出傅里叶级数系数bn。如何求bn留作思考！本文档共201页；当前第39页；编辑于星期一\18点22分其傅里叶级数表达式为：此信号的频谱只包含正弦分量，谐波的幅度以1/n的规律收敛。本文档共201页；当前第40页；编辑于星期一\18点22分4.周期三角脉冲信号的傅里叶级数求解周期三角脉冲信号，是偶函数，故，可求出傅里叶级数系数a0

、an。如何求bn留作思考！本文档共201页；当前第41页；编辑于星期一\18点22分此信号的频谱只包含直流、基波及奇次谐波分量，谐波的幅度以1/n2的规律收敛。其傅里叶级数表达式为：本文档共201页；当前第42页；编辑于星期一\18点22分5.周期半波余弦信号的傅里叶级数求解周期半波余弦信号，是偶函数，故，可求出傅里叶级数系数a0

、an。如何求bn留作思考！本文档共201页；当前第43页；编辑于星期一\18点22分此信号的频谱只包含直流、基波及偶次谐波分量，谐波的幅度以1/n2的规律收敛。其傅里叶级数表达式为：本文档共201页；当前第44页；编辑于星期一\18点22分6.周期全波余弦信号的傅里叶级数求解周期全波余弦信号，是偶函数。令余弦信号为则，全波余弦信号为：本文档共201页；当前第45页；编辑于星期一\18点22分此信号的频谱只包含直流、基波及偶次谐波分量，谐波的幅度以1/n2的规律收敛。其傅里叶级数表达式为：本文档共201页；当前第46页；编辑于星期一\18点22分

如果用有限傅里叶级数代替无穷傅里叶级数表示信号，必然引进一个误差。如果完全逼近，则n=∞.

实际中，n=N,N是有限整数。 如果N愈接近n

，则其均方误差愈小 若用2N＋1项逼近，则3.4.3吉布斯效应本文档共201页；当前第47页；编辑于星期一\18点22分误差函数和均方误差误差函数均方误差本文档共201页；当前第48页；编辑于星期一\18点22分对称方波,是偶函数且奇谐函数。所以其只有奇次谐波的余弦项。例-E/2T1/4-T1/4tE/2o本文档共201页；当前第49页；编辑于星期一\18点22分对称方波有限项的傅里叶级数

（N=1、2、3时的逼近波形）（3）N=3:（1）N=1:（2）N=2:-0.5-0.4-0.3-0.2-0.100.10.20.30.40.5-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81本文档共201页；当前第50页；编辑于星期一\18点22分有限项的N越大，误差越小例如:N=9-0.5-0.4-0.3-0.2-0.100.10.20.30.40.5-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81本文档共201页；当前第51页；编辑于星期一\18点22分N越大，越接近方波快变信号，高频分量，主要影响跳变沿；慢变信号，低频分量，主要影响顶部；任一分量的幅度或相位发生相对变化时，波形将会失真；有吉伯斯现象发生。结论本文档共201页；当前第52页；编辑于星期一\18点22分以周期矩形脉冲为例：只需修改上面程序(3.2.3节)中函数CTFShchsym.m的内容，需注意：因周期信号频谱是离散的，故在绘制频谱时采用stem而非plot命令。谐波阶数取还需用到MATLAB的反褶函数fliplr来实现频谱的反褶。上机练习！3.4.4周期信号的MATLAB仿真实现本文档共201页；当前第53页；编辑于星期一\18点22分对周期矩形脉冲信号，有3.5非周期性信号的频谱3.5.1从傅里叶级数到傅里叶变换本文档共201页；当前第54页；编辑于星期一\18点22分谱线间隔¯谱线间隔0®

从物理概念考虑：信号的能量存在，其频谱分布的规律就存在。由于1．从周期信号到非周期信号——从傅里叶级数到傅里叶变换本文档共201页；当前第55页；编辑于星期一\18点22分信号的频谱分布是不会随着信号的周期的无限增大而消失的。T→∞时，信号的频谱分布仍然存在。

结论无限多个无穷小量之和仍可等于一个有限量。

从数学角度来看：本文档共201页；当前第56页；编辑于星期一\18点22分所以，傅里叶级数展开为：为频谱密度函数。定义本文档共201页；当前第57页；编辑于星期一\18点22分周期信号：频谱是离散的，且各频率分量的复振幅为有限值。非周期信号：频谱是连续的，且各频率分量的复振幅为无限小量。

所以，对非周期信号来说，仅仅去研究那无限小量是没有意义的，其频谱不能直接引用复振幅的概念。！本文档共201页；当前第58页；编辑于星期一\18点22分2．傅里叶逆变换——怎样用计算本文档共201页；当前第59页；编辑于星期一\18点22分本文档共201页；当前第60页；编辑于星期一\18点22分3.

正、逆傅里叶变换反变换正变换!傅里叶变换对的形式并不唯一傅里叶变换存在的充分条件:用广义函数的概念，允许奇异函数也能满足上述条件，因而象阶跃、冲激一类函数也存在傅里叶变换。本文档共201页；当前第61页；编辑于星期一\18点22分4．傅里叶变换的另外几种形式本文档共201页；当前第62页；编辑于星期一\18点22分本文档共201页；当前第63页；编辑于星期一\18点22分

本节主要介绍以下几种典型的非周期信号的频谱。1.单边指数信号6.符号函数2.双边指数信号7.冲激函数傅里叶变换对3.奇双边指数信号8.冲激偶的傅里叶变换4.矩形脉冲信号9.阶跃信号的傅里叶变换5.钟形脉冲信号10.复正弦信号3.5.2常见信号的傅里叶变换本文档共201页；当前第64页；编辑于星期一\18点22分1.单边指数信号的傅里叶变换

其傅里叶变换为：本文档共201页；当前第65页；编辑于星期一\18点22分利用傅里叶变换定义公式本文档共201页；当前第66页；编辑于星期一\18点22分时域波形单边指数信号的频谱如下：频域频谱本文档共201页；当前第67页；编辑于星期一\18点22分2.

双边指数信号的傅里叶变换

其傅里叶变换为：（正实函数）本文档共201页；当前第68页；编辑于星期一\18点22分利用傅里叶变换定义公式求解过程本文档共201页；当前第69页；编辑于星期一\18点22分时域波形双边指数信号的频谱如下：频域频谱相位本文档共201页；当前第70页；编辑于星期一\18点22分3.奇双边指数信号的傅里叶变换本文档共201页；当前第71页；编辑于星期一\18点22分频域频谱时域波形频谱如下：本文档共201页；当前第72页；编辑于星期一\18点22分4.矩形脉冲信号的傅里叶变换实函数本文档共201页；当前第73页；编辑于星期一\18点22分时域有限的矩形脉冲信号，在频域上是无限分布。常认为信号占有频率范围（频带B）为本文档共201页；当前第74页；编辑于星期一\18点22分5.钟形脉冲信号的傅里叶变换

（高斯脉冲）其傅里叶变换为：（正实函数）本文档共201页；当前第75页；编辑于星期一\18点22分因为钟形脉冲信号是一正实函数，所以其相位频谱为零。时域波形频域频谱本文档共201页；当前第76页；编辑于星期一\18点22分6.符号函数的傅里叶变换其傅里叶变换为：（纯虚数函数）本文档共201页；当前第77页；编辑于星期一\18点22分

符号函数不满足绝对可积条件，但它却存在傅里叶变换。

采用符号函数与双边指数衰减函数相乘，求出奇双边指数的频谱，再取极限，从而求得符号函数的频谱。本文档共201页；当前第78页；编辑于星期一\18点22分7.冲激函数傅里叶变换对直流信号的傅里叶变换是冲激函数！本文档共201页；当前第79页；编辑于星期一\18点22分均匀谱或白色谱1Oto1OtO本文档共201页；当前第80页；编辑于星期一\18点22分8.冲激偶的傅里叶变换

记为

同理，有本文档共201页；当前第81页；编辑于星期一\18点22分9.阶跃信号的傅里叶变换

幅频特性

相频特性

u(t)Ot1O本文档共201页；当前第82页；编辑于星期一\18点22分10．复正弦信号的傅里叶变换为一位于且强度为的冲激函数。结论O本文档共201页；当前第83页；编辑于星期一\18点22分升余弦脉冲信号的傅里叶变换

补充升余弦脉冲信号：其傅里叶变换为：（实数）其频谱由三项构成，均为矩形脉冲频谱，只是有两项沿频率轴左、右平移了本文档共201页；当前第84页；编辑于星期一\18点22分利用傅里叶变换定义公式化简得：求解过程本文档共201页；当前第85页；编辑于星期一\18点22分3.5.3MATLAB仿真实现MATLAB数学工具箱SymbolicMathToolbox提供了能直接求解傅氏变换及逆变换的函数fourier()和ifourier()。（1）傅里叶变换调用格式1）F=fourier(f)

2）F=fourier(f,v)

3）F=fourier(f,u,v)

本文档共201页；当前第86页；编辑于星期一\18点22分（2）傅里叶逆变换调用格式1）f=ifourier(F)

2）f=ifourier(F,u)

3）f=ifourier(F,v,u)

在调用fourier()和ifourier()之前，要用syms命令对所用到的变量进行说明，即将这些变量说明成符号变量。对fourier()中的函数f及ifourier()中的函数F也要用符号定义符syms将f或F说明为符号表达式；若f或F是MATLAB中的通用函数表达式，则不必用syms加以说明。

！书中例题可上机练习本文档共201页；当前第87页；编辑于星期一\18点22分时间函数频谱某种运算变化变化运算3.6傅里叶变换的性质1.傅里叶变换的唯一性傅里叶变换的唯一性表明了信号的时域和频域是一一对应的关系。！本文档共201页；当前第88页；编辑于星期一\18点22分2.对称性（频域、时域呈现的对应关系）若，则即证明证毕本文档共201页；当前第89页；编辑于星期一\18点22分如冲激和直流函数的频谱的对称性就是一例子：！若为偶函数，则或即f(t)为偶函数，则时域和频域完全对称。F(ω)ωOOOOF(t)ωtt（1）冲激函数本文档共201页；当前第90页；编辑于星期一\18点22分（2）直流函数1OO1OO本文档共201页；当前第91页；编辑于星期一\18点22分FT对称性t

换成ωf换成F1换成本文档共201页；当前第92页；编辑于星期一\18点22分例解本文档共201页；当前第93页；编辑于星期一\18点22分

3.线性（叠加性、均匀性）

相加信号频谱＝各个单独信号的频谱之和证明推论本文档共201页；当前第94页；编辑于星期一\18点22分求f(t)的傅里叶变换例解本文档共201页；当前第95页；编辑于星期一\18点22分4.奇偶虚实性无论f(t)是实函数还是复函数，下面四式均成立:时域反摺频域也反摺时域共轭频域共轭并且反摺更广泛地讲，函数f(t)是t的复数；令虚部实部本文档共201页；当前第96页；编辑于星期一\18点22分整理上式得出：本文档共201页；当前第97页；编辑于星期一\18点22分把式（2）、（3）代入式（1）整理得：本文档共201页；当前第98页；编辑于星期一\18点22分性质1实数函数设f(t)是t的实函数,则的实部与虚部将分别等于f2(t)=0，f(t)=f1(t)，则有特殊情况讨论：从上式可以得出结论:本文档共201页；当前第99页；编辑于星期一\18点22分实信号的频谱具有很重要的特点，正负频率部分的频谱是相互共轭的.特点偶函数奇函数本文档共201页；当前第100页；编辑于星期一\18点22分性质2虚函数设f(t)是纯虚函数则反之也正确.因而是的奇函数,而是的偶函数。本文档共201页；当前第101页；编辑于星期一\18点22分性质3实偶函数实偶函数的傅里叶变换仍为实偶函数结论反之，若一实函数f(t)的傅里叶积分也是实函数，则f(t)必是偶函数。推论设f(t)是t的实偶函数，则本文档共201页；当前第102页；编辑于星期一\18点22分例解tOf(t)F(ω)tO本文档共201页；当前第103页；编辑于星期一\18点22分性质4奇实函数设f(-t)=-f(t)，则：反之，若一实函数f(t)付里叶积分是一纯虚函数，则f(t)必是奇函数。实奇函数的傅里叶变换则为虚奇函数结论推论本文档共201页；当前第104页；编辑于星期一\18点22分例解tOf(t)ωO|F(ω)|ωOF(ω)ωOφ(ω)π/2-π/2本文档共201页；当前第105页；编辑于星期一\18点22分同理可以推出：若是虚函数且还是偶函数，则的傅里叶变换为虚偶函数。性质5：性质6：若是虚函数且还是奇函数，则的傅里叶变换为实奇函数。读者可以仿照性质3、性质4给予简单证明本文档共201页；当前第106页；编辑于星期一\18点22分如果将按照奇偶来划分本文档共201页；当前第107页；编辑于星期一\18点22分本文档共201页；当前第108页；编辑于星期一\18点22分

由此可看出，此时F(ω)是虚函数且是ω的奇函数。对于f(t)为虚函数的情况，分析方法同上，结论相反。上述讨论的结果如下:f(t)F(ω)实一般实部偶、虚部奇、幅频偶、相频奇偶实部偶奇虚部奇虚偶虚部偶奇实部奇本文档共201页；当前第109页；编辑于星期一\18点22分5.尺度变换特性时间波形的扩展和压缩,将影响频谱的波形对于一个实常数a，其关系为令x=at，则dx=adt，代入上式可得则证明时域压缩则频域展宽；展宽时域则频域压缩。结论本文档共201页；当前第110页；编辑于星期一\18点22分时域中的压缩（扩展）等于频域中的扩展（压缩）f(t/2)缩tO缩f(2t)缩tO缩1展展O展展O本文档共201页；当前第111页；编辑于星期一\18点22分尺度变换变换后语音信号的变化f(t)f(1.5t)f(0.5t)0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

一段语音信号(“对了”)。抽样频率=22050Hzf(t)f(t/2)f(2t)例本文档共201页；当前第112页；编辑于星期一\18点22分定义若高度为的矩形与的面积相等，则称矩形宽度为等效频带宽度。等效频带宽度若高度为的矩形与的面积相等，则称矩形宽度为等效脉冲宽度。等效脉冲宽度本文档共201页；当前第113页；编辑于星期一\18点22分信号的等效脉冲宽度和占有的等效频带宽度成反比。结论本文档共201页；当前第114页；编辑于星期一\18点22分(2)脉宽×频宽＝常数(1)函数f(at)表示函数f(t)在时间刻度上压缩a倍，同样

表示函数在频率刻度上扩展a倍，因此比例性表明，在时间域的压缩等于在频率域中的扩展反之亦然。上述反比特性的物理意义：本文档共201页；当前第115页；编辑于星期一\18点22分6.时移特性若

则证明令则本文档共201页；当前第116页；编辑于星期一\18点22分同理可推得：带有尺度变换的时移特性令a<0时加绝对值本文档共201页；当前第117页；编辑于星期一\18点22分单矩形脉冲的频谱为有如下三脉冲信号：其频谱为求三脉冲信号的频谱例解本文档共201页；当前第118页；编辑于星期一\18点22分频移特性与时移特性对称（这里ω0为实常量）7.频移特性证明本文档共201页；当前第119页；编辑于星期一\18点22分若则同理可得本文档共201页；当前第120页；编辑于星期一\18点22分矩形脉冲信号f(t)与余弦信号cosω0

t相乘后信号的频谱函数。利用频移特性可得宽度为的矩形脉冲信号对应的频谱函数为例解本文档共201页；当前第121页；编辑于星期一\18点22分0A2/tt2/t-)(tfowF(ω)F(ω)oww0-w02/tAt2/t-ttfcos)(w0本文档共201页；当前第122页；编辑于星期一\18点22分8.微分特性

（1）时域（2）频域，则若若，则证明（略）本文档共201页；当前第123页；编辑于星期一\18点22分9.积分特性若（1）时域积分则,则若本文档共201页；当前第124页；编辑于星期一\18点22分(2)频域积分若则本文档共201页；当前第125页；编辑于星期一\18点22分10.卷积定理（1）时域卷积定理

设有两个时间函数f1(t)和f2(t)，它们分别对应的频谱函数为F1(ω)和F2(ω)：若则可简记为本文档共201页；当前第126页；编辑于星期一\18点22分证明式中本文档共201页；当前第127页；编辑于星期一\18点22分（2）频域卷积定理若则可简记为本文档共201页；当前第128页；编辑于星期一\18点22分1.用频移特性3.7周期信号的傅里叶变换

3.7.1正、余弦信号的傅里叶变换令

由频移特性本文档共201页；当前第129页；编辑于星期一\18点22分oo余弦信号频谱

正弦信号频谱本文档共201页；当前第130页；编辑于星期一\18点22分2.用极限方法有限长余弦看成矩形乘以。对求极限即可得到无限长余弦信号。本文档共201页；当前第131页；编辑于星期一\18点22分1-1本文档共201页；当前第132页；编辑于星期一\18点22分3.7.2一般周期信号的傅里叶变换周期信号式中本文档共201页；当前第133页；编辑于星期一\18点22分

求单位冲激序列的傅里叶变换

例解本文档共201页；当前第134页；编辑于星期一\18点22分FSFTOO(1)O1O本文档共201页；当前第135页；编辑于星期一\18点22分小结周期信号傅里叶变换的特点：

(1)周期信号可求取傅里叶变换和傅里叶级数，但非周期信号则只能求傅里叶变换；(2)非周期信号的频谱是连续谱，它的大小是有限值；(3)周期信号的频谱是离散谱，其幅值是无穷大（含谱密度概念），它的大小用冲激表示；是的包络的倍；是单个复谐波成份的复振幅，而是单位带宽内所有复谐波成分的合的复振幅值；（6）的单位是伏特或安培，而的单位则是(伏特/赫，安培/赫)；(7)代表的是信号的功率分配,而代表了信号的能量分布。

本文档共201页；当前第136页；编辑于星期一\18点22分3.8抽样定理取样目的及所遇到的问题：数字信号处理系统简单框图本文档共201页；当前第137页；编辑于星期一\18点22分（1)取样后离散信号的频谱是什么样的？它与未被取样的连续信号的频谱有什么关系？（2)连续信号被取样后，是否保留了原信号的所有信息？即在什么条件下，可以从取样的信号还原成原始信号？问题:连续信号离散信号抽样还原(有条件)

本文档共201页；当前第138页；编辑于星期一\18点22分抽样时域抽样频域抽样自然抽样(矩形抽样)理想抽样(冲激抽样)平顶抽样低通(掌握)带通（了解)本文档共201页；当前第139页；编辑于星期一\18点22分此时的抽样脉冲p(t)是矩形。由于fs(t)=f(t)p(t)抽样信号在抽样期间脉冲顶部随f(t)变化，故这种抽样称为“自然抽样”。时域抽样简图抽样过程可以看成由原信号f(t)和一个开关函数p(t)的乘积来描述。抽样信号为1．矩形脉冲抽样（自然抽样）3.8.1时域抽样连续信号f(t)抽样脉冲p(t)量化编码数字信号抽样信号本文档共201页；当前第140页；编辑于星期一\18点22分由于p(t)是周期信号，可知p(t)的傅氏变换为:令模拟带限信号傅氏变换为，即取样脉冲序列的傅氏变换为设取样为均匀抽样，周期为Ts，则取样角频率为（1）抽样信号频谱推导式中：本文档共201页；当前第141页；编辑于星期一\18点22分由频域卷积定理得，时域相乘的傅氏变换等于它们的频谱在频域里相卷积。代入上面计算出的p(t)信号在时域被抽样后，它的频谱是连续信号的频谱以取样角频率为间隔周期地重复而得到的。在重复过程中，幅度被取样脉冲p(t)的傅里叶系数所加权，加权系数取决于取样脉冲序列的形状。

！本文档共201页；当前第142页；编辑于星期一\18点22分当抽样脉冲为矩形抽样脉冲时，幅度以Sa函数的规律变化。从的频谱图可见，抽样后的信号频谱包括有原信号的频谱以及无限个经过平移的原信号的频谱，平移的频率为抽样频率及其各次谐波频率。且平移后的频谱幅值随频率而呈Sa函数分布。因矩形脉冲占空系数很小，故其频谱所占的频带几乎无限宽。！抽样后频谱o1o抽样前频谱本文档共201页；当前第143页；编辑于星期一\18点22分(1)如果取样脉冲宽度与系统中各时间常数相比十分小的时候，这个冲激函数的假定将是一个很好的近似，它将使分析简化。(2)通过冲激取样的方法来表明数字信号，在数字信号处理中有着广泛的应用。(点抽样；均匀抽样)取样率必须选得大于信号频谱最高频率的两倍。（2）抽样频率的选择！本文档共201页；当前第144页；编辑于星期一\18点22分（3）矩形脉冲抽样of(t)oooo点乘卷积oP(t)本文档共201页；当前第145页；编辑于星期一\18点22分2.冲激抽样（理想抽样）若取样脉冲是冲激序列，此时称为“冲激取样”或“理想抽样”。设Ts为取样间隔，则取样脉冲为因T(t)的傅氏系数为:故冲激取样信号的频谱为：本文档共201页；当前第146页；编辑于星期一\18点22分周期单位冲激序列的FT：本文档共201页；当前第147页；编辑于星期一\18点22分ooooo本文档共201页；当前第148页；编辑于星期一\18点22分抽样前信号频谱抽样后信号频谱由于冲激序列的傅里叶系数Pn为常数，所以是以为周期等幅地重复，如下图所示：本文档共201页；当前第149页；编辑于星期一\18点22分（1）时域理想抽样的傅里叶变换下面对矩形脉冲抽样和冲激抽样进行比较和小结：FT相乘

相卷积FT本文档共201页；当前第150页；编辑于星期一\18点22分（2）关于非理想抽样非理想抽样理想抽样比较本文档共201页；当前第151页；编辑于星期一\18点22分理想抽样和非理想抽样的对比本文档共201页；当前第152页；编辑于星期一\18点22分结论矩形脉冲抽样和冲激抽样的重要差别就在于频谱分量的性质不同。矩形脉冲抽样所导出的频谱分量的幅度是按包络的变化规律随频率而下降的，而理想抽样所导出的频谱却有着相同的幅度，不随频率而减少；是信号本身固有的；是人为的；称为奈奎斯特抽样频率；称为奈奎斯特抽样间隔；抽样频率为奈奎斯特抽样频率的两倍或两倍以上时，抽样信号的频谱才不会发生混叠。只有这样才能无失真地恢复出原信号。

本文档共201页；当前第153页；编辑于星期一\18点22分3．抽样定理定理3.1设有一连续信号f(t)，它的频谱则只要取样间隔满足，连续信号f(t)就可表示为：本文档共201页；当前第154页；编辑于星期一\18点22分

由于f(t)的频带有限,而时域取样必导致频域周期。在周期重复时，为保证内为，则重复周期应满足,将取样信号通过截止频率为的理想低通滤波器，便能从中恢复,也就是说，能从取样信号fs(t)中恢复出原始信号

f(t)。证明OO本文档共201页；当前第155页；编辑于星期一\18点22分由时域卷积定理知：复原始信号f(t)。设、,则当通过截止频率为的理想低通滤波器时，滤波器的响应频谱为，显然滤波器的作用等效于一个开关函数同的相乘。即本文档共201页；当前第156页；编辑于星期一\18点22分本文档共201页；当前第157页；编辑于星期一\18点22分则(内插公式)证毕而由傅里叶变换的对称性可知：本文档共201页；当前第158页；编辑于星期一\18点22分由于定理二是讨论由离散信号恢复成连续信号，所以又称重建定理。

设f(t)是一带限连续信号，最高频率为,根据定理一对f(t)进行抽样，得f(nT)，则f(nT)经过一个频率响应为如图的理想低通滤波器后便得到f(t).

(自证)定理3.210本文档共201页；当前第159页；编辑于星期一\18点22分频域抽样定理若信号为时限信号，它集中在的时间范围内，若在频域中，以不大于的频率间隔对的频谱进行抽样，则抽样后的频谱可以唯一地表示原信号。3.8.2频域抽样

频域有限时域有限时域无限频域无限但反之不一定成立如：白噪声时域取样与频域取样的对称性f(t)以为周期重复f(t)以T为周期重复本文档共201页；当前第160页；编辑于星期一\18点22分根据时域和频域对称性，可推出频域抽样定理偶函数变量置换本文档共201页；当前第161页；编辑于星期一\18点22分频域取样后的时间函数相乘卷积本文档共201页；当前第162页；编辑于星期一\18点22分本文档共201页；当前第163页；编辑于星期一\18点22分抽样定理小结时域对取样等效于频域对重复时域取样间隔不大于。频域对抽样等效于时域对重复频域取样间隔不大于。满足取样定理，则不会产生混叠。本文档共201页；当前第164页；编辑于星期一\18点22分3.9功率频谱与能量频谱3.9.1周期信号的功率谱

周期性信号的能量无穷大，功率有限，因此可从功率方面进行研究。(1)正交分解与信号功率对周期信号f(t)做正交分解，有：则总功率为本文档共201页；当前第165页；编辑于星期一\18点22分式中，为正交信号分量的功率如果信号在非正交函数集中分解后，信号的功率并不满足叠加性（如泰勒级数展开）。注意利用信号傅里叶级数分解后的信号分量，计算原信号的功率

例因为傅里叶级数分解是正交分解

解本文档共201页；当前第166页；编辑于星期一\18点22分时域求得的信号功率频域求得的信号功率（1）周期信号的表示形式对于周期信号，在时域中求得的信号功率＝频域中的信号各谐波分量功率之和。这就是Parseval定理在周期信号时的表示形式帕塞瓦尔定理：本文档共201页；当前第167页；编辑于星期一\18点22分(1)对于单边功率谱，在每个不等于零（非直流）的频率上，子信号功率，直流信号的功率为

将周期性信号在各个频率上分量的功率大小，用图的方法表示出。其横坐标为频率，纵坐标为信号分量的功率，该图形称为功率谱图。功率谱与频谱非常相似，但有稍许不同：(2)对于双边功率谱，在每个频率点上，子信号功率为：(3)功率谱只有大小（幅度），没有相位。（3）周期性信号的功率谱本文档共201页；当前第168页；编辑于星期一\18点22分3.9.2能量频谱对于非周期信号而言，其周期为无穷，但能量有限，所以它的功率为零，故我们只可以从能量角度研究对其进行研究。非周期信号在各个频率上的实际分量大小为无穷小，只能用能量密度谱描述单位频带内的信号能量。：（1）能量谱信号总能量：本文档共201页；当前第169页；编辑于星期一\18点22分在时域中,卷积积分的方法可求得系统的零状态响应。它是以冲激信号作为基本信号，将任意连续信号分解为无穷多个冲激函数的加权和，每个冲激函数对系统的响应叠加起来，就得到的零状态响应。本节中,正弦信号或谐波信号作为基本信号，将信号分解为无穷多个正弦信号或虚指数的加权和。这些信号作用于系统时所得到的响应之叠加即为系统的零状态响应。

3.10系统频域分析法本文档共201页；当前第170页；编辑于星期一\18点22分在时域中其中：H(j)=FT[h(t)]称频域系统函数。则h(t)=IFT[H(j)]

也称系统的频率响应。称为幅频特性，称相频特性。输入的频谱响应的频谱3.10.1周期性信号的稳态响应在频域中本文档共201页；当前第171页；编辑于星期一\18点22分式中为h(t)的傅里叶变换，频域系统函数可见，系统的零状态响应yzs(t)是等于激励ejt

乘以加权函数H(j)，此加权函数H(j)即为频域系统函数，亦即为h(t)的傅里叶变换。设激励f(t)=ejt,则系统零状态响应为即有

h(t)H(j)！本文档共201页；当前第172页；编辑于星期一\18点22分周期信号激励下的系统响应正弦信号激励时的响应设输入信号为正弦信号，即所以本文档共201页；当前第173页；编辑于星期一\18点22分频域分析的方法的求解步骤为：先求出输入信号的频谱F(j)和频域系统函数H(j)由于y(t)=h(t)f(t)，利用连续时间非周期信号的傅里叶变换的时域卷积性质，有

Y(j)=H(j)F(j)，求出输出信号的频谱将Y(j)进行傅里叶反变换就得到y(t)3.10.2非周期信号通过线性系统的零状态响应补充RC电路，若输入信号为矩形脉冲波如图所示。求系统响应。矩形脉冲波本文档共201页；当前第174页；编辑于星期一\18点22分输入信号的频谱为解RC电路的系统函数为因此，输出频谱为因为本文档共201页；当前第175页；编辑于星期一\18点22分令1/RC=a，可得本文档共201页；当前第176页；编辑于星期一\18点22分用Matlab画出的输出信号的频谱如图所示。图中画出了带宽和的两种情况

RC电路输出的幅度频谱本文档共201页；当前第177页；编辑于星期一\18点22分RC电路输出的时域波形

本文档共201页；当前第178页；编辑于星期一\18点22分由于RC电路的低通特性，高频分量有较大的衰减，故输出波形不能迅速变化。输出波形不再是矩形脉冲信号，而是以指数规律逐渐上升和下降。当带宽增加时，允许更多的高频分量通过，输出波形的上升与下降时间缩短，和输入信号波形相比，失真减小。结论本文档共201页；当前第179页；编辑于星期一\18点22分为起始频率，，1．h=freqs(b,a,w)式中对应于式(3-159)中的向量，对应于式（3-159）中的向量使用形式如为终止频率，为频率取样间隔。向量返回在频率向量上的系统函数样值。，w为频率取值范围，2．[h,w]=freqs(b,a)该调用格式将计算默认频率范围内200个频率点的系统函数样值，并赋值给返回变量，200个频率点记录在w中。3.10.3MATLAB仿真实现本文档共201页；当前第180页；编辑于星期一\18点22分右图是常见的用RLC元件构成的某系统电路。设4．freqs(b,a)

该调用格式并不返回系统函数样值，而是以对数坐标的方式绘出系统的幅频响应和相频响应。3．[h,w]=freqs(b,a,n)

该调用格式将计算默认频率范围内200个频率点的系统函数样值，并赋值给返回变量，个频率点记录在w中。，试用MATLAB的freqs()函数求解该系统频率响应并绘图。例

，，RLC二阶低通滤波器电路图本文档共201页；当前第181页；编辑于星期一\18点22分根据原理图，容易写出系统的频率响应为：式中，将R、L、C的值代入的表达式，得：解本文档共201页；当前第182页；编辑于星期一\18点22分b=[001];a=[0.080.41];%生成向量b，a[h,w]=freqs(b,a,100);%求系统频响特性h1=abs(h);%求幅频响应h2=angle(h);%求相频响应subplot(211);plot(w,h1);gridxlabel('角频率(W)');ylabel('幅度');title('H(jw)的幅频特性');subplot(212);plot(w,h2*180/pi);gridxlabel('角频率(w)');