山西省忻州市原平新原乡乡中学2021-2022学年高三数学理测试题含解析

山西省忻州市原平新原乡乡中学2021-2022学年高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.（5分）（2015?钦州模拟）阅读如图所示的程序框图，如果输出的函数值在区间内，那么输入实数x的取值范围是（）A．[﹣2，﹣1]B．（﹣∞，﹣1]C．[﹣1，2]D．[2，+∞）参考答案：A【考点】：程序框图．【专题】：图表型；算法和程序框图．【分析】：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数f（x）=的函数值．根据函数的解析式，结合输出的函数值在区间，即可得到答案．解：分析程序中各变量、各语句的作用再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数f（x）=的函数值．又∵输出的函数值在区间内，∴x∈[﹣2，﹣1]故选：A．【点评】：本题考查的知识点是选择结构，其中根据函数的流程图判断出程序的功能是解答本题的关键，属于基本知识的考查．2.已知输入的x=11，执行如图所示的程序框图，则输出的x的值为（）A．12 B．23 C．47 D．95参考答案：D【考点】EF：程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析继续循环和退出循环的条件特征，可得答案．【解答】解：x=11，n=1≤3，x=23，n=2≤3，x=47，n=3≤3，x=95，n=4＞3，输出x=95，故选：D．3.在中，条件甲：，条件乙：，则甲是乙的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件参考答案：C略4.对定义在上，并且同时满足以下两个条件的函数f（x）称为M函数：（i）对任意的x∈，恒有f（x）≥0；（ii）当x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1时，总有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）成立．则下列四个函数中不是M函数的个数是(

)①f（x）=x2②f（x）=x2+1③f（x）=ln（x2+1）④f（x）=2x﹣1． A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：A考点：函数与方程的综合运用．专题：函数的性质及应用．分析：利用已知条件函数的新定义，对四个选项逐一验证两个条件，判断即可．解答： 解：（i）在上，四个函数都满足；（ii）x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1；对于①，，∴①满足；对于②，=2x1x2﹣1＜0，∴②不满足．对于③，=而x1≥0，x2≥0，∴，∴，∴，∴，∴，∴③满足；对于④，=，∴④满足；故选：A．点评：本题通过函数的运算与不等式的比较，另外也可以利用函数在定义域内的变化率、函数图象的基本形式来获得答案，本题对学生的运算求解能力和数形结合思想提出一定要求．5.下列函数中既是偶函数，又是区间[－1，0]上的减函数的是(

)

A．

B．

C．

D．

参考答案：D

略6.函数的定义域为（）A．B．C．D．参考答案：解：选D．由．7.在中，若,则A．是锐角三角形

B．是直角三角形

C．是钝角三角形

D．的形状不能确定参考答案：B8.已知i是虚数单位，若z（1+i）=1+3i，则z=（）A．2+i B．2﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i参考答案：A【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：由z（1+i）=1+3i，得，故选：A．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．9.已知命题p：“?x∈[1，2]，x2﹣a≥0”，命题q：“?x∈R使x2+2ax+2﹣a=0”，若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围是(

) A．{a|a≥1} B．{a|a≤﹣2或1≤a≤2} C．{a|﹣2≤a≤1} D．{a|a≤﹣2或a=1}参考答案：D考点：复合命题的真假．专题：简易逻辑．分析：由命题p可得：a≤（x2）min，解得a≤1；由命题q可得：△≥0，解得a≥1或a≤﹣2．由命题“p且q”是真命题，可知p，q都是真命题，即可解出．解答： 解：命题p：“?x∈[1，2]，x2﹣a≥0”，∴a≤（x2）min，∴a≤1；命题q：“?x∈R使x2+2ax+2﹣a=0”，则△=4a2﹣4（2﹣a）≥0，解得a≥1或a≤﹣2．若命题“p且q”是真命题，则，解得a≤﹣2或a=1．则实数a的取值范围是{a|a≤﹣2或a=1}．故选：D．点评：本题考查了复合命题的真假判定方法、一元二次方程的实数根与判别式的关系、恒成立问题的等价转化方法，考查了推理能力与几十年令，属于基础题．10.若函数满足，且时，，函数，则函数－g(x)在区间内的零点的个数为 A．6 B．7 C．8 D．9参考答案：C因为函数满足，所以函数是周期为2的周期函数，又因为时，，所以作出函数的图像：由图知：函数－g(x)在区间内的零点的个数为8个。二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设a＞0，b＞0，若是3a与3b的等比中项，则+的最小值是．参考答案：4【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【专题】计算题；压轴题．【分析】先根据等比中项的性质求得a+b的值，进而利用基本不等式取得ab的最大值，把+化简整理，根据ab的范围，求得答案．【解答】解：∵是3a与3b的等比中项∴3a?3b=3a+b=3∴a+b=1∴ab≤=（当a=b时等号成立）∴+==≥4．故答案为：4【点评】本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用．使用基本不等式时要注意等号成立的条件．12.如图,在中,,点在线段上,且,则

．参考答案：考点：向量数量积，二倍角公式，余弦定理【思路点睛】三角函数和平面向量是高中数学的两个重要分支，内容繁杂，且平面向量与三角函数交汇点较多，向量的平行、垂直、夹角、数量积等知识都可以与三角函数进行交汇.不论是哪类向量知识与三角函数的交汇试题，都会出现交汇问题中的难点，对于此类问题的解决方法就是利用向量的知识将条件转化为三角函数中的“数量关系”，再利用三角函数的相关知识进行求解.13.在△ABC中，D为BC边上一点，若△ABD是等边三角形，且AC=4，则△ADC的面积的最大值为．参考答案：【考点】正弦定理．【分析】先利用余弦定理求得建立等式，利用基本不等式的性质确定AD?DC的最大值，进而根据三角形面积公式求得三角形面积的最大值．【解答】解：在△ACD中，cos∠ADC===﹣，整理得AD2+CD2=48﹣AD?DC≥2?AD?DC，∴AD?DC≤16，AD=CD时取等号，∴△ADC的面积S=AD?DC?sin∠ADC=AD?DC≤4，故答案为：14.记实数中的最大数为，最小数为.已知实数且三数能构成三角形的三边长，若，则的取值范围是

．参考答案：显然，又，①当时，，作出可行区域，因抛物线与直线及在第一象限内的交点分别是（1，1）和，从而②当时，，作出可行区域，因抛物线与直线及在第一象限内的交点分别是（1，1）和，从而综上所述，的取值范围是。15.已知x，y满足约束条件，则的取值范围为______________．参考答案：.【分析】先由约束条件作出可行域，再由目标函数可化为，因此目标函数表示直线在轴截距的相反数，结合图像，即可得出结果.【详解】由约束条件作出可行域如下：因目标函数可化为，所以目标函数表示直线在轴截距的相反数，根据图像可得，当直线过点时，截距最小，即最大；当直线过点时，截距最大，即最小；由题意易得；由得，因此，所以，的取值范围为故答案为【点睛】本题主要考查简单的线性规划，只需由约束条件作出可行域，根据目标函数的几何意义即可求解，属于常考题型.16.规定记号“a?b”表示一种运算，即a?b=ab+a+b2（a，b为正实数），若1?m=3，则m的值为

．参考答案：1【考点】77：一元二次不等式与一元二次方程．【分析】根据a?b=ab+a+b2先用含m的式子表示1?m，再根据1?m=3，得到关于m的一元二次方程，解方程，所得方程的解还得满足为正实数，就可求出m的值．【解答】解：∵a?b=ab+a+b2（a，b为正实数），∴1?m=1×m+1+m2=3，即m2+m﹣2=0，解得，m=﹣2，或m=1又∵a，b为正实数，∴m=﹣2舍去．∴m=1故答案为117.阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出的值为_______.参考答案：4三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(本小题满分14分)如图，经过村庄A有两条夹角为60°的公路AB，AC，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P，分别在两条公路边上建两个仓库M、N(异于村庄A)，要求PM＝PN＝MN＝2(单位：千米)．如何设计，使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离最远)．参考答案：答：设计∠AMN为60°时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．……14分解法二(构造直角三角形)：设∠PMD＝θ，在△PMD中，此时AM＝AN＝2，∠PAB＝30°

…………14分解法三：设AM＝x，AN＝y，∠AMN＝α．在△AMN中，因为MN＝2，∠MAN＝60°，所以MN2＝AM2＋AN2－2AM·AN·cos∠MAN，即x2＋y2－2xycos60°＝x2＋y2－xy＝4．

…………2分

答：设计AM＝AN＝2km时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．………………14分

解法四(坐标法)：以AB所在的直线为x轴，A为坐标原点，建立直角坐标系．即．

答：设计AM＝AN＝2km时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．…………14分解法五(变换法)：以AB所在的直线为x轴，A为坐标原点，建立直角坐标系．设M(x1，0)，N(x2，x2)，P(x0，y0)．答：设计AM＝AN＝2km时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．…………14分解法六(几何法)：由运动的相对性，可使△PMN不动，点A在运动．由于∠MAN＝60°，∴点A在以MN为弦的一段圆弧(优弧)上，…………4分设圆弧所在的圆的圆心为F，半径为R，由图形的几何性质知：AP的最大值为PF＋R．

…………8分

答：设计AM＝AN＝2km时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．…………14分19.已知数列{an}为等差数列，Sn为{an}的前n项和，（1）求数列{an}的通项公式；（2）记，其前项和为Tn，求证：参考答案：(1)(2)见证明【分析】（1）先根据已知求出，即得数列的通项公式；（2）先利用裂项相消求出，再证明.【详解】（1）设公差为d，则由得，解得.所以.（2）易知随着n的增大而增大，所以【点睛】本题主要考查等差数列的通项的求法，考查裂项相消法求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.

20.在平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程为（，为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1经过点，曲线C2的极坐标方程为．（1）求曲线C1的极坐标方程；（2）若，是曲线C2上两点，求的值．参考答案：（1）；（2）【分析】（1）将首先化为普通方程，再化为极坐标方程，代入点可求得，整理可得所求的极坐标方程；（2）将代入方程，从而将代入整理可得结果.【详解】（1）将的参数方程化为普通方程得：由，得的极坐标方程为：将点代入中得：，解得：代入的极坐标方程整理可得：的极坐标方程为：（2）将点，代入曲线的极坐标方程得：，【点睛】本题考查极坐标方程的求解、极坐标中的几何意义的应用，关键是根据几何意义将所求的变为，从而使问题得以求解.21.如图，已知斜三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC，D为BC的中点．（1）若平面ABC⊥平面BCC1B1，求证：AD⊥DC1；（2）求证：A1B//平面ADC1．参考答案：证明：（1）因为AB＝AC，D为BC的中点，所以AD⊥BC．

因为平面ABC⊥平面BCC1B1，平面ABC∩平面BCC1B1＝BC，ADì平面ABC，所以AD⊥平面BCC1B1．

因为DC1ì平面BCC1B1，所以AD⊥DC1．

（2）(证法一)连结A1C，交AC1于点O，连结OD，则O为A1C的中点．因为D为BC的中点，所以OD//A1B．

因为OD平面ADC1，A1B平面ADC1，所以A1B//平面ADC1．

(证法二)取B1C1的中点D1，连结A1D1，D1D，D1B．则D1C1BD．所以四边形BDC1D1是平行四边形．所以D1B//C1D．因为C1D平面ADC1，D1B平面ADC1，所以D1B//平面ADC1．同理可证A1D1//平面AD