福建省宁德市东源中学2021-2022学年高二数学理上学期期末试题含解析

福建省宁德市东源中学2021-2022学年高二数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.四边形ABCD为矩形，，则下列各组数量积不为零的是

（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D2.记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有（）A．1440种 B．960种

C．720种 D．480种参考答案：B略3.已知抛物线方程为，直线的方程为，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为，P到直线的距离为，则的最小值为(

) A． B．

C.

D．参考答案：C略4.某工厂生产某种产品的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）有如表几组样本数据：x3456y2.5344.5据相关性检验，这组样本数据具有线性相关关系，通过线性回归分析，求得其回归直线的斜率为0.7，则这组样本数据的回归直线方程是（）A．=0.7x+0.35 B．=0.7x+1 C．=0.7x+2.05 D．=0.7x+0.45参考答案：A【考点】线性回归方程．【专题】概率与统计．【分析】设回归直线方程=0.7x+a，由样本数据可得，=4.5，=3.5，代入可求这组样本数据的回归直线方程．【解答】解：设回归直线方程=0.7x+a，由样本数据可得，=4.5，=3.5．因为回归直线经过点（，），所以3.5=0.7×4.5+a，解得a=0.35．故选A．【点评】本题考查数据的回归直线方程，利用回归直线方程恒过样本中心点是关键．5.双曲线的左焦点为F1，顶点为A1，A2，P是该双曲线右支上任意一点，则分别以线段PF1，A1A2的直径的两圆一定（

）

A．相交

B．内切

C．外切

D．相离参考答案：B略6.已知点是椭圆上的动点，为椭圆的两个焦点，是原点，若是的角平分线上一点，且,则的取值范围是（

）A．[0,3] B． C． D．[0,4]参考答案：B7.若直线过点，，则此直线的倾斜角是

(

)A.

B.

C.

D.参考答案：A略8.抛物线上两点、关于直线对称，且，则等于（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A9.下列函数中，既是偶函数，又在区间上单调递减的函数是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：A略10.过抛物线C：的焦点F的直线交C于A，B两点，若，则（

）A．2

B．

C．4

D．5参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.函数的图象在点处的切线方程是_____________.参考答案：【分析】首先求出在1处的导数，再求出在1处的函数值，然后用点斜式求出方程即可.【详解】，∴且，切线方程是，即．【点睛】本题考查利用导数求函数在点处的切线方程，属于基础题.12.设集合，则实数的值为

参考答案：略13.抛物线y2=2px（p＞0）上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，则p=

．参考答案：2【考点】抛物线的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用抛物线的顶点到焦点的距离最小，即可得出结论．【解答】解：因为抛物线y2=2px（p＞0）上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，所以=1，所以p=2．故答案为：2．【点评】本题考查抛物线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础．14.如果执行如图所示的程序框图，输入，那么输出的值为

.参考答案：360略15.已知则

参考答案：略16.如图，为测量山高MN，选择A和另一座的山顶C为测量观测点，从A点测得M点的仰角∠AMN=60°，C点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°；从C点测得∠MCA=60°，已知山高BC=1000m，则山高MN=m．参考答案：750【考点】解三角形的实际应用．【专题】应用题；解三角形．【分析】△ABC中，由条件利用直角三角形中的边角关系求得AC；△AMC中，由条件利用正弦定理求得AM；Rt△AMN中，根据MN=AM?sin∠MAN，计算求得结果．【解答】解：△ABC中，∵∠BAC=45°，∠ABC=90°，BC=1000，∴AC==1000．△AMC中，∵∠MAC=75°，∠MCA=60°，∴∠AMC=45°，由正弦定理可得，解得AM=500．Rt△AMN中，MN=AM?sin∠MAN=500×sin60°=750（m），故答案为：750．【点评】本题主要考查正弦定理、直角三角形中的边角关系，属于中档题．17.若，则的最小值为

．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(本小题满分12分)已知递增等比数列的前n项和为，，且.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若数列满足，求的前项和．参考答案：（1）设公比为q，由题意：q>1,，则，，∵，∴，

则解得：或（舍去），

∴（2）则19.解关于x的不等式：．参考答案：【考点】其他不等式的解法．【分析】转化分式不等式一侧为0，对x的系数是否为0，因式的根的大小讨论，分别求出不等式的解集即可．【解答】解：原不等式化为…当m=0时，原不等式化为﹣x﹣1＞0，解集为（﹣∞，﹣1）；

…当m＞0时，原不等式化为，又，所以原不等式的解集为；

…当m＜0时，原不等式化为，当时，即﹣1＜m＜0，所以原不等式的解集为；当时，即m=﹣1，所以原不等式的解集为?；当时，即m＜﹣1，所以原不等式的解集为；…综上所述，当m=0时，原不等式解集为（﹣∞，﹣1）；当m＞0时，原不等式的解集为；当﹣1＜m＜0时，原不等式的解集为；当m=﹣1时，原不等式的解集为?；当m＜﹣1时，原不等式的解集为；

…20.（10分）（2010?新课标）设等差数列{an}满足a3=5，a10=﹣9．（Ⅰ）求{an}的通项公式；（Ⅱ）求{an}的前n项和Sn及使得Sn最大的序号n的值．参考答案：【考点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和．【分析】（1）设出首项和公差，根据a3=5，a10=﹣9，列出关于首项和公差的二元一次方程组，解方程组得到首项和公差，写出通项．（2）由上面得到的首项和公差，写出数列{an}的前n项和，整理成关于n的一元二次函数，二次项为负数求出最值．【解答】解：（1）由an=a1+（n﹣1）d及a3=5，a10=﹣9得a1+9d=﹣9，a1+2d=5解得d=﹣2，a1=9，数列{an}的通项公式为an=11﹣2n（2）由（1）知Sn=na1+d=10n﹣n2．因为Sn=﹣（n﹣5）2+25．所以n=5时，Sn取得最大值．【点评】数列可看作一个定义域是正整数集或它的有限子集的函数，当自变量从小到大依次取值对应的一列函数值，因此它具备函数的特性．21.某社区为了了解家庭月均用水量（单位：吨），从社区中随机抽查100户，获得每户2013年3月的用水量，并制作了频率分布表和频率分布直方图（如图）．（1）求频率分布表中的值，并估计该社区内家庭月用水量少于3吨的频率；（6分）（2）设是月用水量为的家庭代表，是月用水量为的家庭代表，若从这五位代表中任选两人参加水价听证会，请列举出所有不同的选法，并求代表至少有一人被选中的概率．(6分)分组频数频率50.0580.08220.22

200.20120.12

参考答案：（1）有已知条件知：月用水量在的用户的频率为所以：-------------3分用水量在的用户相等，所以----------6分（2）列举结果为：共10种选法.--------------------9分由上述列举情况知：至少有一个人被选中的选法有7种，由古典概型计算公式得：至少有一个人被选中的概率-------------12分22.（本题满分16分）在平面直角坐标系中，设中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆C的左、右焦点分别为F1，F2，右准线与x轴的交点为，.（1）已知点在椭圆C上，求实数m的值；（2）已知定点．①若椭圆C上存在点，使得，求椭圆C的离心率的取值范围；②如图，当时，记M为椭圆C上的动点，直线分别与椭圆C交于另一点P，Q，若且，求证：为定值．参考答案：（1）设椭圆的标准方程为，则，所以，椭圆的标准方程为，代入点，解得（舍负）.（先求标准方程也可）

....................4分（2）①点坐标为，设点坐标为，由，得，化简，得，

....................6分与椭圆方程联立，得，而，则解得，离心率，（也可以从长半轴短半轴与圆的半径关系求的范围）所以，椭圆C的离心率的取值范围为.

....................10分②设点的坐标分别为，则，由得，则，

....................12分代入，整理得，而，则，而由题意