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文档简介
山西省运城市中学2021年高二数学文月考试题含解析一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1.设A(3,2,1),B(1,0,5),C(0,2,1),AB的中点为M,则|CM|=()A.3 B. C.2 D.3参考答案:A【考点】空间两点间的距离公式;空间中的点的坐标.【分析】利用中点坐标公式和两点间的距离公式即可得出.【解答】解:设线段AB中点M(x,y,z),则=2,=1,=3,∴M(2,1,3).则|CM|==3.故选A.2.已知四面体P-ABC的外接球的球心O在AB上,且PO⊥平面ABC,,若四面体P-ABC的体积为,求球的表面积A.8π B.12π C. D.参考答案:B【分析】依据题意作出图形,设四面体的外接球的半径为,由题可得:为球的直径,即可求得:,,,利用四面体的体积为列方程即可求得,再利用球的面积公式计算得解。【详解】依据题意作出图形如下:设四面体的外接球的半径为,因为球心O在上,所以为球的直径,所以,且由可得:,所以四面体的体积为解得:所以球的表面积故选:B【点睛】本题主要考查了锥体体积公式及方程思想,还考查了球的表面积公式及计算能力,考查了空间思维能力,属于中档题。3.下列各组函数中,表示同一函数的是(
)
A.
B.
C.
D.参考答案:D4.在矩形中,,为的中点.若,则的长为A.
B.
C.
D.参考答案:B5..设函数的图像在点处切线的斜率为,则函数的部分图像为
参考答案:B略6.如果直线l1:x+ax+1=0和直线l2:ax+y+1=0垂直,则实数a的值为()A.±1 B.1 C.﹣1 D.0参考答案:D【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系.【分析】利用两条直线相互垂直的充要条件即可得出.【解答】解:∵l1⊥l2,则a+a=0解得a=0.故选D.【点评】本题考查了两条直线相互垂直的充要条件,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.7.已知数列{}的前n项和=-1(a是不为0的常数),那么数列{}
(
)
A.一定是等差数列
B.一定是等比数列
C.或者是等差数列或者是等比数列
D.既不是等差数列也不是等比数列参考答案:C略8.在下列四个命题中,真命题是(A)“”
的否命题;
(B)“”的逆命题;
(C)若;
ks5u(D)“相似三角形的对应角相等”的逆否命题参考答案:D9.设,那么
的最小值是A.2
B.3
C.4
D.5参考答案:解析:由,可知,所以,.故选C.10.定积分(
)A. B. C. D.参考答案:D【分析】由题设条件,求出被积函数的原函数,求出定积分的值即可.【详解】解:由题意得:,故选D.【点睛】本题主要考查定积分的计算,相对简单,需牢记定积分中求原函数的公式.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在平面直角坐标系xOy中的一个椭圆,它的中心在原点,左焦点为F(-2,0),右顶点为D(4,0).设点A的坐标是(2,1),过原点O的直线交椭圆于点B、C,则△ABC面积的最大值是
.参考答案:4
解析:由已知得椭圆的半长轴a=4,半焦距c=2,则半短轴b=2.又椭圆的焦点在x轴上,所以椭圆的标准方程为
当直线BC垂直于x轴时,BC=4,因此,△ABC的面积
当直线BC不垂直于x轴时,设该直线方程为y=kx.由解得
所以,,又点A到直线BC的距离,
所以,△ABC的面积
由,其中,当等号成立.
所以的最大值是.12.如图,过椭圆=1(a>b>1)上顶点和右顶点分别作圆x2+y2=1的两条切线的斜率之积为﹣,则椭圆的离心率的取值范围是.参考答案:【考点】椭圆的简单性质.【分析】由题意设出两切线方程,由点到直线的距离公式可得a与k,b与k的关系,代入椭圆离心率可得e与k的关系,求出函数值域得答案.【解答】解:由题意设两条切线分别为:y=kx+b,y=﹣(x﹣a)(k≠0),由圆心到两直线的距离均为半径得:,,化简得:b2=k2+1,a2=2k2+1.∴==(k≠0).∴0<e<.故答案为:.13.已知x>0,y>0,xy=x+2y,若xy≥m﹣2恒成立,则实数m的最大值是
. 参考答案:10【考点】基本不等式;函数恒成立问题. 【专题】计算题. 【分析】分离出m;将不等式恒成立转化为求函数的最值;据x>0,y>0;将已知等式利用基本不等式;通过换元解不等式求出xy的最小值,注意验等号何时取得,求出m的范围. 【解答】解:要使xy≥m﹣2恒成立即使m≤xy+2恒成立 ∴只要m≤(xy+2)的最小值即可 ∵x>0,y>0,xy=x+2y ∴xy=x+2y≥当且仅当x=2y时,取等号 令则 解得即xy≥8 所以xy+2的最小值为10 所以m≤10 故答案为:10 【点评】本题考查解决不等式恒成立常通过分离参数转化为函数的最值问题、考查利用基本不等式求函数的最值需注意的条件是:一正、二定、三相等. 14.已知,则的最小值为_________
参考答案:略15.方程组的增广矩阵为
.参考答案:略16.设动点P在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的对角线BD1上,记.当∠APC为钝角时,则λ的取值范围是.参考答案:(,1)【考点】用空间向量求直线间的夹角、距离.【分析】建立空间直角坐标系,利用∠APC不是平角,可得∠APC为钝角等价于cos∠APC<0,即,从而可求λ的取值范围.【解答】解:由题设,建立如图所示的空间直角坐标系D﹣xyz,则有A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),D1(0,0,1)∴=(1,1,﹣1),∴=(λ,λ,﹣λ),∴=+=(﹣λ,﹣λ,λ)+(1,0,﹣1)=(1﹣λ,﹣λ,λ﹣1)=+=(﹣λ,﹣λ,λ)+(0,1,﹣1)=(﹣λ,1﹣λ,λ﹣1)显然∠APC不是平角,所以∠APC为钝角等价于cos∠APC<0∴∴(1﹣λ)(﹣λ)+(﹣λ)(1﹣λ)+(λ﹣1)2=(λ﹣1)(3λ﹣1)<0,得<λ<1因此,λ的取值范围是(,1)故答案为:(,1)【点评】本题考查了用空间向量求直线间的夹角,一元二次不等式的解法,属于中档题.17.某校安排5个班到4个工厂进行社会实践,每个班去一个工厂,每个工厂至少安排一个班,不同的安排方法共有________种.(用数字作答)参考答案:240试题分析:由题设知,必有两个班去同一工厂,所以把5个班分成四组,有种分法,每一种分法对应去4个工厂的全排列.因此,共有=240(种)考点:排列组合三、解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18.已知函数及函数g(x)=﹣bx(a,b,c∈R),若a>b>c且a+b+c=0.(1)证明:f(x)的图象与g(x)的图象一定有两个交点;(2)请用反证法证明:;参考答案:(1)见解析;(2)见解析【分析】(1)根据判别式大于零论证结果,(2)先假设,再根据假设推出矛盾,否定假设即得结果.【详解】(1)证明由得
①∵,∴∴∴①有两个不相等的实数根,即两函数图像一定由两个交点,(2)证明:若结论不成立,则≤-2或≥-(I)由≤-2,结合(1)a>0,得c≤-2a,即a+c≤-a,∴-b≤-a
∴a≤b
这与条件中a>b矛盾(II)再由≥-,得2c≥-a,即c≥-(a+c)=b∴b≤c
这与条件中b>c矛盾故假设不成立,原不等式成立19.已知椭圆的短轴长为4,焦距为2.(1)求C的方程;(2)过椭圆C的左焦点F1作倾斜角为45°的直线l,直线l与椭圆相交于A、B两点,求AB的长.参考答案:【考点】椭圆的简单性质.【分析】(1)椭圆的短轴长为4,焦距为2.可得a,b;(2)过F1倾斜角为45°的直线l:y=x+1.把y=x+1.代入圆的方程为:.得7x2+8x﹣8=0,由韦达定理及弦长公式可计算AB.【解答】解:(1)∵椭圆的短轴长为4,焦距为2.∴a=2,c=1,b=,椭圆的方程为:.(2)由(1)得椭圆C的左焦点F1(﹣1,0),过F1倾斜角为45°的直线l:y=x+1.把y=x+1.代入圆的方程为:.得7x2+8x﹣8=0,设A(x1,y1)、B(x2,y2),x1,+x2=﹣,x1x2=﹣,AB==.20.如图,椭圆:()和圆:,已知圆将椭圆的长轴三等分,且,椭圆的下顶点为,过坐标原点且与坐标轴不重合的任意直线与圆相交于点、.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)若直线、分别与椭圆相交于另一个交点为点、.①求证:直线经过一定点;②试问:是否存在以为圆心,为半径的圆,使得直线和直线都与圆相交?若存在,请求出所有的值;若不存在,请说明理由.
参考答案:(Ⅰ)依题意,,则,∴,又,∴,则,∴椭圆方程为.(Ⅱ)①由题意知直线的斜率存在且不为0,设直线的斜率为,则:,由得或∴,用去代,得,方法1:,∴:,即,∴直线经过定点.方法2:作直线关于轴的对称直线,此时得到的点、关于轴对称,则与相交于轴,可知定点在轴上,当时,,,此时直线经过轴上的点,∵∴,∴、、三点共线,即直线经过点,综上所述,直线经过定点.②由得或∴,则直线:,设,则,直线:,直线:,假设存在圆心为,半径为的圆,使得直线和直线都与圆相交,则由()得对恒成立,则,由()得,对恒成立,当时,不合题意;当时,,得,即,∴存在圆心为,半径为的圆,使得直线和直线都与圆相交,所有的取值集合为.解法二:圆,由上知过定点,故;又直线过原点,故,从而得.略21.(1)已知a=(2x-y+1,x+y-2),b=(2,-2),①当x、y为何值时,a与b共线?②是否存在实数x、y,使得a⊥b,且|a|=|b|?若存在,求出xy的值;若不存在,说明理由.(2)设n和m是两个单位向量,其夹角是60°,试求向量a=2m+n和b=-3m+2n的夹角.参考答案:(1)①∵a与b共线,∴存在非零实数λ使得a=λb,∴?②由a⊥b?(2x-y+1)×2+(x+y-2)×(-2)=0?x-2y+3=0.(1)由|a|=|b|?(2x-y+1)2+(x+y-2)2=8.(2)解(1)(2)得或∴xy=-1或xy=.(2)∵m·n=|m||n|cos60°=,∴|a|2=|2m+n|2=(2m+
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