广西壮族自治区桂林市光华学校2022-2023学年高三数学理下学期期末试卷含解析

广西壮族自治区桂林市光华学校2022-2023学年高三数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设a=log32，b=ln2，c=，则(

) A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．c＜b＜a参考答案：C考点：对数值大小的比较；换底公式的应用．专题：计算题；转化思想．分析：根据a的真数与b的真数相等可取倒数，使底数相同，找中间量1与之比较大小，便值a、b、c的大小关系．解答： 解：a=log32=，b=ln2=，而log23＞log2e＞1，所以a＜b，c==，而，所以c＜a，综上c＜a＜b，故选C．点评：本小题以指数、对数为载体，主要考查指数函数与对数函数的性质、实数大小的比较、换底公式、不等式中的倒数法则的应用．2.设分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当时，的解集是（

）A．

B．C．

D．参考答案：答案：A3.已知双曲线的一条渐近线与圆相交于两点，且，则此双曲线的离心率为（）A．

B．

C．

D．5参考答案：C4.若曲线与曲线在它们的公共点处具有公共切线，则实数

（

）

参考答案：C5.已知函数若关于x的方程恰有两个互异的实数解，则a的取值范围为A. B.C. D.参考答案：D分析】画出图象及直线，借助图象分析。【详解】如图，当直线位于B点及其上方且位于A点及其下方，或者直线与曲线相切在第一象限时符合要求。即，即，或者，得，，即，得，所以的取值范围是。故选D。【点睛】根据方程实根个数确定参数范围，常把其转化为曲线交点个数，特别是其中一条为直线时常用此法。

6.已知点，O是坐标原点，点P（x，y）的坐标满足，设z为在上的投影，则z的取值范围是(

) A． B．[﹣3，3] C． D．参考答案：B考点：简单线性规划．专题：常规题型．分析：先根据约束条件画出可行域，设z=x+y，再利用z的几何意义求范围，只需求出向量和的夹角的余弦值的取值范围即可，从而得到z值即可．解答： 解：==，∵，∴当时，=3，当时，=﹣3，∴z的取值范围是[﹣3，3]．∴故选B．点评：本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．巧妙识别目标函数的几何意义是我们研究规划问题的基础，纵观目标函数包括线性的与非线性，非线性问题的介入是线性规划问题的拓展与延伸，使得规划问题得以深化．7.已知全集（

）A．{0}

B．{2}

C．{0，1，2}

D．参考答案：A略8.

在正△ABC中，D∈AB，E∈AC，向量，则以B，C为焦点，且过D，E的双曲线的离心率为

（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：答案:D9.数学名著《九章算术》中有如下问题：“今有刍甍（méng），下广三丈，袤（mào）四丈；上袤二丈，无广；高一丈，问：积几何？”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的楔体，下底面宽3丈，长4丈；上棱长2丈，高1丈，问它的体积是多少？”．现将该楔体的三视图给出，其中网格纸上小正方形的边长为1丈，则该楔体的体积为（单位：立方丈）（

）A．5.5 B．5 C．6 D．6.5参考答案：B根据三视图知，该几何体是三棱柱，截去两个三棱锥，如图所示：结合图中数据，计算该几何体的体积为（立方丈）．10.若线性方程组

(

)

A、1．B、－1．C、1．D、以上都错．

参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知正方体的棱长为2，线段分别在，上移动，且

，则三棱锥的体积最大值为__________参考答案：12.二次函数的部分的部分对应值如下表：

X

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

Y

6

0

-4

-6

-6

-4

0

6

则不等式的解是

参考答案：x<-2或x>3

13.某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台报时（电台每隔一小时报一次时），求他等待的时间不多于10分钟的概率．参考答案：【考点】几何概型．【分析】由电台整点报时的时刻是任意的知这是一个几何概型，电台整点报时知事件总数包含的时间长度是60，而他等待的时间不多于10分钟的事件包含的时间长度是10，两值一比即可求出所求．【解答】解：设A={等待的时间不多于10分钟}…事件A恰好是打开收音机的时刻位于[50，60]时间段内，因此由几何概型的求概率的公式可得…即“等待报时的时间不超过10分钟”的概率为…14.设，且为常数，若存在一公差大于0的等差数列（），使得为一公比大于1的等比数列，请写出满足条件的一组的值________.参考答案：（答案不唯一，一组即可）试题分析：由题设可取,此时,存在数列,满足题设,应填答案.考点：函数与等差等比数列以及分析探究的能力．【易错点晴】本题以函数的形式为背景，考查的是等差数列和等比数列的有关知识及推理判断的能力.开放性是本题的一大特色.解答时应充分依据题设条件,想方设法构造出一个满足题设条件的数列.由于本题是一道结论开放型的问题,因此它的答案是不唯一的,所以在求解时只要求出一组符合题目要求的数据即可.如本题的解答时取,函数,取数列,则成等比数列,故答案应填.15.的展开式中，x的系数为__________.参考答案：－5【分析】展开式与相乘得到项，则展开式中项与相乘，项与-1相乘，再相加，得到系数.【详解】要求的系数，则展开式中项与相乘，项与-1相乘，所以展开式中项为与相乘得到，展开式中项为，与-1相乘得到，所以的系数为【点睛】本题考查二项展开式的与其他因式相乘所得到的某一项的系数，分类清楚，认真计算即可得到结果，属于简单题.16.（5分）在二项式的展开式中，所有二项式系数的和是32，则展开式中各项系数的和为．

参考答案：﹣1考点:二项式系数的性质．专题:概率与统计．分析:所有二项式系数的和是32，可得2n=32，解得n=5．在中，令x=1，可得展开式中各项系数的和．解：∵所有二项式系数的和是32，∴2n=32，解得n=5．在中，令x=1，可得展开式中各项系数的和=（﹣1）5=﹣1．故答案为：﹣1．点评:本题考查了二项式定理及其性质，考查了计算能力，属于基础题．

17.a，b为正数，给出下列命题：①若a2﹣b2＝1，则a﹣b＜1；②若＝1，则a﹣b＜1；③ea﹣eb＝1，则a﹣b＜1；④若lna﹣lnb＝1，则a﹣b＜1．其中真命题的有

．参考答案：①③①中，a，b中至少有一个大于等于1，则a+b＞1，由a2-b2=（a+b）（a-b）=1，所以a-b＜1，故①正确．②中＝=1,只需a-b=ab即可，取a=2，b=,满足上式但a-b=>1故②错；

③构造函数y=x-ex，x＞0，y′=1-ex＜0，函数单调递减，∵ea-eb=1，∴a＞b，∴a-ea＜b-eb，

∴a-b＜ea-eb=1，故③正确；④若lna-lnb=1，则a=e，b=1，a-b=e-1＞1，故④不正确．故答案为：①③．

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数(Ⅰ)求函数的单调区间；（Ⅱ）若不等式在区间上恒成立，求实数k的取值范围；（Ⅲ）求证：参考答案：解：（Ⅰ），故其定义域为

，

…2分令>0,得，令<0,得

…3分故函数的单调递增区间为单调递减区间为

…………4分（Ⅱ），…5分

又，令解得

…6分当x在内变化时，，变化如下表由表知，当时函数有最大值，且最大值为

…8分

所以，

…9分（Ⅲ）由（Ⅱ）知

…10分

…11分

…13分

即

…14分19.在斜三角形ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b，c，且=﹣．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若，求角C的取值范围．参考答案：略20.如图，四边形PDCE为矩形，四边形ABCD为梯形，平面PDCE⊥平面ABCD，∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=CD=1．（Ⅰ）若M为PA的中点，求证：AC∥平面MDE；（Ⅱ）若PB与平面ABCD所成角为45°，求点D到平面PBC的距离．参考答案：【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）设PC交DE于点N，连结MN，推导出MN∥AC，由此能证明AC∥平面MDE．（Ⅱ）推导出∠PBD为PB与平面ABCD所成角，从而PD=BD=，设D到平面PBC的距离为d，由S△BDC?PD=S△PBC?d，能求出点D到平面PBC的距离．【解答】证明：（Ⅰ）设PC交DE于点N，连结MN，在△PAC中，∵M，N分别为PA，PC的中点，∴MN∥AC，又AC?平面MDE，MN?平面MDE，∴AC∥平面MDE．解：（Ⅱ）∵平面PDCE⊥平面ABCD，四边形PDCE为矩形，∴PD⊥平面ABCD，∴∠PBD为PB与平面ABCD所成角，∵PB与平面ABCD所成角为45°，∴PD=BD=，设D到平面PBC的距离为d，∴S△BDC?PD=S△PBC?d，∵，∴d=1，∴点D到平面PBC的距离为1．21.（本小题满分14分）如图，在直三棱柱中，，，且是中点.（I）求证：平面；（Ⅱ）求证：平面.参考答案：解：(I)连接交于点，连接因为为正方形，所以为中点又为中点，所以为的中位线，

所以

………………3分又平面，平面

所以平面

………………6分

(Ⅱ)因为，又为中点，所以

………………8分

又因为在直三棱柱中，底面，又底面,所以,又因为，所以平面，又平面，所以

………………10分在矩形中,,所以，所以，即

………………12分又，所以平面

………………14分22.在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),将曲线上