广西壮族自治区桂林市杜莫中学高二数学理月考试卷含解析

广西壮族自治区桂林市杜莫中学高二数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在△ABC中，若sin2A＋sin2B＜sin2C，则△ABC的形状是()

A．锐角三角形

B．直角三角形

C．钝角三角形

D．不能确定参考答案：C略2.关于的不等式()的解集为,且,则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A略3.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为

参考答案：C略4.下列命题中错误的是A.如果，那么α内一定存在直线平行于平面β；B.如果，那么α内所有直线都垂直于平面β；C.如果平面α不垂直平面β，那么α内一定不存在直线垂直于平面β；D.如果,那么.参考答案：B5.类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”，可推出空间下列结论（）①垂直于同一条直线的两条直线互相平行

②垂直于同一个平面的两条直线互相平行③垂直于同一条直线的两个平面互相平行

④垂直于同一个平面的两个平面互相平行则正确的结论是（

）A.①② B.②③ C.③④ D.①④参考答案：B解：因为类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质，可推出空间下列结论：垂直于同一个平面的两条直线互相平行和垂直于同一条直线的两个平面互相平行，选B

6.若方程表示圆，则实数的取值范围是( )A. B. C． D．参考答案：B略7.已知角的终边与单位圆相交于点，则（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：【知识点】三角函数的定义【答案解析】D解析：解：，所以选D.【思路点拨】一般知道角的终边位置求角的三角函数值，可用定义法解答.8.从1，2，3，4，5这5个数中任取两数，其中：①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；②至少有一个是奇数和两个都是奇数；③至少有一个是奇数和两个都是偶数；④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数．

上述事件中，是对立事件的是（）A．① B．②④ C．③ D．①③参考答案：C【考点】互斥事件与对立事件．【专题】计算题；概率与统计．【分析】分析四组事件，①中表示的是同一个事件，②前者包含后者，④中两个事件都含有同一个事件，只有第三所包含的事件是对立事件．【解答】解：∵在①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数中，这两个事件是同一个事件，在②至少有一个是奇数和两个都是奇数中，至少有一个是奇数包括两个都是奇数，在③至少有一个是奇数和两个都是偶数中，至少有一个是奇数包括有一个奇数和有两个奇数，同两个都是偶数是对立事件，在④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数中，都包含一奇数和一个偶数的结果，∴只有第三所包含的事件是对立事件故选：C【点评】分清互斥事件和对立事件之间的关系，互斥事件是不可能同时发生的事件，对立事件是指一个不发生，另一个一定发生的事件．9.如图，下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是(

)．

①正方体

②圆锥

③三棱台

④正四棱锥A．②④

B．①③

C．①④

D．②③参考答案：A10.在ΔABC中,角A、B、C的对边分别为、、,已知A=,,，则(

)A．1

B．2

C．－1

D．参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.直线mx+ny﹣3=0与圆x2+y2=3没有公共点，若以（m，n）为点P的坐标，则过点P的一条直线与椭圆的公共点有个．参考答案：2【考点】直线与圆锥曲线的关系；直线与圆的位置关系．【分析】根据直线mx+ny﹣3=0与圆x2+y2=3没有公共点即为将方程代入圆中消去x得到方程无解，利用根的判别式小于零求出m与n的关系式，得到m与n的绝对值的范围，在根据椭圆的长半轴长和短半轴长，比较可得公共点的个数．【解答】解：将直线mx+ny﹣3=0变形代入圆方程x2+y2=3，消去x，得（m2+n2）y2﹣6ny+9﹣3m2=0．令△＜0得，m2+n2＜3．又m、n不同时为零，∴0＜m2+n2＜3．由0＜m2+n2＜3，可知|n|＜，|m|＜，再由椭圆方程a=，b=可知P（m，n）在椭圆内部，∴过点P的一条直线与椭圆的公共点有2个．故答案为2．12.如图，在斜二测投影下，四边形ABCD是下底角为45°的等腰梯形，其下底长为5，一腰长为，则原四边形的面积是___

_____．参考答案：略13.若lgx+lgy=1，则的最小值为____.参考答案：２略14.空间三点的坐标为A（1，5，﹣2），B（2，4，1），C（3，3，p+2），若A，B，C三点共线，则p=．参考答案：2【考点】JH：空间中的点的坐标．【分析】利用空间向量坐标运算法则先求出=（1，﹣1，3），=（2，﹣2，p+4），再由A，B，C三点共线，得∥，由此能求出p．【解答】解：∵空间三点的坐标为A（1，5，﹣2），B（2，4，1），C（3，3，p+2），∴=（1，﹣1，3），=（2，﹣2，p+4），∵A，B，C三点共线，∴∥，∴，解得p=2．故答案为：2．【点评】本题考查实数值的求法，考查空间向量坐标运算法则、向量平行等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．15.已知-3+2i是关于x的方程2x2+px+q=0的一个根，（p、q∈R），则p+q=________;参考答案：3816.如图，某农户计划在自家后院，背靠院墙用篱笆围出一块约8m2的矩形空地用来养鸡，所需篱笆总长度最小为m．参考答案：8【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【分析】设矩形的长为：x，宽为：y，则xy=8，且x＞0，y＞0，篱笆总长度为L=x+2y利用基本不等式求解即可．【解答】解：设矩形的长为：x，宽为：y，则xy=8，且x＞0，y＞0，篱笆总长度为L=x+2y≥2=8，当且仅当x=2y=4时取等号；篱笆总长度最小为：8m．故答案为：8．【点评】本题考查函数的实际问题的应用，基本不等式在最值中的应用，考查计算能力．17.已知高一年级有学生450人,高二年级有学生750人,高三年级有学生600人.用分层抽样从该校的这三个年级中抽取一个容量为的样本,且每个学生被抽到的概率为0.02,则应从高二年级抽取的学生人数为

.参考答案：15三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.数列{an}中，，，且满足.（1）求数列{an}的通项公式；

（2）设，求.参考答案：略19.已知函数，并设函数，（其中为自然对数的底数）（1）若函数的图象在处的切线方程为，求实数、的值；（2）若函数在上单调递减，则①当时，试判断与的大小关系；②对满足条件的任意、，不等式恒成立，求实数的取值范围．参考答案：(1);(2)①;②.试题分析：(1)先求，再根据条件可得,可求得；（2）①因为函数在上单调递减，所以恒成立，根据（1）的结果，可得，再结合不等式且，所以且，令，再结合函数的单调性，比较大小；②不等式等价于

分当和两种情况讨论的取值范围.试题解析：（1）因为，所以，又因为的图象在处的切线方程为，所以，即，故（2）①因为是上的单调递减函数，所以恒成立，即对任意的恒成立，所以，所以，而且，所以且

令，由，知是上的减函数，故在区间上，，所以当时，，即②不等式等价于

而由①知，，当，即或时，因为，即，即，得，则或，此时或，所以或恒成立，故当时，则且，于是原不等式等价于因为，所以，即，则，于是，所以，所以。综上所述考点：1.导数与函数的单调性；2.导数与函数的最值；3.不等式的放缩.20.已知a＞0，b＞0，c＞0，函数f（x）=|x+a|+|x﹣b|+c的最小值为4．（1）求a+b+c的值；（2）求a2+b2+c2的最小值．参考答案：【考点】RB：一般形式的柯西不等式．【分析】（1）运用绝对值不等式的性质，注意等号成立的条件，即可求得最小值；（2）运用柯西不等式，注意等号成立的条件，即可得到最小值．【解答】解：（1）因为f（x）=|x+a|+|x﹣b|+c≥|（x+a）﹣（x﹣b）|+c=|a+b|+c，当且仅当﹣a≤x≤b时，等号成立，又a＞0，b＞0，所以|a+b|=a+b，所以f（x）的最小值为a+b+c，所以a+b+c=4；（2）由（1）知a+b+c=4，由柯西不等式得，（a2+b2+c2）（4+9+1）≥（?2+?3+c?1）2=（a+b+c）2=16，即a2+b2+c2≥当且仅当==，即a=，b=，c=时，等号成立．所以a2+b2+c2的最小值为．【点评】本题主要考查绝对值不等式、柯西不等式等基础知识，考查运算能力，属于中档题．21.(本小题满分12分)已知四棱锥A-BCDE中，底面BCDE为直角梯形，CD⊥平面ABC，侧面ABC是等腰直角三角形，∠EBC=∠ABC=90°，BC=CD=2BE=2，点M是棱AD的中点(I)证明:平面AED⊥平面ACD;(Ⅱ)求锐二面角B-CM-A的余弦值参考答案：（I）证明：取AC的中点F，连接BF，因为AB＝BC，所以，平面ABC,所以CD.又所以平面ACD.①…………………3分因为AM=MD，AF=CF，所以.因为，所以//MF，所以四边形BFME是平行四边形.所以EM//BF.②由①②,得平面ACD，所以平面平面；………………5分（II）BE⊥平面ABC，又，以点B为原点，直线BC、BA、BE分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系B-xyz.由，得B(0,0,0)，C(2,0,0)，A(0,2,0)，