福建省福州市农林大学附属中学2021-2022学年高三数学理上学期期末试卷含解析

福建省福州市农林大学附属中学2021-2022学年高三数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设函数，，若不论x2取何值，f（x1）＞g（x2）对任意总是恒成立，则a的取值范围为（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】函数恒成立问题．【分析】利用三角恒等变换化简得g（x）=2sin（x+）≤2，依题意可得f（x1）min＞g（x2）max=2，即当≤x≤时，0＜ax2+2x﹣1＜恒成立，通过分类讨论，即可求得a的取值范围．【解答】解：∵函数，====2sin（x+）≤2，即g（x）max=2，因为不论x2取何值，f（x1）＞g（x2）对任意总是恒成立，所以f（x1）min＞g（x2）max，即对任意，＞2恒成立，即当≤x≤时，0＜ax2+2x﹣1＜恒成立，1°由ax2+2x﹣1＜得：ax2＜﹣2x，即a＜﹣=（﹣）2﹣，令h（x）=（﹣）2﹣，因为≤≤，所以，当=时，[h（x）]min=﹣，故a＜﹣；2°由0＜ax2+2x﹣1得：a＞﹣，令t（x）=﹣=（﹣1）2﹣1，因为≤≤，所以，当x=即=时，t（）=（﹣1）2﹣1=﹣；当x=，即=时，t（）=（﹣1）2﹣1=﹣，显然，﹣＞﹣，即[t（x）]max=﹣，故a＞﹣；综合1°2°知，﹣＜a＜﹣，故选：D．2.已知||=3，||=5，且，则向量在向量上的投影为（）A．

B．3

C．4

D．5参考答案：A3.抛物线的准线与双曲线等的两条渐近线所围成的三角形面积等于

A．

B．

C．2

D．参考答案：D4.若函数的图象如右图，其中a，b为常数，则函数的大致图象是(

）

参考答案：D

5.如图是2017年第一季度五省GDP情况图，则下列陈述中不正确的是（

）A.2017年第一季度GDP增速由高到低排位第5的是浙江省.B.与去年同期相比，2017年第一季度的GDP总量实现了增长.C.去年同期河南省的GDP总量不超过4000亿元.D.2017年第一季度GDP总量和增速由高到低排位均居同一位的省只有1个.参考答案：D分析：解决本题需要从统计图获取信息，解题的关键是明确图表中数据的来源及所表示的意义，依据所代表的实际意义获取正确的信息．详解：由折线图可知A、B正确；，故C正确；2017年第一季度GDP总量和增速由高到低排位均居同一位的省有江苏均第一；河南均第四，共2个.故D错误.故选D.点睛：本题考查条形统计图和折线统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图得到必要的住处是解决问题的关键．6.已知函数，若对于任意的，，函数在区间上单调递减，则实数t的取值范围是(

)(A)

（B）

(C)

(D)参考答案：D7.若空间有四个点，则“这四个点中三点在同一条直线上”是“这四个点在同一个平面上”的（

）A．充要条件

B．既非充分条件又非必要条件C．必要而非充分条件

D．充分而非必要条件参考答案：D8.已知数列{an}为等差数列，，，若，则＝（）A、－22019

B、22020

C、?－22017

D、22018参考答案：A由题意，根据等差数列的性质可知，因为，则，又由，则，所以，同理，，所以，故选A.

9.已知三棱锥S-ABC中，SA⊥平面ABC，且，.则该三棱锥的外接球的体积为(

)A. B.13π C. D.参考答案：D【详解】∵，，∴是以为斜边的直角三角形，

其外接圆半径，则三棱锥外接球即为以为底面，以为高的三棱柱的外接球，

∴三棱锥外接球的半径满足故三棱锥外接球的体积故选D.【点睛】本题考查的知识点是球内接多面体，其中根据已知求出球的半径是解答的关键．10.设为两个平面，为两条直线，且，有如下两个命题：

①若；②若.那么（

）

A．①是真命题，②是假命题

B．①是假命题，②是真命题

C．①、②都是真命题

D．①、②都是假命题

参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若点是函数的一个对称中心，则

．参考答案：由题意，即，所以，应填答案。点睛：解答本题的思路是依据题设条件，求得，即，进而借助同角三角函数的关系求得，使得问题获解。12.阅读程序框图，若输入，，则输出

；参考答案：13.对于数列{an}，若?m，n∈N*（m≠n），都有≥t（t为常数）成立，则称数列{an}具有性质P（t）．（1）若数列{an}的通项公式为an=2n，且具有性质P（t），则t的最大值为

；（2）若数列{an}的通项公式为an=n2﹣，且具有性质P（10），则实数a的取值范围是

．参考答案：2;[36，+∞）.【考点】数列与函数的综合．【专题】新定义；函数的性质及应用．【分析】（1）由题意可得≥0，即数列{2n﹣nt}单调递增，运用单调性的定义，计算即可得到t的最大值；（2）由题意可得≥10，即有≥0，即为数列{n2﹣10n﹣}为单调递增，由单调性即可得到所求范围．【解答】解：（1）由题意可得≥t恒成立，即有≥0，即数列{2n﹣nt}单调递增，即有2n+1﹣（n+1）t﹣（2n﹣nt）≥0，即t≤2n，由于2n的最小值为2，则t≤2．故t的最大值为2；（2）由题意可得≥10，即有≥0，即为数列{n2﹣10n﹣}为单调递增，即有（n+1）2﹣10（n+1）﹣﹣（n2﹣10n﹣）≥0，即为﹣a≤n（n+1）（2n﹣9），由f（n）=n（n+1）（2n﹣9，n=3时，取得最小值﹣36，则﹣a≤﹣36，即有a≥36．故答案为：2，[36，+∞）．【点评】本题考查新定义的理解和运用，考查数列的单调性的判断和运用，考查运算能力，属于中档题．14.（坐标系与参数方程选做题）以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线的极坐标方程为，它与曲线为参数）相交于A和B两点，则AB=

．参考答案：略15.设为锐角，若，则的值为

．参考答案：16.已知集合则参考答案：本题考查了交集的运算，属于容易题。

因为集合

则.17.已知等差数列{an}中，a3=，则cos（a1+a2+a6）=．参考答案：【考点】等差数列的性质．【分析】由已知结合等差数列的通项公式求得a1+a2+a6，则cos（a1+a2+a6）可求．【解答】解：∵数列{an}为等差数列，且a3=，∴a1+a2+a6=3a1+6d=3（a1+2d）=3a3=3×=，∴cos（a1+a2+a6）=cos=．故答案是：．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（12分）设函数的图像与直线相切于点。（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）讨论函数的单调性。参考答案：

解析：（Ⅰ）求导得。

由于的图像与直线相切于点，

所以，即：

解得:．（Ⅱ）由得：

令f′（x）＞0，解得x＜-1或x＞3；又令f′（x）<0，解得-1＜x＜3.故当x（,-1）时，f(x)是增函数，当x（3,）时，f(x)也是增函数，但当x（-1，3）时，f(x)是减函数.19.某次数学测验共有10道选择题，每道题共有四个选项，且其中只有一个选项是正确的，评分标准规定：每选对1道题得5分，不选或选错得0分，某考试每道都选并能确定其中有6道题能选对，其余4道题无法确定正确选项，但这4道题中有2道能排除两个错误选项，另2题只能排除一个错误选项，于是该生做这4道题时每道题都从不能排除的选项中随机挑选一个选项做答，且各题做答互不影响．(Ⅰ)求该考生本次测验选择题得50分的概率；(Ⅱ)求该考生本次测验选择题所得分数的分布列和数学期望．参考答案：(Ⅰ)；(Ⅱ)见解析.试题分析：（Ⅰ）设选对一道“能排除2个选项的题目”为事件A，选对一道“能排除1个选项的题目”为事件B，该考生选择题得50分的概率为P（A）P（A）P（B）P（B），由此能求出结果．

（Ⅱ）该考生所得分数X=30，35，40，45，50，分别求出P（X=30），P（X=35），P（X=40），P（X=45），P（X=50），由此能求出X的分布列和数学期望．试题解析：(Ⅰ)设选对一道“能排除2个选项的题目”为事件A，选对一道“能排除1个选项的题目”为事件B，则P(A)＝，P(B)＝，该考生选择题得50分的概率为：P(A)P(A)P(B)P(B)＝·＝.(Ⅱ)该考生所得分数X＝30，35，40，45，50，P(X＝30)＝＝，P(X＝35)＝C21＋·C21··＝，(6分)P(X＝40)＝＋C21C21··＋＝，P(X＝45)＝C21＋C21··＝，P(X＝50)＝＝，∴X的分布列为：X3035404550P

EX＝30×＋35×＋40×＋45×＋50×＝.20.（本小题满分12分）如图，斜三棱柱ABC—A1B1C1，已知侧面BB1C1C与底面ABC垂直，且，，BC=BB1=2，若二面角A-B1B-C为．

（Ⅰ）求证：AC⊥平面BB1C1C；

（Ⅱ）求AB1与平面BB1C1C所成角的正切值；

（Ⅲ）在平面AA1B1B内找一点P，使三棱锥P-BB1C为正三棱锥，并求点P到平面BB1C的距离．参考答案：解：（Ⅰ）∵面BB1C1C⊥面ABC,交线为BC，AC⊥BC，∴AC⊥面BB1C1C

（Ⅱ）连B1C，由(1)知AC⊥平面BB1C1C，∴∠CB1A就是AB1与平面BB1C1C所成的角，取BB1中点E，连CE，AE，在△CBB1中，BB1=BC=2，∠B1BC=，∴△CBB1是正三角形，∴CE⊥BB1又AC⊥平面BB1C1C，∴AE⊥BB1，∴∠CEA为二面角A-BB1-C的平面角，∠CEA=在Rt△CEA中，∴在Rt△AB1C中，

（Ⅲ）在CE上取点P1，使，则P1为△B1BC的重心即中心作P1P∥AC交AE于P∵AC⊥平面BB1C1C，∴PP1⊥面BB1C1C，即P在平面B1C1C上的射影是△BCB1中心∴P-BB1C为正三棱锥，且，即P到平面BB1C的距离为21.有一种新型的洗衣液，特点是去污速度快.已知每投放,且个单位的洗衣液，它在水中释放的浓度与时间(小时)的关系可近似地表示为:，其中；若多次投放，则某一时刻水中的洗衣液浓度为每次投放的洗衣液在相应时刻所释放的浓度之和．根据经验，只有当水中洗衣液的浓度不低于时，才能起到有效去污的作用.(Ⅰ)如果只投放1个单位的洗衣液，则能够维持有效去污作用的时间有多长?(Ⅱ)第一次投放1个单位的洗衣液后,当水中洗衣液的浓度减少到时,马上再投放1个单位的洗衣液，设第二次投放后水中洗衣液的浓度为,求的函数解析式及其最大值；

（Ⅲ）若第一次投放2个单位的洗衣液，4小时后再投放个单位的洗衣液，要使接下来的2小时中能够持续有效去污,试求的最小值．

参考答案：（1）解：因为，令，得；令，得；所以的递增区间为，的递减区间为．…………3分因为，所以函数的图像在处的切线方程；…………5分（2）解：由（1）知，，所以对任意恒成立，即对任意恒成立．…………6分ks5u令，则，……7分令，则，所以函数在上单调递增．………8分因为，所以方程在上存在唯一实根，且满足．当，即，当，即，…10分所以函数在上单调递减，在上单调递增．所以．…………12分所以．故整数的最大值是3．………13分

略22.