2015-2016高中数学 2.2.2直线与圆的位置关系课件 苏教版必修

第2章平面解析几何初步

2．2圆与方程2．2.2直线与圆的位置关系

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栏目链接课标点击1．了解直线与圆的三种位置关系，理解直线与圆的位置关系的两种判定方法．2．会用圆心到直线的距离判断直线与圆的位置关系．

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栏目链接直线与圆位置关系的判定已知圆x2＋y2＝8，定点P(4，0)，问过点P的直线的斜率在什么范围内取值时，这条直线与已知圆：(1)相切；(2)相交；(3)相离．并写出过点P的切线方程．分析：(1)代数法：设出直线的点斜式方程，与圆的方程联立，根据直线与圆的位置关系确定Δ与0的关系，求出k的范围．

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栏目链接(2)几何法：设直线的点斜式方程，求出圆心到直线的距离d，根据直线与圆的位置关系确定d与r的大小，进而求出k的范围．

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栏目链接消去y，得x2＋k2(x－4)2＝8，即(1＋k2)x2－8k2x＋16k2－8＝0，Δ＝(－8k2)2－4(1＋k2)(16k2－8)＝32(1－k2)．(1)令Δ＝0，即32(1－k2)＝0，解得k＝±1.∴当k＝±1时，直线与圆相切，切线方程为x－y－4＝0或x＋y－4＝0.

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栏目链接(2)令Δ＞0，即32(1－k2)＞0，解得－1＜k＜1.∴当－1＜k＜1时，直线与圆相交．(3)令Δ＜0，即32(1－k2)＜0，解得k＞1或k＜－1.当k＞1或k＜－1时，直线与圆相离．方法二设过点P直线的斜率为k(由已知k存在)．则其方程为y＝k(x－4)，即kx－y－4k＝0.

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栏目链接►变式训练1．已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0(m∈R)．(1)证明：直线l与圆相交；(2)求直线l被圆C截得的弦长最小时，直线l的方程．

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栏目链接切线方程求经过点(1，－7)并且与圆x2＋y2＝25相切的切线方程．分析：显然点(1，－7)在圆外，因此可用点斜式方程求解，同时也可以求切点，利用两点式求切线方程．

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栏目链接解析：点(1，－7)代入圆方程12＋(－7)2＝50＞25，过圆外一点与圆相切的切线方程求法有三种．方法一设切线的斜率为k，由点斜式有y＋7＝k(x－1)．即y＝k(x－1)－7.①将①代入圆方程x2＋y2＝25得x2＋[k(x－1)－7]2＝25，整理得(k2＋1)x2－(2k2＋14k)x＋k2＋14k＋24＝0，Δ＝(2k2＋14k)2－4(k2＋1)·(k2＋14k＋24)＝0.

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栏目链接规律总结：求切线一般有三种方法：(1)设切点，用切线公式法；(2)设切线斜率，用判别式法；(3)设切线斜率，用圆心到切线距离等于圆半径法．一般地，过圆外一点可向圆作两条切线，在后两种方法中，应注意斜率不存在的情况，即若求出的切线只有1条，那么另一条切线的斜率必不存在．

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栏目链接综合应用根据气象台预报：在A市正东方向300km的B处有一台风中心形成，并以40km/h速度向西北方向移动，在距台风中心250km以内的地区将受其影响，从现在起经过多长时间，台风将影响A市？持续时间多长(精确到0.1h)?分析：解决实际问题的关键是如何把实际问题数学化，通常通过建系来实现．

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解析：以A为圆心，250km为半径作圆A.当台风中心移动所经过的直线l与圆A相交或相切时，A市将受到台风影响．建立如图所示的平面直角坐标系，那么点A、B的坐标分别为(0，0)、(300，0)，圆A的方程为x2＋y2＝2502，直线l的方程为y＝－(x－300)，即x＋y－300＝0(y≥0)．

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栏目链接规律总结：(1)在学习中要注意联系实际，重视数学在生产、生活及相关学科中的运用．(2)解有关实际应用问题时，关键要明确题意，掌握建立数学模型的基本方法．

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栏目链接►变式训练2．设有半径为3km的圆形村落，A，B两人同时从村落中心出发，A向东而B向北前进，A出村后不久，改变前进方向，斜着沿切于村落周界的方向前进，后来恰好与B相遇，设A、B两人的速度都一定，其比为3∶1，问A、B两人在何处相遇？

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栏目链接解析：如图所示，由题意可设A、B两人的速度分别为3vkm/h、vkm/h，再设A出发后x0小时，在点P处改变方向，又经y0小时，在点Q处与B相遇，则P、Q两点的坐标分别为(3vx0，0)、(0，vx0＋vy0)．由于A从P到Q行走的时间是y0小时，于是由勾股定理有OP2＋OQ2＝PQ2，有(3vx0)2＋(vx0＋vy0)2＝(3vy0)2，化简得(x0＋y0)(5x0－4y0)＝0.

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栏目链接有关最值问题已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.(1)求的最大值和最小值；(2)求y－x的最大值和最小值；(3)求x2＋y2的最大值和最小值．

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