锐角三角函数-基础和提优

第第六讲锐角三角函数本章思维导图学习要点与方法点拨：一、锐角三角函数的概念，解直角三角形以及特殊锐角与其三角函数值的对应关系；二、解直角三角形的工具：（1）两锐角互余；（2）锐角三角函数；（3）勾股定理；三、要学会构造“直角三角形”模型。遇到不是直角三角形的图形时，要添加适当的辅助线，将其转化为直角三角形求解。课前复习：勾股定理及其逆定理；利用数形结合的思想解决问题。模块精讲正弦、余弦、正切和余切我们学过直角三角形中的一个性质：“30°所对的直角边是斜边的一半”，如图，不管三角形的边长如何变化，都有：我们再拓展到更一般的情况，如图，∠A为任意锐角。根据相似的性质，同样可以得到：也就是说，在直角三角形中，给定了一个锐角，不管直角三角形的边长如何变化，这个锐角的对边与斜边的比是一个定值。我们给这个定值取了一个名字，叫做正弦。B如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，我们把锐角∠A的对边与斜边B的比叫做∠A的正弦，记作sinA。即：斜边c邻边b对边aACsinA=∠斜边c邻边b对边aAC同样的，我们也有：我们把锐角∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA。即：cosA=∠A的邻边需要注意的是：（1）sinA和cosA是一个比值，它们的实质是两条线段的比，没有单位；（2）在直角三角形中，斜边大于直角边，且各边长均为正数，所以有如下结论：（∠A为锐角）0＜sinA＜1，0＜cosA＜1（3）sinA和cosA都是整体符号，记号中省去符号“∠”。但是，如果角用一个数字或者三个字母表示时，不能省去符号“∠”，例如，应写成“sin∠1”和“sin∠ADB”，不能写成“sin1”和“sinADB”；（4）由sinA=ac可变形得到a=c·sinA，c=asinA（5）通常将(sinA)2、(cosA)2分别写成sin2A、cos2A、sin260°等。例1、（1）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=1，求sinA、cosA、sinB和cosB的值；（2）分别计算sin30°，sin45°，sin60°的值；（3）在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=8/17，求cosA和tanA的值。B在Rt△ABC中，∠C=90°，我们把锐角∠A的对边与邻边B的比叫做∠A的正切，记作tanA。即：斜边c邻边b对边aACtanA=∠斜边c邻边b对边aAC同样的，我们也有：我们把锐角∠A的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记作cotA。即：cotA=∠A的邻边例2、（1）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5，求sinA，tanA和cotA的值；对于30°、45°、60°这样的特殊角，含有这些角的直角三角形很容易得出三边的比例关系，也容易得到这些角的三角函数值：sincostancot30°45°60°练习：1、在Rt△ABC中，∠C=90°，若把△ABC的各边都扩大为原来的m倍，则cosB的值为（）DCA、mcosBB、1mcosBC、mDC2、在等腰△ABC中，AB=AC=5，BC=8，则sinB的值为________；E3、化简：1-EOBA4、如图，AB是⊙O的直径，弦AC、BD相交于点E，则CDAB等于（）OBAA、sinAB、cosBC、sin∠AEDD、cos∠AEDA由相似，CD/AB=DE/AE=cos∠AEDAD5、将cos21°，cos37°，sin41°，cos46°按照其值的大小由小到大的顺序排列。D6、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，AB=10，CBcos∠BCD=35，求△ABCCB解直角三角形解直角三角形是指：根据已知条件，求出直角三角形的所有边和角。（1）至少知道几个元素才能解直角三角形？在《全等三角形》中，我们知道，有三个元素可以确定一个三角形，在直角三角形中，已知一个角是直角，因此，只需两个元素就可以了；（2）需要知道什么元素？已知两个角无法确定三角形的边，因此，我们需要知道①一边一角或者②两边。AaCBc（3）如何通过已知元素求其他的元素？通过直角三角形的边和角之间的关系：AaCBcb①角的关系：两锐角互余，∠A＋∠B=90°；b②边的关系：勾股定理，a2＋b2=c2；③边角关系：三角函数sinA=ac，sinB=bc，cosA=bc，tanA=ab，tanB=b例16、根据下列条件解直角三角形：（1）在Rt△ABC中，∠C=90°，a=5，c=52；（2）在Rt△ABC中，∠C=90°，c=43，∠A=60°；（3）在Rt△ABC中，∠C=90°，a=6，b=23；B（4）在Rt△ABC中，∠C=90°，b=15，∠A=30°。BcabAC例17、（1）在Rt△ABC中，∠C=90°，a=5，b=15，解这个直角三角形；cabAC（2）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，a=4，∠A=25°，解这个直角三角形，（参考数据：sin25°≈0.42，tan25°≈0.47，结果精确到0.01）（3）在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=70°，AB=5，则直角边AC长为（）CA、5sin70°B、5cos70°C、5tan70°C解直角三角形的常见题型例18、如图，在△ABC中，∠B=45°，∠ACB=75°，AC=2，AB求BC的长。ABB例19、如图，在四边形ABCD中，AB=2，CD=1，∠A=60°，BCAD∠D=∠B=90°，求此四边形ABCD的面积。CAD求不规则多边形面积的基本思路是“化不规则为规则”，可以用割补法。把多边形变成几个易求的图形的面积的和或差。本题可以用（1）“补法”：延长AD、BC交于点E……（2）“割法”：作BE⊥AD于点E，再做CF⊥BE于点F……A例20、如图，在△ABC中，∠C=150°，AC=4，ACBtanB=18，求BC的长。CB作AD⊥BC，交BC的延长线于点D。……例21、已知等腰三角形的面积为2，腰长为5，底角为α，求tanα。本题需分等腰三角形顶角为锐角和钝角两种情况，得2或1/2.POA练习：1、如图，PA是⊙O的切线，切点为A，PA=23，POA∠APO=30°，则⊙O的半径长为________；CDBA2、在Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=12，a、b、c为对应的CDBA三边长，且a＋b=37，则a、b、c的长分别是________________；3、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=8，D为ABDA延长线上一点，且∠CDB=45，求CD和BD的长。DA4、如图，在△ABC中，∠C=90°，D为BC上一点，ADBC∠DAC=30°，BD=2，AB=23，求AC的长。ADBC5、如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，BC∠A=150°，AB=5，CD=15，求AD、BC。BC视线铅垂线视线铅垂线α为仰角β为俯角β物体B底面水平线水平线α物体B观测点A视线观测点P仰角俯角水平线α为仰角β为俯角β物体B底面水平线水平线α物体B观测点A视线观测点P仰角俯角水平线观测点A观测点A北北北偏西北偏西45°北偏东60°αi=hl北偏东60°αi=hhl60°60°45°东西东西60°60°45°45°南偏东南偏东60°南偏西45°南坡度i=tanα=hl，α南偏西45°南Ai越大，tanα就越大，斜坡就越陡；反之，斜坡就越缓。方向角A例22、小明和小华看到一颗大树，如图，BM为小华，CN为小明，AE为大树，MNE为底面，B、C为小明和小华的观测点眼睛，C小明：我站在此处看树顶仰角为45°，CNMEDB小华：我站在此处看树顶仰角为60°，NMEDB小华小明小明：我们的身高都是1.6米，小华小明AβαCB小华：我们相距20米。AβαCB请根据他们的对话，计算大树的高度。（3≈1.732，结果精确到0.1米）例23、如图，已知小山BC的高为h，为了测得山顶上的铁塔AB的高x，在平地上选择一个观测点P，在P点处测得B点的仰角为α，A点的仰角为β，（讲解）（1）试用α、β和h的关系式表示铁塔的高x；P（2）当α=30°，β=60°，h为68m时，求铁塔的高度。PB例24、如图，在大楼AB的正前方有一斜坡CD，CD=4米，B坡度为1：3，小明在斜坡上的点C处测得楼顶B的仰角为60°，在斜坡上的点D处测得楼顶B的仰角为45°，其中点A、C、E在同一直线上。（1）求斜坡CD的高度DE；D（2）求大楼AB的高度（结果保留根号）。D延长BD交AE延长线于F，易得∠BFA=45°，DE=EFECA=2，EC=23.ECA设AC为x，则AB=3x，AF=2＋23＋x，……练习：（1）（2）PP例25、（2016山东临沂中考）如图，一艘轮船位于灯塔P南偏西60°方向，距离灯塔20海里的A处，它向东航行多少海里到达灯塔CBAP南偏西45°方向上的B处？（3≈1.732，结果精确到0.1）CBACP练习：1、如图，直升飞机在跨海大桥AB的上方的P点处，此时CP飞机离地面的高度是a米，且A、B、O三点在一条直线上，从点P测得点A俯角为α，点B的俯角为β，BA求大桥AB的长。BA三角函数与圆的综合题三角函数与几何图形综合题的思路：先把三角函数转化为线段比，再利用相似、圆等几何性质。例26、首先，OD∥AE。∴△FOD∽△FAE，得FC=2，……例27、连OB，易得△OPB≌△OPA，∴∠OBP=90°，sin∠OPA=OA/OP，∵BD/PA=2/1=BD/PB，∴CD/CO=2/1，设CO=r，则CD=2r，又BO=r，∴BD=22r，因此，PA=2r，∴OP=3r，……例28、∵∠ABD=∠CBD，∴∠AEB=∠BCD；因此，sin∠AEB=sin∠BCD=BD/BC……总结：根据“等角的三角函数值相等”，可以把一个角的三角函数转化成另一个相等且容易计算的角的三角形函数。例29、由△BEF∽△ACF，面积比=相似比的平方，需求相似比，又cos∠BFA=BF/AF=相似比……例30、首先，cosC=cosA，由DF=3，易得BE=3·4/5=12/5，再得CE=16/5=DE，设半径为r，则AB=2r，由cosA可得BF=3r/2，AF=5r/2，AD=5r/2－3.∴DE=3r/2－9/5，解方程，可得r=10/3.还有更简单的方法：连DB，∠DBF=∠A，由cosA，得BF=5，∴AB=5·4/3=20/3……连接DB构造出含DF的直角三角形。练习：（1）（2）（2）连OD、OE，易得OD⊥CE，OE⊥BE。因此，∠OEB=∠CBD，∴BO/BE=2/3，∴BE=9。构造直角三角形使用三角函数例31、（1）（2）（3）例32、（1）在Rt△ABC中，∠C=90°，如果sinA=45（2）已知等腰三角形的底为4，腰为6，则顶角的正切值是_________；（3）（4）例33、（1）（2）（3）练习：（1）（2）（3）（4）课后巩固习题如图(1)，沿折叠矩形纸片，使点落在边的点处．已知，，AB=8,则的值为()Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．图5如图(2)，在直角坐标系中，将矩形沿对折，使点落在处，已知，，则点的坐标是（）图5（1）（2）(3)(4)(5)如图(3)，在等腰直角三角形中，，，为上一点，若，则的长为()A．B．C．D．如图(4)，中，,是直角边上的点，且,，则边的长为________．如图(5)，在矩形中，、、、分别为、、、的中点，若，四边形的周长为，则矩形的面积为______.1010（6）（7）(8)如图6所示，中，，于，，，则____．等腰三角形腰上的高等于底上的高的一半，则底角的余弦值为______.8．如图7，∠C=90°，∠DBC=45°，AB=DB，利用此图求tan22．5°的值．9、如图8，已知Rt△ABC中，AC=3，BC=4，过直角顶点C作CA1⊥AB，垂足为A1，再过A1作A1C1⊥BC，垂足为C1，过C1作C1