选修41几何证明选讲公开课一等奖市优质课赛课获奖课件

选修4－1几何证明选讲第一节相似三角形的判定及有关性质一、平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也

．推论1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必

．推论2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线

．相等平分第三边平分另一腰二、平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段

．推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段

．成比例成比例三、相似三角形的判定及性质1．判定定理2.性质定理1．在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，图形中共有x个三角形与△ABC相似，则x的值为()A．1 B．2C．3 D．4解析：由题意知，△ACD和△CBD与△ABC相似，故x＝2.答案：B2．(课本习题改编)如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，DE∥BC且＝2，那么△ADE与四边形DBCE的面积比是()答案：C3．如图，F为▱ABCD的边AD延长线上的一点，DF＝AD，BF分别交DC，AC于点G，E，EF＝16，GF＝12，则BE的长为()A．6 B．8 C．12 D．15解析：由DF＝AD，AB∥CD知BG＝GF＝12，又EF＝16知EG＝4，故BE＝8，故选B.答案：B4．(课本习题改编)如图，AB∥EM∥DC.AE＝ED，EF∥BC，EF＝12cm，则BC的长为________．解析：⇒E为AD的中点，M为BC的中点．又∵EF∥BC⇒EF＝MC＝12cm.∴BC＝2MC＝24cm.答案：24cm5．(2012年湖南十二校联考)如图，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，CB⊥AB，AB＝AD＝a，CD＝，点E，F分别为线段AB、AD的中点，则EF＝________.解析：连接DE，可知△AED为直角三角形，则EF是Rt△DEA斜边上的中线，其长等于斜边长的一半，为.考向一平行线分线段成比例定理的应用[例1]如图，△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上一点，过A作AH∥BE.连接ED并延长交AB于F，交AH于H.如果AB＝4AF，EH＝8，求DF的长．1．(2013年天津武清模拟)如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE∥AC，EF∥BC，AB＝15，AF＝4，则DE＝________.答案：6考向二相似三角形的判定及性质的应用[例2](2013年大连四校联考)如图，设M为线段AB的中点，AE与BD交于点C，∠DME＝∠A＝∠B＝α，且DM交AC于点F，EM交BD于点G.(1)写出图中三对相似三角形，并对其中一对作出证明；(2)设α＝45°，AB＝4，AF＝3，求FG的长．[解析]

(1)依题意可知△AME∽△MFE，△BMD∽△MGD，△AMF∽△BGM.∵∠AMF＝∠B＋∠D，∠BGM＝∠DME＋∠D，又∠B＝∠A＝∠DME＝α，∴∠AMF＝∠BGM，∴△AMF∽△BGM.2．如图，已知▱ABCD中，G是DC延长线上一点，AG分别交BD和BC于E，F两点，证明：AF·AD＝AG·BF.证明：因为四边形ABCD为平行四边形，所以AB∥DC，AD∥BC.所以△ABF∽△GCF，△GCF∽△GDA.所以△ABF∽△GDA. 从而有＝，即AF·AD＝AG·BF.考向三射影定理的应用[例3]如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，DF⊥AC于F，DE⊥AB于E，试证明：(1)AB·AC＝BC·AD；(2)AD3＝BC·CF·BE.[证明](1)在Rt△ABC中，AD⊥BC，∴S△ABC＝AB·AC＝BC·AD.∴AB·AC＝BC·AD.(2)Rt△ADB中，DE⊥AB，由射影定理可得BD2＝BE·AB，同理CD2＝CF·AC，∴BD2·CD2＝BE·AB·CF·AC.又在Rt△BAC中，AD⊥BC，∴AD2＝BD·DC，∴AD4＝BE·AB·CF·AC，又AB·AC＝BC·AD.即AD3＝BC·CF·BE.【创新探究】巧构相似三角形求面积之比【典例】(2011年高考广东卷)如图所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4，CD＝2，E，F分别为AD，BC上的点，且EF＝3，EF∥AB，则梯形ABFE与梯形EFCD的面积比为________．【思路导析】

延长线段AD与BC构造相似三角形，利用相似三角形的性质定理求解．【解析】

将线段AD与BC延长交于点H(如图所示)．根据相似三角形面积之比等于相似比的平方，可得，故梯形ABFE与梯形EFCD的面积比为7∶5.【答案】

7∶5【高手支招】借助图形判断三角形相似的方法：(1)有平行线的可围绕平行线找相似；(2)有公共角或相等角的可围绕角做文章，再找其他相等的角或对应边