2023数学高考真题知识题型30数列中裂项相消法求和问题(学生版)

专题30数列中裂项相消法求和问题

【高考真题】

是公差为;的等差数列.

1.(2022•新高考I)记5“为数列｛册｝的前•〃项和,已知q=1,

⑴求｛““｝的通项公式;

(2)证明：＜2.

a\«2%

【方法总结】

裂项相消法求和

裂项相消法

裂项相消法的基本思想就是把通项斯分拆成%=儿+*一为(/1,k《N*)的形式，从而在求和时达到某

些项相消的目的，在解题时要善于根据这个基本思想变换数列｛斯｝的通项公式，使之符合裂项相消的条

件.主要适用于｛忌J或1号寸(其中｛斯｝为等差数列)等形式的数列求和.

常用的裂项公式

(1)若｛〃“｝是等差数列，贝*e

+2

I11

⑵〃(〃+1)=丁

(3)(2n-l)(2n+l)=2(2n-1~2n+1J;

1_1[1___________I

+1)(n+2)-2_n(n+1)(〃+1)(〃+2)_

2-+1__1_]

(5)〃2(〃+l)2n2(〃+])2

母际彳=/f，

(7)log“(1=k>g«(〃+1)—logan；

2"_]]2n~k_1f1_1

⑻(2"+1)(2/i+1)=2"+1-2武i+1'(2"+1)(2"+1+1)=A2H+1~2n+'+lJ;

”+2______I_1

(9)(层+〃)2"+1=彷一(〃+1)2"+1；

k-2k+'2*+22«+i

(l°)(k+l)(k+2)=而一市;

(11)(-1(d；〃+i)=(-i-

注意：(1)裂项系数取决于前后两项分母的差.

(2)在应用裂项相消法时，要注意消项的规律具有对称性，即前剩多少项则后剩多少项.

【题型突破】

2

1.在数列｛〃〃｝中，。1=4,nan^1—(/?+1)an=2/t+2n.

⑴求证：数列榭是等差数列；

(2)求数歹的前〃项和S,,.

2.已知数列｛〃“｝满足”|=今且研产光j

(1)求证：数列｛2｝是等差数列；

(2)若瓦=如斯+1,求数列岸“｝的前n项和Sn.

3.(2017・全国Hl)设数列｛斯｝满足0+3s+…+(2〃-1)斯=2n.

(1)求｛小｝的通项公式；

(2)求数歹《毋力的前”项和.

4.(2015•全国I况为数列｛”“｝的前〃项和.已知%>0,点+2a“=4S“+3.

(1)求｛知｝的通项公式；

(2)设儿=7;，求数列｛儿｝的前〃项和.

5.正项数列｛斯｝的前n项和S”满足:能一(层+九一1)S〃一(前+〃)=0.

(1)求数列｛知｝的通项公式anx

〃1

(2)令-=(1那,求数列｛仇｝的前n项和为T,.

6.在数列｛〃/?｝中，〃1=Lan^Vdn—dn—斯+1.

(1)求数列｛念｝的通项公式；

(2)若办=1造尸，求数列仍“｝的前n项和S,,.

a”

7.已知数列｛斯｝,｛仇｝,其中“1=3,b\=—\,且满足斯=33。"-1一d-1)，bn=—^an-\—3bn-\),“GN",

(1)求证:数列｛。〃一小｝为等比数列;

(2)求数列的前«项和T,,.

[ClnUn+lJ

8.(2018•天津)设｛知｝是等比数列，公比大于0,其前"项和为S"(〃WN"),｛儿｝是等差数列.已知ai=l,

43=。2+2,44=63+65,“5=〃4+2氏.

⑴求｛m｝和为｝的通项公式;

(2)设数列｛S〃｝的前n项和为7；(〃WN*),

①求A;②证明：&(M得:;=3-2(〃eN*).

9.已知数列｛④｝为各项非零的等差数列，其前〃项和为S,”满足S2”T=底.

(1)求数列｛斯｝的通项公式;

17

(2)记b产——(一1)",求数列｛d｝的前〃项和T,1.

%0〃+1

10.在等差数列｛m｝中，已知46=16,018=36.

(1)求数列｛〃“｝的通项公式小；

(2)若,求数列｛儿｝的前〃项和冬.

4

在①瓦尸-----，②儿=(一1)"“，③"=2%•如这三个条件中任选一个补充在第⑵问中，并对其求解.

4〃。〃+1

注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

an9〃为奇数，

11.在①儿="。〃，②儿=«③叱砺焉k这三个条件中任选一个,补充在下

,log2«w＞〃为偶数,

面问题中，并解答.

问题：已知数列｛如｝是等比数列，且0=1,其中m,z+l,俏+1成等差数列.

(1)求数列｛为｝的通项公式；

(2)记,求数歹IJ｛d｝的前2〃项和Tin.

12.设等差数列｛如｝的前"项和为S,，已知0=9,a2为整数，且SSS5.

(1)求｛““｝的通项公式；

(2)设数列的前”项和为7；,求证：7；,4.

13.在等比数列｛网｝中，首项0=8,数列｛儿｝满足儿=log2a“(〃WN*),且＞+等+周=15.

(1)求数列｛为｝的通项公式；

(2)记数列｛5｝的前〃项和为S,,又设数歹归的前”项和为力,，求证：谒.

14.已知数列｛斯｝为等比数列，数列｛九｝为等差数列，且6=s=l,b2=a\+a2,G=2左一6.

(1)求数列｛%｝,｛九｝的通项公式；

(2)设金=厂/—,数列｛c.｝的前〃项和为4，证明：圣

为。〃+2DJ

15.已知等比数列｛a“｝的前〃项和为S“("GN*),满足54=204-1，S3=2a3-1.

(1)求伍”｝的通项公式；

(2)记b"=log2(4"S+i)("WN*),数列｛为｝的前“项和为力”求证：J+kH---卜春2.

1Ii2/〃

3

16.已知数列｛”“)的前〃项和为S”0=2，25"=(〃+1)&+1(〃》2).

(1)求｛〃“｝的通项公式；

17

(2)设。=1.后(〃WN*),数列也｝的前〃项和为乙，证明：〃＜而(，?£N)

\Cln十1)।U

17.己知各项均不相等的等差数列｛““｝的前四项和$4=14,且0,的，物成等比数列.

(1)求数列｛斯｝的通项公式；

(2)设7；为数歹［前〃项的和，若2GWa“+i对一切"GN*恒成立，求实数％的最大值.

211

18.设函数«r)=Q+；a>0),数列｛〃〃｝满足。1=1,a〃=fi--),"WN*,且论2.

DACln—1

(1)求数列｛为｝的通项公式；

(2)对“CN*,设&=++++*+-+」—，若*弟恒成立，求实数r的取值范围.

19.已知数列｛斯｝满足0=1,ai+1a2+|40+...+~a„=an+1—1(nGN*),数列｛斯｝的前“项和为S”

(1)求数列｛斯｝的通项公式；

I/ri

(2)设小与，Ta是数列｛仇｝的前〃项和，求使得-V器对所