高数线性代数第三章

高数线性代数第三章第一页，共七十五页，编辑于2023年，星期六分量全为实数的向量称为实向量．分量全为复数的向量称为复向量．１向量的定义定义第二页，共七十五页，编辑于2023年，星期六第三页，共七十五页，编辑于2023年，星期六向量的相等零向量分量全为0的向量称为零向量．负向量第四页，共七十五页，编辑于2023年，星期六向量加法２向量的线性运算第五页，共七十五页，编辑于2023年，星期六数乘向量向量加法和数乘向量运算称为向量的线性运算，满足下列八条运算规则：第六页，共七十五页，编辑于2023年，星期六第七页，共七十五页，编辑于2023年，星期六除了上述八条运算规则，显然还有以下性质：第八页，共七十五页，编辑于2023年，星期六若干个同维数的列（行）向量所组成的集合叫做向量组．定义３线性组合第九页，共七十五页，编辑于2023年，星期六定义４线性表示第十页，共七十五页，编辑于2023年，星期六定理定义第十一页，共七十五页，编辑于2023年，星期六定义５线性相关定理第十二页，共七十五页，编辑于2023年，星期六定理第十三页，共七十五页，编辑于2023年，星期六第十四页，共七十五页，编辑于2023年，星期六定义６向量组的秩第十五页，共七十五页，编辑于2023年，星期六等价的向量组的秩相等．定理矩阵的秩等于它的列向量组的秩，也等于它的行向量组的秩．定理设向量组B能由向量组A线性表示，则向量组B的秩不大于向量组A的秩．推论１第十六页，共七十五页，编辑于2023年，星期六推论２推论３（最大无关组的等价定义）设向量组是向量组的部分组，若向量组线性无关，且向量组能由向量组线性表示，则向量组是向量组的一个最大无关组．第十七页，共七十五页，编辑于2023年，星期六７向量空间定义设为维向量的集合，如果集合非空，且集合对于加法及数乘两种运算封闭，那么就称集合为向量空间．第十八页，共七十五页，编辑于2023年，星期六第十九页，共七十五页，编辑于2023年，星期六定义８子空间第二十页，共七十五页，编辑于2023年，星期六定义９基与维数第二十一页，共七十五页，编辑于2023年，星期六第二十二页，共七十五页，编辑于2023年，星期六向量方程9齐次线性方程组第二十三页，共七十五页，编辑于2023年，星期六第二十四页，共七十五页，编辑于2023年，星期六解向量第二十五页，共七十五页，编辑于2023年，星期六解向量的性质性质１性质２定义第二十六页，共七十五页，编辑于2023年，星期六定理定义第二十七页，共七十五页，编辑于2023年，星期六向量方程１0非齐次线性方程组第二十八页，共七十五页，编辑于2023年，星期六解向量的性质性质１性质２解向量向量方程的解就是方程组的解向量．第二十九页，共七十五页，编辑于2023年，星期六（１）求齐次线性方程组的基础解系１1线性方程组的解法第三十页，共七十五页，编辑于2023年，星期六第一步：对系数矩阵进行初等行变换，使其变成行最简形矩阵第三十一页，共七十五页，编辑于2023年，星期六第三十二页，共七十五页，编辑于2023年，星期六第三步：将其余个分量依次组成阶单位矩阵，于是得齐次线性方程组的一个基础解系第三十三页，共七十五页，编辑于2023年，星期六（２）求非齐次线性方程组的特解第三十四页，共七十五页，编辑于2023年，星期六将上述矩阵中最后一列的前个分量依次作为特解的第个分量，其余个分量全部取零，于是得第三十五页，共七十五页，编辑于2023年，星期六即为所求非齐次线性方程组的一个特解．第三十六页，共七十五页，编辑于2023年，星期六一、向量组线性关系的判定二、求向量组的秩三、向量空间的判定四、基础解系的证法五、解向量的证法典型例题第三十七页，共七十五页，编辑于2023年，星期六一、向量组线性关系的判定第三十八页，共七十五页，编辑于2023年，星期六第三十九页，共七十五页，编辑于2023年，星期六第四十页，共七十五页，编辑于2023年，星期六研究这类问题一般有两个方法方法1从定义出发整理得线性方程组第四十一页，共七十五页，编辑于2023年，星期六第四十二页，共七十五页，编辑于2023年，星期六方法２利用矩阵的秩与向量组的秩之间关系判定第四十三页，共七十五页，编辑于2023年，星期六例１研究下列向量组的线性相关性解一第四十四页，共七十五页，编辑于2023年，星期六整理得到第四十五页，共七十五页，编辑于2023年，星期六解二第四十六页，共七十五页，编辑于2023年，星期六第四十七页，共七十五页，编辑于2023年，星期六分析第四十八页，共七十五页，编辑于2023年，星期六证明第四十九页，共七十五页，编辑于2023年，星期六第五十页，共七十五页，编辑于2023年，星期六证明向量组的一个部分组构成最大线性无关组的基本方法就是：分析根据最大线性无关组的定义来证，它往往还与向量组的秩相联系．第五十一页，共七十五页，编辑于2023年，星期六证明第五十二页，共七十五页，编辑于2023年，星期六求一个向量组的秩，可以把它转化为矩阵的秩来求，这个矩阵是由这组向量为行（列）向量所排成的．如果向量组的向量以列（行）向量的形式给出，把向量作为矩阵的列（行），对矩阵作初等行（列）变换，这样，不仅可以求出向量组的秩，而且可以求出最大线性无关组．二、求向量组的秩若矩阵经过初等行（列）变换化为矩阵，则和中任何对应的列（行）向量组都有相同的线性相关性．第五十三页，共七十五页，编辑于2023年，星期六解第五十四页，共七十五页，编辑于2023年，星期六第五十五页，共七十五页，编辑于2023年，星期六第五十六页，共七十五页，编辑于2023年，星期六第五十七页，共七十五页，编辑于2023年，星期六判断向量的集合是否构成向量空间，需看集合是否对于加法和数乘两种运算封闭．若封闭，则构成向量空间；否则，不构成向量空间．解三、向量空间的判定第五十八页，共七十五页，编辑于2023年，星期六第五十九页，共七十五页，编辑于2023年，星期六例６证明与基础解系等价的线性无关的向量组也是基础解系．四、基础解系的证法分析(3)方程组的任一解均可由该向量组线性表示．(1)该组向量都是方程组的解；(2)该组向量线性无关；要证明某一向量组是方程组的基础解系，需要证明三个结论:第六十页，共七十五页，编辑于2023年，星期六证明第六十一页，共七十五页，编辑于2023年，星期六

注当线性方程组有非零解时，基础解系的取法不唯一，且不同的基础解系之间是等价的．第六十二页，共七十五页，编辑于2023年，星期六五、解向量的证法第六十三页，共七十五页，编辑于2023年，星期六证明第六十四页，共七十五页，编辑于2023年，星期六第六十五页，共七十五页，编辑于2023年，星期六第六十六页，共七十五页，编辑于2023年，星期六第六十七页，共七十五页，编辑于2023年，星期六注意(1)本例是对非齐次线性方程组的解的结构作进一步的分析和讨论，即非齐次线性方程组一定存在着个线性无关的解，题中(2)的证明表明了它的存在性．(3)对非齐次线性方程组，有时也把如题中所给的个解称为的基础解系，所不同的是它的线性组合只有当线性组合系数之和为1时，才是方程组的解．(2)对齐次线性方程组，当时，有无穷多组解，其中任一解可由其基础解系线性表示．第六十八页，共七十五页，编辑于2023年，星期六第四章测试题一、填空题(每小题5分，共40分)．第六十九页，共七十五页，编辑于2023年，星期六第七十页，共七十五页，编辑于2023年，星期六二、计算题(每小题8分，共24分)．第七十一页，共七十五页，编辑于202