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文档简介
高中数学必修四课件任意角的概念课件第一页,共三十八页,编辑于2023年,星期六1.1.1任意角的概念第二页,共三十八页,编辑于2023年,星期六1、角的概念初中是如何定义角的?
从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形.
角也可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的。初中学过的角的范围是:0º至360º。
第三页,共三十八页,编辑于2023年,星期六2.角的概念的推广⑴“旋转”形成角如图:一条射线由原来的位置OA,绕着它的端点O按逆时针方向旋转到另一位置OB,就形成角α.
旋转开始时的射线OA叫做角α的始边,旋转终止的射线OB叫做角α的终边,射线的端点O叫做角α的顶点.第四页,共三十八页,编辑于2023年,星期六⑵.“正角”与“负角”、“零角”我们规定:按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角,按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角,如图,以OA为始边的角α=210°,β=-150°,γ=660°,第五页,共三十八页,编辑于2023年,星期六特别地,当一条射线没有作任何旋转时,我们也认为这时形成了一个角,并把这个角叫做零角即零度角(0º).此时零角的始边与终边重合。角的记法:角α或可以简记成∠α,或简记为:α.如∠α=-1500,α=00,α=6600等等……第六页,共三十八页,编辑于2023年,星期六⑶角的概念扩展的意义:用“旋转”定义角之后,角的范围大大地扩大了①角有正负之分;如:=210,
=150,
=660.②角可以任意大;
实例:体操动作:旋转2周(360×2=720)3周(360×3=1080)③还有零角,一条射线,没有旋转.第七页,共三十八页,编辑于2023年,星期六角的概念推广以后,它包括任意大小的正角、负角和零角.要注意,正角和负角是表示具有相反意义的旋转量,它的正负规定源于实际的需要,就好象与正数、负数的规定一样,零角无正负,就好象数零无正负一样.第八页,共三十八页,编辑于2023年,星期六用旋转来描述角,需要注意三个要素:旋转中心、旋转方向和旋转量
(2)旋转方向:旋转变换的方向分为逆时针和顺时针两种,这是一对意义相反的量,根据以往的经验,我们可以把一对意义相反的量用正负数来表示,那么许多问题就可以解决了;(1)旋转中心:作为角的顶点.第九页,共三十八页,编辑于2023年,星期六(3)旋转量:当旋转超过一周时,旋转量即超过360º,角度的绝对值可大于360º.于是就会出现720º,-540º等角度.第十页,共三十八页,编辑于2023年,星期六3.象限角为了研究方便,我们往往在平面直角坐标系中来讨论角。
角的顶点重合于坐标原点,角的始边重合于x轴的非负半轴,这样一来,角的终边落在第几象限,我们就说这个角是第几象限的角。(角的终边落在坐标轴上,则此角不属于任何一个象限此时这种角称为:轴线角)例如:30、390、330是第一象限角,
300、60是第四象限角,
585、1300是第三象限角,
135
、2000是第二象限角等第十一页,共三十八页,编辑于2023年,星期六4.终边相同的角
⑴观察:390,330角,它们的终边都与30角的终边相同.⑵探究:终边相同的角都可以表示此角与k(k∈Z)个周角的和:390=30+360(k=1),
330=30360
(k=-1)
30=30+0×360(k=0),1470=30+4×360(k=4)
1770=305×360(k=-5)第十二页,共三十八页,编辑于2023年,星期六⑶结论:所有与终边相同的角连同在内可以构成一个集合:{β|β=α+k·360º,k∈Z}即:任何一个与角终边相同的角,都可以表示成角与整数个周角的和。第十三页,共三十八页,编辑于2023年,星期六⑷注意以下四点:①
k∈Z,
K>0,表示逆时针旋转,
K<0,表示顺时针旋转.
②
是任意角;③
k·360º与之间是“+”号,如k·360º-30º,应看成(-30º)+k·360º
;④
终边相同的角不一定相等,但相等的角,终边一定相同,终边相同的角有无数多个,它们相差360º的整数倍.所有与终边相同的角连同在内可以构成一个集合:{β|β=α+k·360º,k∈Z}即:任何一个与角终边相同的角,都可以表示成角与整数个周角的和。第十四页,共三十八页,编辑于2023年,星期六例1.在0º~360º范围内,找出与下列各角终边相同的角,并判断它是哪个象限的角.(1)-120º;(2)640º;(3)-950º12′.第十五页,共三十八页,编辑于2023年,星期六例2.写出与下列各角终边相同的角的集合S,并把S中在-360º~720º间的角写出来:
(1)60º;(2)-21º;(3)363º14′.第十六页,共三十八页,编辑于2023年,星期六例3写出终边分别落在四个象限的角的集合.终边落在坐标轴上的情形xyo0°90°180°270°+K·360°+K·360°+K·360°+K·360°或360°+
K·360°第十七页,共三十八页,编辑于2023年,星期六第一象限的角表示为
{|k360<<90+k360,kZ};第二象限的角表示为
{|90+k360<<180+k360,kZ};第三象限的角表示为
{|180+k360<<270+k360,kZ}第四象限的角表示为
{|270+k360<<360+k360,kZ}第十八页,共三十八页,编辑于2023年,星期六例4、写出终边落在y轴上的角的集合.xyo0°90°180°270°+K·360°+K·360°+K·360°+K·360°第十九页,共三十八页,编辑于2023年,星期六课堂练习1.锐角是第几象限的角?第一象限的角是否都是锐角?小于90º的角是锐角吗?区间(0º,90º)内的角是锐角吗?答:锐角是第一象限角;第一象限角不一定是锐角;小于90º的角可能是零角或负角,故它不一定是锐角;区间(0º,90º)内的角是锐角.第二十页,共三十八页,编辑于2023年,星期六2、已知角2α的终边在x轴的上方,那么α是()A第一象限角B第一、二象限角C第一、三象限角D第一、四象限角3、若α是第四象限角,则180º-α是()A第一象限角B第二象限角C第三象限角D第四象限角第二十一页,共三十八页,编辑于2023年,星期六4、若90º<β<α<135º,则α-β的范围是__________,α+β的范围是___________;5、若β的终边与60º角的终边相同,那么在[0º,360º)范围内,终边与角的终边相同的角为______________;第二十二页,共三十八页,编辑于2023年,星期六弧度制第二十三页,共三十八页,编辑于2023年,星期六1、角度制的定义规定周角的为1度的角这种用度做单位来度量角的制度叫角度制。1°2、弧长公式及扇形面积公式nπR180l=———nπR2360S=———n°Rl第二十四页,共三十八页,编辑于2023年,星期六1、弧度制我们把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角。设弧AB的长为l,若l=r,则∠AOB=1弧度lr=OBrl=rA1弧度第二十五页,共三十八页,编辑于2023年,星期六则∠AOB=2弧度lr=则∠AOB=2π弧度lr=rOABl=2r2π弧度l=2πrOA(B)r若l=2r,若l=2πr,2弧度第二十六页,共三十八页,编辑于2023年,星期六若圆心角∠AOB表示一个负角,且它所对的弧的长为3r,则∠AOB的弧度数的绝对值是lr=3,即∠AOB=-lr=-3弧度l=3rOABr-3弧度第二十七页,共三十八页,编辑于2023年,星期六由弧度的定义可知:圆心角AOB的弧度数的绝对值等于
它所对的弧的长与半径长的比。定义的合理性1弧度Rl=ROAB1弧度rl=rOAB与半径长无关的一个比值第二十八页,共三十八页,编辑于2023年,星期六一般地,我们规定:正角的弧度数为正数,负角的弧度数为负数,零角的弧度数为零,任一已知角α的弧度数的绝对值:︱α︱=lr其中l为以角α作为圆心角时所对圆弧的长,r为圆的半径。这种用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制。第二十九页,共三十八页,编辑于2023年,星期六2、弧度与角度的换算lr=则∠AOB=2π弧度此角为周角即为360°360°=2π弧度180°=π弧度l=2πrOA(B)r若l=2πr,第三十页,共三十八页,编辑于2023年,星期六由180°=π
弧度还可得1°=——弧度≈0.01745弧度180π1弧度=(——)°≈57.30°=57°18′π180第三十一页,共三十八页,编辑于2023年,星期六3、圆的弧长公式及扇形面积公式αOlrl
=︱α︱r由︱α︱=lr得S=—
lr12=—︱α︱r2
12第三十二页,共三十八页,编辑于2023年,星期六第三十三页,共三十八页,编辑于2023年,星期六4、用弧度来度量角,实际上角的集合与实数集R之间建立一一对应的关系:实数集R角的集合正角零角负角正实数零负实数对应角的弧度数第三十四页,共三十八页,编辑于2023年,星期六练习xy0(1)xy0(2)第三十五页,共三十八页,编辑于2023年,星期六练习第三十六页,共三十八页,编辑于2023年,星期六小结:1、量角的制度:角度制与弧度制弧度制除了使角与实数有一一对应关系外,为以后学习三角函数打下基础。2、能熟练地进行角度与弧度之间
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