高中数学 映射与函数

高中数学映射与函数第一页，共四十四页，编辑于2023年，星期六（2）象和原象：给定一个集合A到集合B的映射，且a∈A，b∈B，如果元素a和元素b对应，那么，我们把元素b叫做元素a的

，元素a叫做元素

b的

.2.函数（1）函数的定义设A，B是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f，使对于集合A中的

，在集合B中都有

，称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数.记作y=f(x),x∈A.x

的取值范围A叫做函数的

，

叫做函数的值域.象原象任意一个数x唯一确定的数f(x)和它对应定义域函数值的集合{f(x)|x∈A}第二页，共四十四页，编辑于2023年，星期六（2）函数的三要素

、

和

.（3）函数的表示法表示函数的常用方法：

、

、

.3.反函数（1）定义函数y=f(x)（x∈A）中，设它的值域为C，根据这个函数中x，y的关系，用y把x表示出来，得到x=

φ(y).如果对于y在C中的

，通过x=

φ(y)，x在A中都有

和它对应，那么,

x=φ(y)就表示y是自变量，x是自变量y的函数，这定义域值域对应法则解析法列表法图象法任何一个值唯一的值第三页，共四十四页，编辑于2023年，星期六样的函数x=φ(y)(y∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的

，记作

，习惯上用x表示自变量，用y表示函数，把它改写成

.（2）互为反函数的函数图象的关系函数y=f(x)的图象和它的反函数y=f-1(x)的图象关于直线

对称.反函数x=f-1(y)y=f-1(x)y=x第四页，共四十四页，编辑于2023年，星期六基础自测1.设集合M={x|0≤x≤2}，N={y|0≤y≤2}，那么下面的4个图形中，能表示集合M到集合N的函数关系的有 （ ）

A.①②③④B.①②③

C.②③

D.②

解析由映射的定义，要求函数在定义域上都有图 象，并且一个x对应着一个y，据此排除①④，选C.D第五页，共四十四页，编辑于2023年，星期六2.给出四个命题： ①函数是其定义域到值域的映射；②f（x）= 是函数；③函数y=2x（x∈N）的图象是一条直线；④f（x）=

与g(x)=x是同一个函数.其中正确的有 （ ） A.1个B.2个C.3个D.4个

解析由函数的定义知①正确.

∵满足f（x）=

的x不存在，∴②不正确.

又∵y=2x（x∈N)的图象是一条直线上的一群孤立的点，∴③不正确.

又∵f（x）与g（x）的定义域不同，∴④也不正确.

A第六页，共四十四页，编辑于2023年，星期六3.下列各组函数是同一函数的是 （ ）第七页，共四十四页，编辑于2023年，星期六解析

排除A；

排除B；当即x≥1时,y=|x|+|x-1|=2x-1,排除C.故选D.答案

D

第八页，共四十四页，编辑于2023年，星期六4.函数f(x)=3x+5,x∈［0,1］的反函数f-1(x)=

.

解析∵y=3x+5,又0≤x≤1,∴5≤y≤8,∴f(x)的反函数为y第九页，共四十四页，编辑于2023年，星期六5.已知f（）=x2+5x,则f(x)=

.

解析第十页，共四十四页，编辑于2023年，星期六题型一求函数的解析式【例1】

（1）设二次函数f(x)满足f(x-2)=f(-x-2)，且图象在y轴上的截距为1，被x轴截得的线段长为 ，求f(x)的解析式； （2）已知 （3）已知f(x)满足2f(x)+=3x,求f(x).问题（1）由题设f（x）为二次函数，故可先设出f（x）的表达式，用待定系数法求解；问题（2）已知条件是一复合函数的解析式，因此可用换元法；问题（3）已知条件中含x，，可用解方程组法求解.

题型分类深度剖析思维启迪第十一页，共四十四页，编辑于2023年，星期六解（1）∵f（x）为二次函数，∴设f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，且f(x)=0的两根为x1,x2.由f(x-2)=f（-x-2），得4a-b=0. ① ②由已知得c=1. ③由①、②、③式解得b=2,a=,c=1,∴f（x）=x2+2x+1.第十二页，共四十四页，编辑于2023年，星期六第十三页，共四十四页，编辑于2023年，星期六第十四页，共四十四页，编辑于2023年，星期六探究提高

求函数解析式的常用方法有：(1)代入法，用g(x)代入f(x)中的x,即得到f［g(x)］的解析式；(2)拼凑法，对f［g(x)］的解析式进行拼凑变形，使它能用g(x)表示出来，再用x代替两边的所有“g(x)”即可；(3)换元法，设t=g(x),解出x,代入

f［g(x)］，得f(t)的解析式即可；(4)待定系数法，若已知f(x)的解析式的类型，设出它的一般形式，根据特殊值，确定相关的系数即可；(5)赋值法，给变量赋予某些特殊值，从而求出其解析式.

第十五页，共四十四页，编辑于2023年，星期六知能迁移1（1）已知f(+1)=lg

x，求f（x）； (2)已知f（x）是一次函数，且满足3f（x+1）-2f(x-1)=2x+17，求f（x）.解(1)

（2）设f（x）=ax+b（a≠0），则3f（x+1）-2f（x-1）=3ax+3a+3b-2ax+2a-2b=ax+b+5a=2x+17，∴a=2，b=7，故f（x）=2x+7.第十六页，共四十四页，编辑于2023年，星期六题型二分段函数【例2】设函数f(x)=若f(-4)= f(0),f(-2)=-2,则关于x的方程f(x)=x解的个数为 （ ） A.1B.2

C.3

D.4 求方程f(x)=x的解的个数，先用待定系数法求f（x）的解析式，再用数形结合或解方程.

思维启迪第十七页，共四十四页，编辑于2023年，星期六解析由f(-4)=f(0),得b=4,再由f(-2)=-2,得c=2,∴x>0时，显然x=2是方程f(x)=x的解；x≤0时，方程f（x）=x即为x2+4x+2=x，解得x=-1或x=-2.综上，方程f（x）=x解的个数为3.答案

C

分段函数是一类重要的函数模型.解决分段函数问题，关键要抓住在不同的分段内研究问题.如本例，需分x>0时，f（x）=x的解的个数和x≤0时，f（x）=x的解的个数.探究提高第十八页，共四十四页，编辑于2023年，星期六知能迁移2

（2009·山东理，10）定义在R上的函数 f(x)满足 则f(2009)的值为 （ ） A.-1B.0 C.1 D.2

解析当x＞0时，∵f(x)=f(x-1)-f(x-2),∴f(x+1)=f(x)-f(x-1).∴f(x+1)=-f(x-2)，即f(x+3)=-f(x)∴f(x+6)=f(x).即当x＞0时，函数f(x)的周期是6.又∵f(2009)=f(334×6+5)=f(5),∴由已知得f(-1)=log22=1，f(0)=0,f(1)=f(0)-

f(-1)=-1,f(2)=f(1)-f(0)=-1,f(3)=f(2)-f(1)=-1-(-1)=0,f(4)=f(3)-f(2)=0-(-1)=1,f(5)=f(4)-f(3)=1.C第十九页，共四十四页，编辑于2023年，星期六题型三函数的实际应用【例3】（12分）某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1000辆.本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本.若每辆车投入成本增加的比例为x(0<x<1)，则出厂价相应提高的比例为0.75x,同时预计年销售量增加的比例为0.6x.已知年利润=(出厂价-投入成本)×年销售量.（1）写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例

x的关系式；第二十页，共四十四页，编辑于2023年，星期六（2）为使本年度利润比上年有所增加，问投入成本增加的比例x应在什么范围内？

准确理解题意，构建函数模型.解题示范解（1）依题意，本年度每辆摩托车的成本为1+x(万元)，而出厂价为1.2×(1+0.75x)(万元)，销售量为1000×(1+0.6x)(辆).故利润y=［1.2×(1+0.75x)-(1+x)］×1000×(1+0.6x), ［4分］整理得y=-60x2+20x+200(0<x<1). ［6分］

思维启迪第二十一页，共四十四页，编辑于2023年，星期六（2）要保证本年度利润比上一年有所增加，则y-(1.2-1)×1000>0, ［8分］即-60x2+20x+200-200>0,即3x2-x<0. ［10分］解得0<x<,适合0<x<1.故为保证本年度利润比上年有所增加，投入成本增加的比例x的取值范围是0<x<. ［12分］

函数的实际应用问题，要准确构建数学模型，求得函数解析式后，要写出函数的定义域（一般情况下，都要受到实际问题的约束）.

探究提高第二十二页，共四十四页，编辑于2023年，星期六知能迁移3

（2009·浙江，文15理14）某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价.该地区的电网销售电价表如下：

高峰时间段用电价格表高峰月用电量（单位：千瓦时）高峰电价(单位:元/千瓦时)50及以下的部分0.568超过50至200的部分0.598超过200的部分0.668第二十三页，共四十四页，编辑于2023年，星期六低谷时间段用电价格表

低谷月用电量（单位：千瓦时）

低谷电价(单位:元/千瓦时)

50及以下的部分

0.288

超过50至200的部分

0.318超过200的部分0.388

若某家庭5月份的高峰时间段用电量为200千瓦时，低谷时间段用电量为100千瓦时，则按这种计费方式该家庭本月应付的电费为

元（用数字作答）.

第二十四页，共四十四页，编辑于2023年，星期六解析高峰时段的电价由两部分组成，前50千瓦时电价为50×0.568元，后150千瓦时为150×0.598元.低谷时段的电价由两部分组成，前50千瓦时电价为50×0.288元，后50千瓦时为50×0.318元，∴电价为50×0.568+150×0.598+50×0.288+50×0.318=148.4（元）.答案

148.4

第二十五页，共四十四页，编辑于2023年，星期六思想方法感悟提高方法与技巧1.若两个函数的对应关系一致，并且定义域相同，则两个函数为同一函数.2.函数有三种表示方法——列表法、图象法和解析法，三者之间是可以互相转化的；求函数解析式比较常见的方法有代入法、换元法、待定系数法和解函数方程等，特别要注意将实际问题化归为函数问题，通过设自变量，写出函数的解析式并明确定义域，还应注意使用待定系数法时函数解析式的设法，针对近几年的高考分段函数问题要引起足够的重视.

第二十六页，共四十四页，编辑于2023年，星期六3.求用解析式y=f(x)表示的函数的定义域时，常有以下几种情况： (1)若f(x)是整式，则函数的定义域是实数集R； (2)若f(x)是分式，则函数的定义域是使分母不等于0的实数集；(3)若f(x)是二次根式，则函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数集合；(4)若f(x)是由几个部分的数学式子构成的，则函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合；(5)若f（x）是由实际问题抽象出来的函数，则函数的定义域应符合实际问题.

第二十七页，共四十四页，编辑于2023年，星期六失误与防范1.建立实际问题的函数式，首先要选定变量，而后寻找等量关系，求函数解析式，但要根据实际问题确定定义域.2.判断对应是否为映射，即看A中元素是否满足“每元有象”和“且象惟一”.但要注意：（1）A中不同元素可有相同的象，即允许多对一，但不允许一对多；（2）B中元素可无原象，即B中元素可有剩余.

第二十八页，共四十四页，编辑于2023年，星期六一、选择题1.下列四组函数中，表示同一函数的是（）定时检测第二十九页，共四十四页，编辑于2023年，星期六解析答案D第三十页，共四十四页，编辑于2023年，星期六2.已知f(x)=使f(x)≥-1成立的x的取值范围是 ()A.［-4，2）B.［-4，2］C.（0，2］D.（-4，2］解析B第三十一页，共四十四页，编辑于2023年，星期六3.（2009·广东文，4）若函数y=f(x)是函数y=ax(a>0,且a≠1)的反函数，且f(2)=1,则

f(x)=（）A. B.2x-2C.D.log2x

解析

函数y=ax(a>0,且a≠1)的反函数是f(x)=logax,又f(2)=1,即loga2=1，所以a=2,故f(x)=log2x.D第三十二页，共四十四页，编辑于2023年，星期六4.（2008·山东）设函数的值为 （ ）解析A第三十三页，共四十四页，编辑于2023年，星期六5.（2008·陕西）定义在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy(x,y∈R),f(1)=2,则f(-3)等于（） A.2 B.3 C.6 D.9

解析

f(1)=f(0+1)=f(0)+f(1)+2×0×1 =f(0)+f(1),∴f(0)=0.

f(0)=f(-1+1)=f(-1)+f(1)+2×(-1)×1 =f(-1)+f(1)-2,∴f(-1)=0.

f(-1)=f(-2+1)=f(-2)+f(1)+2×(-2)×1 =f(-2)+f(1)-4,∴f(-2)=2.

f(-2)=f(-3+1)=f(-3)+f(1)+2×(-3)×1 =f(-3)+f(1)-6,∴f(-3)=6.C第三十四页，共四十四页，编辑于2023年，星期六6.函数f(x)=x2-2ax-3在区间［1,2］上存在反函数的充要条件是（）A.a∈(-∞,1］B.a∈［2,+∞)C.a∈［1,2］D.a∈(-∞,1］∪［2,+∞)

解析

由二次函数的对称轴为x=a可得答案.D第三十五页，共四十四页，编辑于2023年，星期六二、填空题7.某出租车公司规定“打的”收费标准如下：3千米以内为起步价8元（即行程不超过3千米，一律收费8元），若超过3千米除起步价外，超过部分再按1.5元/千米收费计价，若某乘客再与司机约定按四舍五入以元计费不找零钱，该乘客下车时乘车里程数为7.4，则乘客应付的车费是

元.

解析车费为8+（7.4-3）×1.5=14.6≈15（元）.15第三十六页，共四十四页，编辑于2023年，星期六8.（2009·北京文，12）已知函数 若f(x)=2,则x=

.

解析当x≤1时，3x=2,∴x=log32; 当x>1时，-x=2,∴x=-2(舍去).log32第三十七页，共四十四页，编辑于2023年，星期六9.已知符号函数sgnx=解析(x+1)sgnx>2的解集是

.{x|x<-3或x>1}则不等式第三十八页，共四十四页，编辑于2023年，星期六三、解答题10.已知函数f(x)和g(x)的图象关于原点对称，且

f(x)=x2+2x.（1）求g(x)的解析式；（2）解不等式g(x)≥f(x)-|x-1|.

解

（1）设函数y=f(x)的图象上任一点Q(x0，y0)关于原点的对称点为P（x，y），

第三十九页，共四十四页，编辑于2023年，星期六∵点Q（x0,y0）在函数y=f(x)的图象上，∴-y=x2-2x，即y=-x2+2x,故g(x)=-x2+2